Математические основы криптологии.-1

111

§III.4. ПОДГРУППЫ

Порядок элемента.

Мы уже знакомы с понятием порядка группы(G,○), то есть количество элементов множества G, теперь мы познакомимся с понятием порядка элемента группы. Суть данных понятий различна, поэтому их следует четко различать [2].

Определение: Наименьшее целое положительное k, такое, что ak=1 (для мультипликативной группы) и а·k=0 (для аддитивной группы), называется порядком элемента а, если такого k не существует, то говорят, что a - элемент бесконечного порядка.

Примеры

1) Найдем порядки всех элементов в аддитивной группе (Z8, +(mod

8))

2) Найдем порядки всех элементов в мультипликативной группе

(U15, · (mod 15))

112

3) Найдем порядки всех элементов в мультипликативной группе

(U13, · (mod 13))

Обратите внимание, порядки некоторых элементов совпадают с порядком группы, но не один порядок элемента не превосходит порядок группы.

Утверждение 4.1

Если порядок a есть k, то все элементы a1,a2,a3,… ,ak - различны.

Доказательство

Докажем от противного, предположим что в данном ряду a1,a2,a3,… ,ak есть равные ai=aj и пусть i>j, поскольку (ai)-1=(aj)-1=a-j ,тогда ai(ai)-1= aia-j =ai- j=1. Получили, что ai-j=1 и i-j<k, чего быть не может так как k-порядок. Следовательно, все элементы a1,a2,a3,… ,ak различны. ■

Утверждение 4.2

Если порядок a есть k и am=1, то k|m (для мультипликативной группы).

Доказательство

По теореме о делении с остатком m=k·q+r, 0≤r<k, тогда am=ak·q+r=(ak)qar=ar=1. Поскольку ar=1 и 0≤r<k, значит r=0, то есть m=k·q. Что по определению делимости значит k|m. ■

Подгруппы

Каждая группа содержит некоторые подмножества, которые сами обра-

113

зуют группу при той же групповой операции. Например, таким свойством обладает подмножество {[0], [2], [4]} группы (Z6,+(mod 6))

Определение: Подмножество Н группы G называется подгруппой этой группы, если Н само образует группу относительно операции группы G. Подгруппы группы G, отличные от тривиальных подгрупп {е} и G, называ-

ется ее собственными подгруппами.

Пример

1) Пусть М={2·a, a Z}, R – множество рациональных чисел, С – множество комплексных чисел, тогда

(M,+) подгруппа (Z,+)

(Z,+) подгруппа (R,+)

(R,+) подгруппа (С,+).

Легко проверяется, что множество всех степеней произвольного элемента а группы G образует подгруппу этой группы.

Определение. Подгруппа группы G, состоящая из всех степеней любого элемента а этой группы, называется подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается символом а . Эта подгруппа, очевидно, циклическая.

а = {...,a-2,a-1,a0,a1,a2,… ak,…}

Утверждение 4.3

Если а - конечная группа, то ее порядок совпадает с порядком элемен-

та а.

Доказательство

114

Пусть k порядок элемента a, тогда по Утверждению 4.1 все элементы

m am {a1,a2,a3,… ,ak}. Для любого элемента a-m можно помножив на k·q такое, что m< k·q получим а в положительной степени ak·q-m для которого известно, оно принадлежит {a1,a2,a3,… ,ak}. ■

Утверждение, имеющее аналогичное доказательство.

Утверждение 4.4

Если а - конечная подгруппа, то ее порядок совпадает с порядком элемента а.

Например

Пусть нам дана группа (U15, ·(mod 15)), U15={1,2,4,7,8,11,13,14},

элементы и соответствующие им порядки

Группы, порожденные элементами 2 и 8 совпадают, а так же 7 и 13.

115

Разложение группы по подгруппе

Пусть дана некоторая группа G, и H подгруппа G, тогда для любого x G имеют место следующие записи

xH = {x○h | h H} и Нх = {h○x | h H} называются левым и правым смежными классом группы G по подгруппе Н. Элемент х называется образующим класса.

Например

Пусть нам дана группа (U15, ○(mod 15)), знаем Н={1,2,4,8} является подгруппой заданной группы. Перечислим классы данной группы по подгруппе. Поскольку группа U15 содержит следующие элементы {1,2,4,7,8,11,13,14}, то мы должны получить 8 классов.

1H ={1,2,4,8}

2H ={2,4,8,1}

4H ={4,8,1,2}

7H ={7,14,13,11}

8H ={8,1,2,4}

11H ={11,7,14,13}

13H ={13,11,7,14}

14H ={14,13,11,7}

На самом деле мы получили только 2 класса, классы 1H =2H =4H =8H, оказались равными, совпали так же 7H =11H =13H =14H.

