Теория вероятностей и математическая статистика.-6

2.5 P(1<X<2)

Контрольная работа 3 «Распределения случайных величин. Системы случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей»

Варианты заданий контрольной работы формируются на основе индивидуальных домашних заданий (приложения Д–Ж), выполнение которых и является подготовкой к контрольной работе. Вариант контрольной работы содержит четыре задачи.

Первая задача подводит итог изучению двух тем курса «Случайные события и вероятности» и «Случайные величины и их законы распределения». Студенту необходимо владеть знанием основных теорем теории вероятностей, а также уметь находить вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал. Задачи формулируются таким образом, чтобы студент показал знания из различных тем и смог их применить в решении.

Вторая задача выбирается из типовых задач раздела «Системы случайных величин» и является частью задачи 2 из индивидуального задания (приложение Е). Студенту необходимо повторить свойства плотности распределения системы случайных величин выписать формулы для нахождения одномерных плотностей составляющих и функции регрессии.

Третья задача вариативна. Например, задача на применение предельных теорем теории вероятностей и является аналогом задачи 1 индивидуального задания (приложение Ж). При подготовке к контрольной работе студенту необходимо повторить материал раздела «Предельные теоремы теории вероятностей»; уяснить оценочную роль неравенства Чебышева; сформулировать и записать в конспект центральную предельную теорему, а также интегральную теорему Муавра-Лапласа. Третья задача может быть выбрана из раздела «Распределения случайных величин», где необходимо подобрать подходящий постановке задачи закон распределения (биномиальный, геометрический, Пуассона, равномерный или показательный) и найти числовые характеристики, используя параметры распределения.

Четвертая задача проверяет умение работать с нормальным законом распределения и проводить вычисления с помощью таблицы функции Лапласа.

ВАРИАНТ 1

Задача 1. Дана плотность распределения случайной величины X

Задача 2. Двумерная непрерывная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике АВС, заданном координатами вершин: А(0; 0), В(0; 1), C(–1;1). Найдите плотность распределения случайной величины X.

Задача 3. Используя неравенство Чебышева, найдите вероятность того, что частота появления «единицы» при 60 бросаниях игральной кости отклонится от вероятности не более, чем на 0,15. Сравните ответ с вероятностью, вычисленной с помощью центральной предельной теоремы.

21

Задача 4. Масса пойманной рыбы является непрерывной случайной величиной Х, распределенной по нормальному закону с параметрами а=375 г, σ =25 г. Какова вероятность того, что улов будет находиться в пределах от 300 до 500 г?

3.4 Подготовка к промежуточной аттестации

Промежуточная аттестация проводится в виде собеседования с преподавателем по результатам письменного опроса по теории и контрольного решения задач. Билет для промежуточной аттестации содержит два теоретических вопроса и две задачи. Теоретические вопросы выбираются из лекционного материала в соответствии с рабочей программой дисциплины. Задачи выбираются из задач шести индивидуальных заданий, выполненных студентом в течение семестра.

Пример задания промежуточной аттестации

БИЛЕТ № 1.

1.Формула полной вероятности (постановка задачи, гипотезы, вывести формулу, пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей).

2.Случайные величины. (Что называют случайной величиной? Какую величину называют дискретной случайной величиной? Какую величину называют непрерывной случайной величиной? Что называют законом распределения дискретной случайной величины? Как задают закон распределения дискретной случайной величины, принимающей конечное множество значений? Что называют многоугольником распределения?).

3.При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?

4.Случайная величина X подчинена нормальному закону, причем M[X]=40, D[X]=2000. Найдите P(30<X<80).

22

4 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Хрущева, И. В. Теория вероятностей: учебное пособие / И. В. Хрущева. — Санкт-Петер- бург: Лань, 2021. — 304 с. — ISBN 978-5-8114-0915-0. — Текст: электронный // Лань: элек-

тронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/167789 (дата обращения:

24.01.2022). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

2.Буре, В. М. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / В. М. Буре,

Е. М. Парилина. — Санкт-Петербург: Лань, 2021. — 416 с. — ISBN 978-5-8114-1508-3. — Текст: электронный // Лань: электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/168536 (дата обращения: 24.01.2022). — Режим доступа: для ав-

ториз. пользователей.

3.Хрущева, И. В. Основы математической статистики и теории случайных процессов: учебное пособие / И. В. Хрущева, В. И. Щербаков, Д. С. Леванова. — Санкт-Петербург: Лань, 2009. — 336 с. — ISBN 978-5-8114-0914-3. — Текст: электронный // Лань: электронно-биб-

лиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/426 (дата обращения: 24.01.2022).

— Режим доступа: для авториз. пользователей.

