Прикладная информатика.-6

Глава 4

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

4.1 Метод Гаусса

При написании программы, реализующей этот вычислительный процесс, необходимо учитывать одно важное свойство алгоритма. А именно: когда вычисляются коэффициенты a(k+1) и b(k+1), то нужны только коэффициенты a(h) и b(h) при h = k и не нужны коэффициенты с h < k,

Возникает вопрос, можно ли использовать лишь две переменные A и B для представления всех a(k) и b(k)? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим, какие коэффициенты потребуются на последующих шагах обратной подстановки,

пользоваться любым из уравнений с индексом i = k, . . ., n. Если для вычисления xk выбирается k-е уравнение (i = k), то доступны как раз те строки A и B, которые содержат коэффициенты a(ijk) и b(i k) для i = k + 1, . . ., n. Таким образом, их можно

заменить соответственно на a(ijk+1) и b(i k+1). Из всего этого следует, что достаточно

иметь по одному экземпляру переменных A и B, которые будут последовательно хранить коэффициенты a(ij1), a(ij2), . . ., a(ijn) и b(i 1), b(i 2), . . ., b(i n). Объем памяти, необходимый для хранения этих коэффициентов, резко сокращается. Именно поэтому

применение метода исключения Гаусса экономически оправдано на существующих вычислительных машинах. Заметим, что по аналогичным соображениям можно было бы использовать общую память для xi и bi и не вводить переменную X .

Взглянем на рекуррентные соотношения алгоритма.

Формула получения неизвестных:

При написании программы воспользуемся методом пошаговой детализации. На первом этапе необходимо определиться с основными структурами данных. Учитывая вышесказанное, введем следующие описания переменных:

На самом высоком уровне детализации напишем первый вариант программы в следующем виде:

Вариант 1:

Вариант 2 получается в результате детализации инструкции «вычислить a(k+1) и b(k+1), используя a(k) и b(k), в соответствии с (4.1)» (строка 1.3 в варианте 1), которую можно записать следующим образом:

Вариант 2:

Вэтом месте следует обратить внимание на то, что при вычислении a(ijk+1)

иb(i k+1) по (4.1) множители a(kjk)/a(kkk) и b(kk)/a(kkk) не зависят от параметра цикла i. Следуя основному правилу, по которому нужно избегать повторного вычисления

неменяющихся частей выражений, мы вынесем из инструкции for операцию деления на a(kkk). Но возникает вопрос: где хранить результаты деления? Можно ли

просто заменить a(kjk) и b(kk) соответственно на a(kjk)/a(kkk) и b(kk)/a(kkk)? Рассмотрим, как повлияет эта замена на процесс обратной подстановки. Во-первых, умножение

всех коэффициентов на один и тот же множитель не изменяет значения неизвестных. Во-вторых, при делении на a(kkk) значение самого a(kkk) становится равным 1, и, следовательно, в процессе обратной подстановки деление становится излишним. Поэтому предлагаемая замена не только допустима, но и желательна. На основании вышесказанного запишем третий вариант программы для фазы исключения неизвестных, который предназначен заменить строки 1.2–1.4 в варианте 1.

Вариант 3:

Наконец, при детализации инструкции «вычислить a(i k+1) и b(i k+1), в соответствии с (4.1)» (строка 3.7 в варианте 3) следует учитывать, что A[i, j] имеет значение a(kjk)/a(kkk) (на k-м шаге).

Вариант 4:

Теперь тот же процесс постепенной детализации мы применяем к фазе обратной подстановки. Обратная подстановка реализуется как последовательность вычитаний по (4.2). Заметим только, что деление на a(kkk) уже было выполнено во время фазы исключения неизвестных. Таким образом, строку 1.7 в варианте 1 необходимо заменить следующими строками:

Вариант 5:

Обратите внимание, что здесь существенно используется то свойство инструкции for, в соответствии с которым не выполняется никаких действий, если конечное значение меньше начального значения параметра цикла.

Краткий анализ алгоритма показывает, что в самом внутреннем цикле операции

A[i, j] = A[i, j] − A[i, k] × A[k, j]

выполняются

(n − 1)2 + (n − 2)2 + . . . + 22 + 12 = 16(2n3 − 3n2 + n)

раз. То есть при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса объем вычислений растет как третья степень числа порядка системы n.

4.2 Метод прогонки

Данный метод применяется в случае трехдиагональной матрицы A. В этом случае учитывается особенность структуры матрицы, а систему можно записать в виде:

В развернутом виде это выглядит следующим образом:

Путем несложных манипуляций, в частности применив метод исключения Гаусса, систему можно преобразовать к виду:

Однако данный процесс требует хранения всей матрицы A, что в случае матрицы большой размерности не всегда возможно. А учитывая, что матрица имеет трехдиагональный вид, то метод Гаусса большую часть времени будет выполнять операции с нулевыми элементами.

Но, допустим, матрица вида (4.5) получена, что нам это дает? Из нее получаем рекуррентные соотношения:

Наиболее используемы в пространстве векторов следующие нормы:

x ∞ = max xj

j

x 1 = ∑ xj

j

√√

x 2 = ∑ x 2 = (x, x),

j

а согласованными с ними, нормами в пространстве матриц являются соответственно нормы:

A ∞ = max (∑ aij) ,

ij

где λiAT A — собственные значения матрицы AT A.

4.3.1 Метод простых итераций

Суть метода состоит в последовательном выполнении следующих процедур.

1)Исходная задача A×x = b преобразуется к равносильному виду: x = c×x+d, где c = {cij} — квадратная матрица, d = d{di} — вектор, i, j = 1, . . ., n. Такое преобразование можно осуществить различными способами, однако при осуществлении преобразования следует помнить о том, что для обеспечения сходимости норма матрицы должна быть меньше единицы c < 1.

Например, систему:

1.02 × x1 − 0.15 × x2 = 2.7 0.8 × x1 + 1.05 × x2 = 4

можно записать в форме:

x1 = −0.02 × x1 + 0.15 × x2 + 2.7 x2 = −0.8 × x1 − 0.05 × x2 + 4

для которой c ∞ = max{0.17, 0.85} = 0.85 < 1.

2)Выбирается начальное приближение решения, обычно в качестве начального значения вектора решения берут вектор d, x(0) = d. И затем многократно выполняют действия по уточнению решения в соответствии с рекуррентной формулой:

x(k+1) = c × x(k) + d, k = 0, 1, . . ..