Свойства классов

Свойства левого и правого классов идентичны [2].

116

Утверждение 4.5

Если Н - конечная подгруппа группы G, то каждый (левый или правый) смежный класс группы G по подгруппе Н содержит столько же элементов, сколько Н.

Утверждение 4.6

Пусть xH смежный класс G, тогда x H.

Доказательство

Поскольку Н – подгруппа, то есть она по определению является группой, а значит, в ней есть нейтральный элемент e H. А смежный класс получается умножением всех элементов на х, следовательно, в классе будет элемент хе Н. ■

Утверждение 4.7

Смежный класс порождается любым из своих элементов, т.е. если у хН следовательно уН = хН.

Доказательство

1) Если y xH, то y=xa, где a H.

Если z yH, то z=yb, где b H z=(xa)b=x(ab).

2) Если y xH, то y=xa, x=ya-1, где a-1 H.

Если z xH, то z=xb, b H z=(ya-1)b=y(a-1b).

117

a-1b H

из (1) и (2) следует, что xH=yH. ■

Утверждение 4.8

Если Н - подгруппа группы G, то отношение ρ на G, определяемое условием

аρb ↔ а = bh для некоторого h H, является отношением эквивалентности.

Вывод

Любые 2 смежных класса группы G по подгруппе Н либо не пересекаются, либо совпадают, т.е. вся группа G распадается на множество непересекающихся смежных классов по подгруппе Н. Множество непересекающихся смежных классов и есть разложение группы по подгруппе Н.

Пример

Пример разложения группы по подгруппе.

Дана группа (U13, ·(mod 13)), пусть дана подгруппа 3 ={3,9,1}

1H ={3,9,1}

2H ={6,5,2}

3H ={9,1,3}

4H ={12,10,4}

5H ={2,6,5}

6H ={5,2,6}

7H ={8,11,7}

8H ={11,7,8}

118

9H ={1,3,9}

10H ={4,12,10}

11H ={7,8,11}

12H ={10,4,12}

Отметим,

1H =3H =9H,

2H =5H =6H,

4H =10H =12H,

7H =8H =11H.

Мы разложили группу (U13, ·(mod 13)) по подгруппе 3 ={3,9,1},

разложение можно записать в виде U13=1Н 2Н 3Н 7Н.

Определение: Если подгруппа Н группы G такова, что множество смежных классов G по Н конечно, то число этих смежных классов называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается через (G:Н).

В приведенном выше примере индекс группы равен 4, а для разложения

(U15,*(mod 15)) по Н={1,2,4,8} (G:Н)=2.

Теорема Лагранжа

Порядок любой конечной группы равен произведению порядка ее подгруппы на индекс этой подгруппы. Или во всякой конечной группе порядок подгруппы есть делитель порядка группы, т.е. если |G|=k, H – подгруппа G и

|H|=m, тогда (G:Н)=k/m.

Доказательство

Пусть G – группа, |G|=k. H – подгруппа G и |G|=m. Произведем разложение группы G по подгруппе H: G = 1Н 2Н 3Н sН, пусть получилось s смежных классов, мощность каждого класса равна мощности подгруппы. |G|

119

= |H|·s m|k. ■

Следствия теоремы Лагранжа

1.Во всякой конечной группе порядок элемента делит порядок группы.

2.Любая группа простого порядка (порядок р - простое) есть циклическая, причем все элементы отличные от 1 порождающие.

3.Конечная циклическая группа а порядка m содержит φ(m) образующих (т.е. таких элементов аr, что аr = а). Образующими являются те и только те степени аr элемента а, для которых НОД(r, m)=1.

Задания

2.4.1 Определить порядки элементов в группах

3в (Z13, +(mod 13))

4в (U17, ·(mod 13))

7 в (U22, ·(mod 22))

2.4.2 Определить порядки всех элементов в группе (U7,

120

(U11, ·(mod 11))

2.4.3 Разложить группу по подгруппе

§III.5. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

Приведенная система вычетов по простому модулю p содержит все элементы {1,2,3,…, р-1}, очевидно ее мощность равна |Up| = p-1. Мы знаем, что Up является группой относительно операции умножения по модулю. Однако у нее есть еще одно свойство. Но прежде чем его сформулировать нам потребуется доказать следующую лемму.

Лемма (о порядке произведения)

Пусть a,b G, порядком a является r, порядком b – s и НОД(r,s) = 1, тогда порядок a·b есть r·s.

Доказательство

1) Пусть порядок a·b есть k, тогда вычислим (ab)rs=(ar)s(bs)r=eser=e, то