23

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Варианты задания «Случайные события и их вероятности»

ВАРИАНТ 1

1.Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А

–исправна машина, событие В1 (В2) – исправен первый (второй) котел. Событие С означает работоспособность всей установки, то есть случай, когда исправна машина и хотя бы один котел. Выразить событие С и противоположное ему через А, В1, В2. Являются ли события В1 и В2 несовместными?

2.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь: а) две окрашенные грани, б) три окрашенные грани, с) одну окрашенную грань, д) не будет иметь ни одной окрашенной грани.

3.Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса 5. Найти вероятность того, что: а) точка находится от центра на расстоянии, меньше 3, б) меньший угол между заданной прямой и прямой, соединяющей точку с центром круга, не превосходит π/6 радиан.

ВАРИАНТ 2 1. Бросают две игральные кости. Описать пространство элементарных событий (резуль-

тат опыта – пара чисел). А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В – событие, заключающееся в том, что, хотя бы на одной из костей выпала единица. Из каких элементарных событий состоят события АВ, А+В, А\В?

2.В партии из 7 изделий имеется 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий ровно 3 окажутся бракованными.

3.На окружности единичного радиуса с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от выбранной точки до точки А(1; 0) не превышает 1.

ВАРИАНТ 3

1.Цифры 1,2,3,4 пишутся на четырех листах бумаги. После этого листы кладут в шляпу и хорошо перемешивают. Человек с завязанными глазами вынимает один за другим два листа. Описать пространство событий, отвечающее этому эксперименту. Из каких элементарных событий состоят события: А – сумма цифр на вынутых листах равна семи, С – разность цифр равна трем.

2.В телефонной книге наудачу выбирается семизначный номер телефона. Найти вероятность того, что выбранный номер а) начинается с цифры пять; б) не содержит одинаковых цифр.

3.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r=1 см. Расстояние между осями прутьев равны соответственно 20 и 30 см. Определить вероятность попадания шариком диаметра 8 см в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

ВАРИАНТ 4

1.На трех карточках написаны буквы А, В, С. Карточки хорошо перемешиваются и выкладываются в ряд. Опишите пространство данного эксперимента. Сколько различных «слов» может получиться? Опишите события «слово начинается с гласной буквы» и «гласная

–в центре слова». Совместны ли они?

2.Из колоды 36 карт четырех мастей извлекается одна карта, затем она возвращается в колоду, все карты тщательно перетасовываются и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что извлеченные карты разной масти.

24

3. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М(x;y). Найти

P{|x-y|<1/3}.

ВАРИАНТ 5

1.Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. Построить пространство элементарных событий и события: а) герб выпал при третьем подбрасывании, б) герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании.

2.В коробке лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых карандаша. При падении из коробки случайным образом вывалились 6 карандашей. Какова вероятность того, что среди этих карандашей 1 зеленый, 2 синих и 3 красных?

3.В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит 1/6.

ВАРИАНТ 6

1.Игральная кость подбрасывается трижды. Наблюдаемый результат –упорядоченная тройка чисел. Сколько элементарных событий содержит пространство элементарных событий. Выразить через элементарные события событие А «ровно два раза выпала тройка и один раз шестерка».

2.Из колоды в 52 карты наудачу извлекается 3 карты. Найти вероятность того, что будут дама, король, туз.

3.В прямоугольник со сторонами 1 и 2 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/5.

ВАРИАНТ 7

1.Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Выписать пространство элементарных событий. Сколько элементарных событий соответствует тому, что: а) сумма очков больше десяти; б) сумма очков

–четная?

2.Из полного набора костей домино наудачу берется 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет ровно одна кость, содержащая хотя бы одну шестерку.

3.На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу монета радиуса r=а/5. Найти вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата.

ВАРИАНТ 8 1. Из пяти различных книг А, В, С, Д, Е отбираются три книги. Описать пространство

элементарных событий, отвечающее этому опыту. Сколько элементарных событий соответствует наборам: а) включающим А; б) не включающим А; в) включающим В и С; г) включающим или Д, или Е, и Д и Е?

2.Лифт отправляется с тремя пассажирами и останавливается на семи этажах. Чему равна вероятность P того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже? Равновероятными считаются любые распределения людей по этажам.

3.На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросается монета радиуса r=а/3. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых?

25

ВАРИАНТ 9

1.На карточках написаны буквы слова «подсветка». Наугад выбираются три карточки

ивыкладываются в ряд по одной. Опишите пространство элементарных событий, соответствующее этому эксперименту. Из каких элементарных событий состоят события: а) в слове все буквы – гласные; б) в слове все буквы согласные; в) слово состоит из двух гласных и одной согласной.

2.Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди этих карт окажется ровно один туз.

3.В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М(x; y). Найти

P{max(x;y)<1/3}.

ВАРИАНТ 10

1.Образуют ли данные события пространство элементарных событий описанного эксперимента; если да, то являются ли равновозможными; если нет – являются ли несовместными: эксперимент – бросание двух правильных монет, событие С1 – герб на первой монете, С2 – герб на второй монете?

