Квантовая и оптическая электроника.-3

столкновения с атомом А* как WАБ и WБА

- вероятность обратного процесса, W13

- вероятность перехода атомов газа Б

за

счет столкновений первого

рода

Б +

→ Б * +e , W3 - вероятность процесса девозбуждения третьего уровня.

e

Скорость изменения населенности третьего уровня газа Б:

dN3Б

Б

Б

Б

1

= N

(WАБ + W13 )− N3 (W3

+ WБА )− N3

.

(1)

dt

τ 3

dN

Б

Б

1

1

2

Б

Б

= N1

W12

+

+

,

(2)

dt

+ N3

W32

− N2

W21

τ 3

τ 3

гдеW32

и W31 - вероятности девожбуждения на второй и первый уровни

соответственно.

Решаем уравнение (1) считая процесс стационарным (

d

= 0 )

dt

W + W

+

1

БА

τ

N Б = N

Б

3

3

.

+ WАБ

1

3

W13

W + W

+

1

1

1

3

БА

τ

3

Б

Б

Б

Б

Б

Из (2)

N3 W

+ W

W12

+ τ

+ τ

N3 α13

= N2

α12 .

АБ

+ N3 W32

3

− N2

W21

3

= 0 или

13

N3Б

=

α12 > 1 - (условие достижения инверсии населенности.

N2Б

α13

c3

×l3

l3

(0,56)3 ×10−18

20

3

2

B =

=

=

= 2×10

м

/(Дж×с ).

t×8

3

−7

−34

×p× h ×c

t×8×p× h

0,5×10

×8×p×6,63×10

При А21=2×108

с–1 частота

перехода равна

n=5,36×1014 Гц.

К = 1,38 ×10

−23

Дж

значениях

активной

среды:

– постоянная

Больцмана;

K

T = 300

0

K

, M = 2

×10

−24

г ,

с

= 3 ×10

8 м

.

с

Решение.

Произведем оценку νД

с

учетом

условий

задачи по

следующей формуле:

DnD =

2n0

2kT0 ln 2

.

(3)

Mc2

Центральная

частота,

при

заданном

переходе

1,15 мкм, равна

g(n) =

1/ τπ

,

(4)

1

+ (2 × p × n - 2 × p × n0 )2

t2

ι = 1/ 2π ν , то

Так как время естественной релаксации равно

преобразуем (4) к виду

2×Dn

2×Dn

g(n) =

=

(2p)2 ×106 ×[Dn2 +104 ×(×n2 -2×n×n0 +n02 )]

,

(2pDn)2 +(2p×n-2pn0 )2

где n0= 4,7×10–6 м. Просчитываем несколько значений g(n) вблизи n0.

g(n) :=

2 ×

150

(

2)

2

6

2

+

4

×

n

2

- 2 × n × 4.7

+

4 × p ×

10

×

150

10

4.7

0,16

×10−19

15

3 ×108

−6

n =

= 0,024 ×10

Гц, l =

= 12,5 ×10

м.

0,024 ×1015

6,62

×10−34

Определим частоту и длину волны для колебательных энергетических

уровней с энергией 0,01эВ

l = 125 ×10−6 м.

n = 0,0024 ×1015 Гц,

наиболее применяемых источников света:

1) для белого света t £ 10−4 с;

2) для зеленой линии ртутной лампы ( λ0 = 0,546 мкм) со спектральной

шириной Dl =

&

t = 10

−13

с; 3) для Не-Nе лазера λ0 = 0,63 мкм;

f = 1,5

100 A ;

ГГц; t = 2 ×10−10 с

– для

многомодового режима; 4) для Не-Nе

лазера

λ0 = 0,63 мкм;

f = 1,5 ГГц; t = 2 ×10−2 с –

для одномодового режима.

Решение. Расстояние, проходимое светом за время когерентности,

называют длиной когерентности

Lкогер = c ×τ

(6)

Lкогер » c

Dν

.

(7)

Подставляем в (6) численные значения параметров, получим

Lкогер » c × t = 3 ×108 ×10−13 = 3 ×10−5 м.

