Математические основы криптологии.-1

31

решить следующие задания.

1.1.1Найти НОД с помощью АЕ НОД(28,35) Ответ 7 НОД(112,37) Ответ 1

НОД(76,336) 4 НОД(45,351) 9

НОД(365,45) Ответ 5 НОД(603,108) Ответ 9 НОД(241,37) Ответ 1

1.1.2Проделать РАЕ для чисел

32

§II.2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

Всякое целое a > 1 число, имеет как минимум два делителя (1 и a), если этими числами исчерпываются все положительные делители целого числа, то оно называется простым, иначе, если число имеет помимо 1 и самого себя другие положительные делители, то оно называется составным.

Например, 2,3,5,7,11 – простые числа, а 6,8,9,12 – составные.

Число 1 имеет только один положительный делитель, а именно 1. Посему число 1 в ряде натуральных чисел стоит совершенно особо, не относится ни к простым ни к составным.

Утверждение 1

Наименьший отличный от 1 делитель целого числа a, есть число простое.

Доказательство

Пусть q – наименьший делитель a, если бы q было бы составным, то оно имело бы делитель q1 с условием 1<q1<q, причем число а, делясь на q, по свойству транзитивности делимости должно делиться на q1, но это противоречит тому, что q – наименьший делитель a. ■

Утверждение 2

Наименьший отличный от 1 делитель составного числа а не превосходит

а .

Доказательство

Пусть q наименьший ≠1 делитель а, т.е. a=q·a1, a1 ≥ q т.к. q – наименьший делитель a. Помножим a1 ≥ q на q, получим a1·q ≥ q2, т.к. a=q·a1, a ≥ q2, откуда q ≤ a . ■

33

Утверждение 3 (Теорема Евклида)

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство

Предположим, что простых чисел конечное количество и {p1,p2,… pk} есть все простые числа. Тогда наименьший ≠1 делитель n= p1·p2·…· pk +1 (по Утверждению 1) есть число простое и оно не совпадает не с одним из pi, т.к. если бы совпадало, оно должно было бы делить 1, что противоречит начальному условию. Таким образом, для любых n простых чисел можно найти (n+1)-е простое, что подтверждает утверждение о их бесконечности. ■

Для нахождения таблицы простых чисел, не превосходящих n, существует простой способ, называемый решетом Эратосфена [1,3,4,6]. Он заключается в следующем. Выписываем все числа от 1 до n.

1, 2, 3, 4, … n

Первое простое число – 2, оно делится только на 1 и на себя, следовательно, оно простое. Вычеркиваем из ряда все числа кратные 2 кроме 2, они будут составными, так как помимо 1 и себя имеют делитель – 2 . Следующее, не вычеркнутое число – 3, оно простое, так как если бы оно было бы составным, то оно было бы вычеркнутым. Вычеркиваем все числа кратные 3 кроме 3. Следующее, не вычеркнутое число – 5. И т.д.

Составление таблицы всех простых чисел меньших n закончено сразу, как только вычеркнуты все кратные простых, меньших n .

Данный метод позволяет строить множество простых чисел, но он неудобен для проверки простоты заданного числа. Тем не менее, идея решета и ее обобщения в настоящее время часто используются для «просеивания» множеств чисел, обладающих тем или иным условием. Более того, разрабатываются специальные микропроцессоры, на которых операции «просеива-

34

ния» выполняются очень эффективно [6].

Построение в настоящие время таблицы простых чисел показывают, что с ростом их величин они встречаются все реже и реже. Например, в первой сотне чисел (n=100) их 25, во второй - 21, третьей 16 и т.д. В первой 1000 их 168, во второй тысяче – 135 , в третьей – 120 и т.д.

Для нахождения количества чисел в некотором диапазоне можно воспользоваться следующей теоремой [6].

Утверждение 4 (Теорема Чебышева)

Пусть П(x) – количество простых чисел 1...x, тогда

Из данной теоремы следует, что

- При больших x: П(x) ≈ х ln x

- Потребуется в среднем ln(x) попыток, чтобы получить простое число от

2...х.

Утверждение 5 (Основное свойство простых чисел)

Если р – простое и р|ab, то р|a или p|b или р|a и p|b.

Утверждение 6 (Основная теорема арифметики)

Всякое число a>1 представимо единственным образом в виде произведения простых чисел (если отвлечься от порядка следования сомножителей).

Или математическим языком a > 1 Z а = p1,p2,… pk, где рi – простое

i = 1...k.

Доказательство

1) Сперва докажем существование разложения.

Пусть p1≠1 – наименьший делитель а, следовательно, по Утверждению

35

1, p1 – простое, тогда a = p1·q1. Если q1 – простое, то a = p1· q1 и есть искомое представление.

Иначе p2≠1 – наименьший делитель q1, следовательно, p2 – простое, тогда a= p1·p2·q2. Если q2 – простое, то a= p1ּp2ּq2 и есть искомое представление.

...

Приходим, a = p1p2 ... pk-1qk-1 и qk-1 – простое, тогда a = p1·p2 ...pk и есть искомое представление.

2) Докажем единственность данного представления. Предположим, что таких представлений два

a = p1p2 ...pk= t1·t2·… ·ts, pi и tj - простые i = 1..k j = 1...s

p1|а p1|t1·t2·… ·ts, по основному свойству простых p1|tj , а поскольку p1 и tj - простые, получаем tj = p1.

p2|t1·t2·… t j-1· tj+1… ·ts

...