2.В кошельке лежат три монеты достоинством по 2 руб. и семь монет по 5 руб. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета. Определить вероятность того, что первая извлеченная монета имеет достоинство 2 руб., а вторая 5 руб.

3.На окружности единичного радиуса наудачу выбирается точка. Найти вероятность того, что проекция точки на выбранный диаметр находится от центра на расстоянии, не превышающем 2/3.

ВАРИАНТ 11

1.Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляют собой события АВ, А\В, А+В+С? Опишите пространство элементарных событий для следующего эксперимента: последовательно вынимаются две детали и записывается их сорт.

2.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих со-

нета радиуса r=а/5. Найти вероятность того, что монета пересечет не более одной стороны квадрата.

ВАРИАНТ 12

1.Пусть события А1 и А2 означают попадание в мишень соответственно при первом и втором выстрелах. Выразить через А1 и А2 события: а) два попадания в мишень при двух выстрелах, б) ровно одно попадание в мишень при двух выстрелах, в) хотя бы одно попадание

вмишень при двух выстрелах, г) ни одного попадания в мишень при двух выстрелах. Опишите пространство элементарных событий для этого эксперимента.

2.Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины имеет ровно две одинаковые цифры. Известно, что все номера автомашин четырехзначные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозможные.

3.Наудачу взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение XY будет не больше единицы, а частное Y/X будет при этом не больше двух.

26

ВАРИАНТ 13

1.Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Сколько элементарных событий содержит пространство элементарных событий, отвечающее этому эксперименту? Как изменится ответ, если потребовать, чтобы все цифры номера были различными?

2.Семь человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом. Каков будет ответ, если люди рассаживаются на лавке?

3.В любые моменты промежутка времени Т=5 равно возможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет «забит», если разность между моментами поступления сигналов будет меньше t=1.Определить вероятность того, что приемник будет «забит».

ВАРИАНТ 14 1. Пусть события А1, А2, А3 – попадание в мишень соответственно первым, вто-

рым, третьим стрелком при одном выстреле. Совместны ли события А1, А2, А3? Выразите через А1, А2, А3 события: а) ни одного попадания в мишень; б) только одно попадание в мишень; в) только два попадания; г) хотя бы одно попадание; д) хотя бы два попадания в результате этих трех выстрелов.

2.Десять томов антологии фантастики расставляются на полке наудачу. Какова вероятность того, что первый и десятый том будут разделены ровно тремя другими томами?

3.На отрезке АВ единичной длины наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.

ВАРИАНТ 15

1.По жребию из 25 радиоприемников выбираются три и затем проверяются. Проверка показывает, исправен ли приемник (И) или нет (Н). Выписать пространство элементарных событий, отвечающее этому эксперименту. Какие элементарные события содержит событие А – исправен хотя бы один из трех приемников?

2.Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины НЕ содержит одинаковых цифр. Известно, что все номера автомашин четырехзначные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозможные.

3.В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М(x;y). Найти

P{ xy < 1/2 }.

ВАРИАНТ 16 1. Пусть событие А – падает снег, В – идет дождь. Совместны ли события А и В ?

Выразите через А и В следующие события: а) идет дождь со снегом; б) идет дождь или снег; в) нет дождя; г) ясная погода; д) падает снег без дождя.

2.Для сокращения срока соревнований организаторы турнира решили по жребию разбить 20 команд спортсменов на 2 подгруппы по 10 команд в каждой. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

3.В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М(x;y). Найти

P{ min(x;y) < 1/5}.

27

ВАРИАНТ 17

1.Монета подбрасывается три раза. Построить пространство элементарных событий и события: 1) герб выпал ровно один раз; 2) ни разу не выпала цифра; 3) выпало больше гербов, чем цифр; 4) герб выпал не менее, чем два раза подряд. Есть ли совместные события среди четырех перечисленных?

2.Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что

3. На отрезке единичной длины наугад выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше l/5?

ВАРИАНТ 18

1.Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй, третий шары). Построить пространство элементарных событий и события: а) первый ящик пустой; б)

вкаждый ящик попали по одному шару; в) все шары попали в один ящик.

2.Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ананас».

3.Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения x2 + 2ax +b =0 вещественны, если равно возможны значения коэффициентов в интервалах: –1<a<1,

–1<b<1.

ВАРИАНТ 19 1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, вы-

павших в первый и второй раз. Построить пространство элементарных событий и события: а) оба раза выпало число очков, кратное трем; б) ни разу не выпало число шесть; в)оба раза выпало число очков, больше трех; г) оба раза выпало одинаковое число очков.

2.Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

3.В прямоугольник со сторонами 1 и 2 наудачу брошена точка М. Найти вероятность

того, что расстояние от точки М до ближайшей вершины прямоугольника не превосходит 1/5.

