Электромагнитная совместимость.-3

131

2.6 Метод моментов: базисные функции

Цель работы – получение навыков задания, использования и программной реализации базисных функций метода моментов.

Для достижения поставленной цели используется программное обеспечение GNU Octave или Scilab. В ходе работы необходимо программно реализовать три вида базисных функций и с их помощью аппроксимировать заданную функцию.

функция. Пусть f представляется системой базисных функций {f1, f2, f3, ... } в области L как линейная комбинация

конечной суммой, а для точных – обычно бесконечной. Подставляя (2.13) в (2.12) и используя линейность L, получим

тестовых (весовых) функций {w1, w2, w3, ... } в области определения L, получим

(после взятия скалярного произведения от обеих частей уравнения (2.14)

которое может быть приближённым или точным в зависимости от выбора функций разложения и тестовых функций.

Для любого численного метода важно выяснить вопросы, связанные с его сходимостью, скоростью сходимости и точностью, которые для метода моментов зависят от оператора L, базисных функций fi, весовых функций wi

(i=1,2,…N) и их числа N.

Эффективность метода для получения результата с заданной точностью определяется, в конечном счёте, затратами времени и памяти компьютера. Если пока не рассматривать задачу синтеза, а ограничиться задачей одновариантного анализа, то для метода моментов решение сводится к следующим шагам:

получение из уравнений Максвелла интегральных уравнений структуры;

дискретизация структуры (разбиение структуры на N подобластей, в каждой из которых искомая функция аппроксимируется базисными функциями);

вычисление элементов матрицы систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размером N*N;

вычисление элементов вектора воздействий размером N;

решение СЛАУ;

134

использования аппроксимирующая функция имеет разрывы, что в электродинамике в ряде случаев неприемлемо, поскольку такие функции могут порождать сингулярные поля, не отвечающие физической реальности. Тем не менее, рассматриваемая система базисных функций нашла достаточно широкое применение.

Рисунок 2.7 – Аппроксимация функции f(x) – синяя линия, с помощью 10 (красная) и 25 (зеленая) КПБФ

Более сложные базисные функции предполагают изменение тока вдоль одной или обеих координат в пределах ячейки. Так, если ток течет в направлении оси x и его можно считать постоянным вдоль оси y, в качестве базисной можно использовать так называемые «крышечные» или кусочно - линейные базисные функции (КЛБФ). Семейство таких функций приведено на рисунке 2.8. Интервал делится на N точек и N–1 подынтервалов, что требует использования N–2 БФ. Длина КЛБФ взята одинаковой, но, как и в случае с импульсными функция, это не обязательное условие. Поскольку смежные функции перекрывают один сегмент, то использование треугольников позволяет кусочно линеаризовать решение между сегментами. КЛБФ определяются следующим образом

136

aNfN(x)

a2f2(x) a3f3(x) a4f4(x) aN–1fN–1(x)

a1f1(x)

x

Рисунок 2.9 – Семейство кусочно-линейных базисных функций с дополнительными функциями на концах интервала

Рисунок 2.10 – Аппроксимация функции f(x) – синяя линия, с помощью 10 (красная) и 25 (зеленая) КЛБФ

Для моделирования быстро изменяющихся в пространстве токов удобнее использовать кусочно-синусоидальные базисные функции (КСБФ), которые подобны КЛБФ, как показано на рисунке 2.11. Они часто используются при анализе проводных антенн из-за их способности представлять синусоидальные распределения токов. Эти функции определяются как

где k = 2 / – волновое число. При этом требуется, чтобы длина сегмента была значительно меньше периода используемой синусоиды.

Пример использования КCБФ для аппроксимации функции

программного кода, реализующий данную аппроксимацию.

a1f1(x) a2f2(x) a3f3(x)

aN–1fN–1(x)

Рисунок 2.11 – Семейство кусочно-синусоидальных базисных функций

2.6.2 Порядок выполнения работы

1.Программно реализовать КЛБФ, КПБФ, КСБФ.

3.Выполнить численное сравнение качества аппроксимации.

4.Сформировать выводы по работе.

5.Оформить отчет.

138

Рисунок 2.12 – Аппроксимация функции f(x) – синяя линия,

спомощью 10 (красная) и 25 (зеленая) КCБФ при k = 2 /20h

2.6.3Содержание и требования к оформлению отчета

Отчет должен содержать титульный лист, название работы и цель работы, исходные данные, результаты расчетов, таблицы и графики, анализ результатов и выводы по работе.

Оформление должно соответствовать ОС ТУСУР 01-2013 "работы студенческие по направлениям подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования и правила оформления".

2.7 Метод моментов: итерационный выбор сегментации

Цель работы – получение навыков задания, программирования и использования итерационного выбора сегментации анализируемой структуры.

Для достижения поставленной цели анализируется поперечное сечение печатной платы в системе TALGAT. В ходе работы необходимо оценить вычислительные затраты используемых алгоритмов и точность решения.

139

2.7.1 Краткая теоретическая справка

Моделирование ЭМС отличается особой сложностью, требующей больших вычислительных затрат. Поэтому, для быстрого моделирования необходимо выявлять ресурсы уменьшения затрат на вычисления. Один из них – выбор сегментации структуры. Возможность получения приемлемых результатов даже при самой грубой сегментации делает целесообразным начало моделирования именно с неё, поскольку это требует минимальных затрат. Использование итерационного выбора сегментации представляется эффективным, особенно для моделирования в реальном времени. Рассмотрим один из возможных вариантов его реализации: алгоритм адаптивного итерационного выбора оптимальной сегментации (АИВОС), на примере решения задачи вычисления емкостной матриц (C) системы проводников и диэлектриков, порядка NCOND, где NCOND – количество проводников, не считая опорного. Такая задача сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида S = V, где S – квадратная и плотная матрица порядка N, являющаяся результатом применения метода моментов к анализируемой структуре, V – матрица, состоящая из задаваемых потенциалов на подобластях,

на которые разбиты границы структуры, а – искомая матрица, дающая распределение поверхностной плотности заряда на этих границах. Порядок матрицы СЛАУ складывается из количества подобластей на границах проводник-диэлектрик (NC) и диэлектрик-диэлектрик (ND), а элементы матрицы вычисляются из параметров этих подобластей.

При равномерной сегментации (одинаковой для всей структуры) получим следующий алгоритм вычисления емкостной матрицы.

Алгоритм 1 – исходное вычисление емкостной матрицы системы проводников

идиэлектриков

1.Установить исходные параметры моделирования (параметры структуры)

2.Установить равномерную сегментацию (шаг сегментации равен толщине

проводника деленное на 3)