Приходим pk=tj, из чего следует, что p1p2 ...pk и t1·t2·… ·ts одна и та же последовательность. ■

Пример

Разложим на простые 1827000.

1827000 = 23·32·7·53·29.

Отметим следующие следствия из основной теоремы арифметики.

Следствие 1

Всякое число a представимо в виде a = p1e1 p 2e2 ... p ke k , где ei ≠ 0, pi ≠ pj

для "i ¹ j . Данное представление называется каноническим разложением

числа a.

36

Следствие 2

γ i = min {α i , β i }, a δ i = max {α i , β i }.

Найдем количество различных делителей a = p1α1 p2α 2 ... pkα k , d – делитель a

можно представить d = p1δ1 p2δ 2 ... p kδ k , где 0≤ δi≤αi, δi может принимать (αi + 1) значение, pδi – независимы и всякому набору δ1 δ2 … δk соответствует свое d. Поэтому количество общих делителей можно определить как количество всевозможных сочетаний δ1 δ2 … δk то есть как (α1 +1) (α2 +1)...( α k +1)

Пример

Найдем количество делителей 108 Произведем каноническое разложение 108=22,33ּ

Откуда количество делителей 108: (2+1)(3+1)=12, перечислим их

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}.

Задания

1.2.1 Разложить на простые множители

1.2.2 Найти количество делителей

37

2124 18

1720 16

1360 20

1440 36

2268 30

§II.3. СРАВНЕНИЯ

Отношения и их свойства

Множество есть совокупность некоторых объектов.

Пусть дано два множества М1 и М2, тогда декартово произведение двух множеств есть всевозможные сочетания элементов этих множеств, математическим языком

М1× М2= {(x,y), x M1 y M2}

Пример

Даны два множества М1={1,2,3}, М2={4,5}.

М1× М2= {(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5)}

Определение: Бинарное отношение между элементами множеств, есть подмножество их декартового произведения ρ = М1× М2.

Отношение на множестве М - подмножество M2.

Слово «бинарное» означает, что в данном отношении участвует всего два числа, пример бинарного отношения: a·b, или a/b, или a+b.

Примеры

1) Дано два множества М1={1,2,3} и М2={4,5}, a М1, b М2, найти множество их бинарного отношения ρ, удовлетворяющего условию

38

aρb ↔ a|b (читается: a вступает в отношения ρ с b если a делит b нацело).

Множество, удовлетворяющее данному соотношению

ρ={(1,4),(1,5),(2,4)}

Здесь перечислены все элементы множества М1 которые делятся нацело на М2.

2) Приведем пример бинарного отношения на одном множестве. Дано множество M={1,2,3,4,5}, a, b М. Найдем множество их бинарного отношения aρb ↔ a|b.

ρ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),(5,5)}.

3) Дано множество M={1,2,3} и a, b М. Найдем множество их би-

4) Дано множество M={1,2,3,4,5}, a, b М. Найдем множество их бинарного отношения aρb ↔ a=b+1. ρ={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}. Отношения можно задать в виде графа, для последнего примера можно построить следующий граф.

5) Дано множество M={1,2,3,4,5} и a, b М. Найдем множество их бинарного aρb ↔ a≤b отношения и построим граф. Множество:

ρ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,4

39

),(4,5),(5,5)}, граф:

1 удовлетворяет данному условию для всего множества, 2 для всех чисел кроме 1(т.к. ¬ 2<1), 3 для всех кроме 1 и 2, и т.д. Еще один важный момент, 1ρ2, но ¬ 2ρ1, поэтому используются стрелочки, указывающие какой элемент с каким вступает в отношение, если бы 1ρ2 и 2ρ1 тогда можно было бы без них обойтись, либо рисовать их с обеих сторон ребер графа.

Свойства отношений

1)Рефлективность. Говорят, что отношение обладает свойством рефлективности, если для любого a верно aρa. Пример отношений, обладающих свойством рефлективности aρb ↔ a=b и aρb ↔ a|b.

2)Симметричность. Говорят, что отношение обладает свойством симметричности, если для любых a и b верно, что если aρb bρa. Например, рефлективные следующие отношения: aρb ↔ a=b и aρb ↔ a - b<10.

3)Антисимметричность. Говорят, что отношение обладает свойством антисимметричности, если для любых a и b выполняется aρb bρa.

4)Транзитивность. Говорят, что отношение обладает свойством транзитивности, если для любых a и b выполняется aρb и bρc => aρc. Целочисленное деление (aρb ↔ a|b) обладает свойством транзитивности.

40

Примеры

1) Дано множество M={1,2,3,4,5,6} и a, b М. Найдем множество их бинарного отношения

aρb ↔ a+b<6, построим граф и определим, какими свойствами оно

Свойства:

а) Отношение не рефлективно, поскольку не для любого a верно a+a<6.

б) Симметрично, так как 1+3=3+1<6.

в) Не антисимметрично, поскольку обладает свойством симметричности.

г) Не транзитивно, так как 4+1<6 и 1+2<6, однако ¬4+2<6 .

2) Дано множество M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, a, b М. Найдем множество их бинарного отношения aρb ↔ 4|(a+b) , построим граф и определим, какими свойствами оно обладает. Множество бинарного отношения

ρ={(1,3),(1,7),(2,2),(2,6),(2,10),(3,5),(3,9),(4,4),(4,8),(5,7),(6,6),(6,10),(7

,9),(8,8), (10,10)}.