ВАРИАНТ 20

1.Построить пространство элементарных событий для следующего эксперимента: отрезок разделяется на три равные части, на него наудачу бросаются три разные точки. Совместны ли события А1 – первая и вторая точки попали на левую часть отрезка и А2 – третья точка попала на центральную часть отрезка?

2.Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

3.Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой мо-

мент от 20:00 до 21:00 часа. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше 15 минут.

28

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Варианты задания «Основные теоремы теории вероятностей»

ВАРИАНТ 1

1.Сколько раз нужно подбросить две пятикопеечные монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадет два герба? (В ответе указать наименьшее число раз).

2.Из первой урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили два вынутых наудачу шара во вторую урну, содержавшую до этого 4 белых и 4 черных шара. Затем из второй урны вынули наугад один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены два белых шара.

3.Монету бросают 8 раз. Найти вероятность событий: а) герб выпадает 5 раз; б) герб выпадает не более двух раз; в) герб выпадает не менее двух раз. Найти наивероятнейшее число выпадений герба.

ВАРИАНТ 2 1.Игра между А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, ко-

торый всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 1/5; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 3/5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью 2/5. Ничьих не бывает. Определить вероятности выигрыша для А и для В.

2.Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностью 0,34; 0,16; 0,25; 0,16; 0,09 может находиться в пяти различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равна соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,3 и 0,2. Выбранная наудачу единица продукции проверяется на качество. Оказалось, что получена первосортная продукция. Найти вероятность того, что материал был взят из первого интервала.

3.Игральная кость бросается 12 раз. Найти вероятность того, что одно очко выпадает не менее четырех раз. Каково наивероятнейшее число выпадений одного очка?

ВАРИАНТ 3

1.В урне имеется 15 белых и 10 черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.

2.В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых для данного стрелка равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Стрелок берет одно из ружей наудачу и производит выстрел. В результате выстрела произошло попадание. Определить вероятность того, что было взято первое ружье.

3.Испытание состоит в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что

впяти независимых испытаниях ровно два раза выпадает по 3 единицы.

29

ВАРИАНТ 4 1.Найти вероятность того, что заказанный междугородный телефонный разговор не со-

стоится в данный промежуток времени, если вероятность занятости всех каналов связи в этот промежуток равна 0,8, а вероятность отсутствия вызываемого лица равна 0,4.

2.В группе 15 спортсменов: 10 лыжников, 3 конькобежца, 2 бегуна. Вероятность выполнить норму мастера спорта равна: для лыжника 0,18, для конькобежца 0,16, и для бегуна 0,15. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму мастера спорта. Какова вероятность того, что этот спортсмен является лыжником?

3.Игральная кость подброшена 6 раз. Найти вероятность того, что на верхней грани не менее трех раз появится пятерка или тройка.

ВАРИАНТ 5.

1.Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число n не делится ни на два, ни на три. (1<n<100)

2.В группе из 25 человек имеется 5 «нерадивых» студентов, а среди остальных «прилежных» студентов половина участвует в групповой проектной работе (ГПО). Вероятность сдать экзамен на «отлично» по АВС равна: для «нерадивых» студентов 0,01, для «прилежных» студентов, не участвовавших в ГПО – 0,4; для участников ГПО – 0,7. Известно, что первой на экзамене по АВС была отличная оценка. Какова вероятность, что первым сдал экзамен участник ГПО?

3.Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,1. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Найти наивероятнейшее число попаданий. Найти вероятность попадания в цель.

ВАРИАНТ 6

1.Вероятность получения билета, у которого равны суммы трех первых и трех последних цифр шестизначного номера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последовательные номера; б) получены независимого один от другого?

2.Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p1, p2 и p3, где p1=p3=0,25; p2=0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Выбранная наугад радиолампа проработала заданное число часов. Какова вероятность того, что эта радиолампа принадлежит второй партии?

3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20? Какова вероятность этого события?

ВАРИАНТ 7

1.Студент знает 40 из 50 вопросов, предлагаемых на зачете. Чтобы сдать зачет преподавателю А, студенту нужно ответить на оба вопроса, содержащихся в билете, а чтобы сдать зачет преподавателю В, студенту требуется ответить хотя бы на один вопрос билета. Чему равны вероятности сдать зачет у преподавателей А, В?

2.Имеются две партии изделий по 12 и 10 шт., причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. После проверки стало известно, что из второй партии извлечена бракованная деталь. Определить вероятность того, что из первой партии во вторую была переложена бракованная деталь.

3.В урне 9 белых и один черный шар. Какова вероятность того, что при десяти извлечениях с возвращениями черный шар будет извлечен хоты бы один раз? Сколько раз нужно произвести извлечений, чтобы вероятность получить хотя бы один черный шар была бы не меньше 0,9?

30