3. Для одномодового Не-Nе лазера с временем жизни

t = 2 ×1010

длина когерентности будет равна

Lкогер = c × 2 ×10−10 = 6 ×10−2 м.

4. Для Не-Nе многомодовогого

лазера с временем жизни

t = 2 ×10−2 длина когерентности будет равна

Lкогер = c × 2 ×10−2 = 6 ×106 м.

P = TpJ .

(8)

Удобнее характеризовать потери за счет пропускания зеркал.

aзер =

Tp

.

(9)

l

a =

χ0

,

(10)

1 +

J

J0

где J0 –

насыщенная интенсивность.

При генерации потери на проход плюс потери на зеркалах должны

компенсироваться усилением на проход, т.е. должно выполняться равенство

χ0

= aзер + a .

(11)

J

1+

Выразим из (11) χ0

J0

Ja

рез + Ja = a

+ a + J

зер + a ,

c = 1 +

J × (a

+ a)= a + a +

a

0

зер

рез

зер

J0

J0

J0

J0

J0

c0 - aзер

- a

c0

J =

× J

(12)

aзерз + a

0 = J0 ×

-1 .

aзер + a

Подставляя (12) в (8), получим

c0

P = T

× J = a

LJ

-1 .

(13)

зер

p

0

aзер + a

Оптимальный коэффициент пропускания зеркал определяется из условия

нахождения экстремума выражения (9), т.е.

∂ p

= 0

∂ αзер

¶ p

¶ p

L J0aзерc0

=

- a

зер

L J

0

= 0 .

¶ aзер

aзер + a

¶ aзер

Dν q

=

c

.

(14)

2 × L

Подставив в (14) числовые значения параметров, получим

Dnq =

c

=

3 ×1010

= 1,5 ×1010 Гц.

2

× L

2 ×1

При длине волны в 0,6 мкм, частота будет

nq =

3 ×108

= 5 ×1014

Гц.

0,6 ×10-6

Число частиц на уровне определятся выражением

N =

8 × p × n2 × Dn

× V .

(15)

c3

8 ×3,14 × 25 ×1028 ×3 ×1016 ×1×10−6

16

N =

=

0,69 ×10 .

27 ×1024

В пустом резонаторе уложится

q =

nq

× 2 × L

=

5 ×1014 × 2 ×1×10−2

= 3,3 ×10

4

мод.

c

3 ×108

На заданной полосе частот Dnл

=

3 ×108

= 3 ×1016

уложится

1×10−2 ×10−6

Dnл

=

3 ×1016

= 2 ×106

мод.

Dnq

1,5 ×1010

D ×sina = 2 × k × λ ,

(16)

sin q1

=

λ

,

(17)

D

Dq

= 2 × arcsin

λ

,

1

D

если θ1 мал, то и sin θ1 ≈ θ , и для

θ1 можем написать

Dq =

2 × l

.

1

D

Подставляя численные данные получим,

Dq =

2 × 0,69 ×10−6

= 1,38 ×10−4 рад. Ответ: Dq = 1,38 ×10−4

рад.

10 ×10−3

1

1

lмин

=

1

ln(r1 × r2 )−1/ 2

,

(18)

χ

0 -δ

где c0 – показатель усиления;

d

– показатель

распределенных

потерь в

рассматриваемой среде (рассеяние).

1. В нашем случае

lмин =

1

× 0,457 » 5,7 см.

0,08

(χ0 -δ )мин =

1

ln(r1 × r2 )−1 / 2

(19)

l

и, подставив в (19 ) заданные параметры, получим

(c0

- d)мин =

1

×0,457 = 0,091.

5

ts

c0l

P =

-1 ,

(20)

h(1 + r) dl + ln(r × r0 )−1/ 2

где Р – выходная мощность генерации;

τ – коэффициент пропускания

выходного зеркала;

σ – эффективное сечение среды; η – параметр насыщения;

ρ – коэффициент отражения выходного зеркала; χ0 –

ненасыщенный показатель

усиления среды; l –

эффективная длина активного элемента; ρ0 –

коэффициент

τσ

χ0

(21)

P =

η(1

δ

−1 .

+ r)

единицы длины кристалла. В этом случае оптимальная длина

находится из

условия:

ln(r × r )−1/ 2

=

lорт

1

2

.

(22)

χ0δ

-δ

χ0 = 0,10 см–1 ,

Например, для рассмотренного примера (Задача 11),где

δ=0,02 см– 1, l=5см, находим lОПТ

lорт =

0,457

=18,5

см.

0,1× 0,02

- 0,02

r

=

1

exp[− 2(χ

− δ)l].

(23)

0

мин

r1

При

r2<rмин генерация не возбуждается. Но при очень плотных зеркалах

выход мощности из резонатора очень мал; в предельном случае, когда

r2=1 и,

следовательно, τ=0, выходная мощность равна нулю.

Мощность генератора значительно падает с ростом потерь на зеркалах

резонатора.

Обычно интересуются

зависимостью мощности излучения от

P = τσ

2χ0l

− 1

,

(24)

0

2η

+ α

(τ + α0 )

где α – коэффициент анализируемых потерь.

Генерация срывается при значении α, равном

α пор = 2χ0l -τ -α0 .

(25)

При очень малых значениях

τ

мощность

генерации

растет

приблизительно пропорционально τ:

τσ

2χ0l

P =

−1 .

(26)

α

2η

Затем рост мощности замедляется,

функция Р(τ)

имеет максимум при

Оптимальное значение

легко

находится

приравниванием

нулю

производной dP/dτ. Таким образом, для случая малых усилений

tопт =

- a.

2c0la

(27)

Оптимальная величина мощности получается, если подставить значение в

исходное выражение (26):

(

Pмах =

−1

с

2χ0lα − α)

2χ

0

2η

α

.

(28)

Задача 13

Определить КПД и пороговое напряжение рубинового лазера, размеры

которого заданы в следующем виде: H = 1,054 ×10−34 Дж,

w = 2 × p × 0,5 ×1014

31

с–1 ;

w = 2 × p × 4,33 ×1014 с–1

;

L = 80

мм,

диаметр

кристалла

6,5 мм;

21

N0 = 2 ×1019 см–3 ; t = 5 ×10−3 с;

n = 1,76 ;

η = 0,7 ;

Dwл = 2 × p × 300 ×109 с–1 ;

r × r

= 0,9; G = 0,25; c = 3 ×108 м/с;

h

н

= 50% ;

h

л

= 40% ; h

= 40% ,

1 2

0

80

S = p × R = p × d2

=

3,14 × (6,5)2 ×10−4

= 33,16 ×10−4 см2.

4

4

Решение. Для рубинового лазера порог генерации может быть определен

формулой

2

3

1

1

N0

n

× w31

× Dwл × s + ln

Р =

× h × w × L ×S ×

+

r

,

(29)

2

31

h× t

4 × p × c2 × L × h

где

N0 – общее число активных частиц в единице объема вещества;

ω31 –

частота излучения накачки;

η – квантовый выход излучения накачки ( η = 0,7 );

L –

длина рубинового стержня, S – площадь поперечного сечения (S = p × d2 ); σ

– поперечное сечение; τ –

время жизни метастабильного уровня;

Уравнение (29) для рубинового генератора может быть сокращено до

первого слагаемого в скобках, т.е. его можно переписать в виде

Pпор =

1

× H × w31 × L × S'×

N0

.

(30)

2

h× t

P =

1

×1,054 ×10−34

× 2 ×π × 6,5 ×1014 ×8 × 33,16 ×10−2

×

2 ×1019

= 3260Вт.

0,7 × 5 ×10−3

пор

2

лампе накачки,

преобразуется

в световую,

т.е. эффективность лампы

ηл = 40% . Энергия накачки,

реально

используемая,

определяется

коэффициентом

ηн = 50% . С учетом этих

ограничений

формула (3.0)

перепишется так

/

=

Pпор

P

.

(31)