Информатика.-5

62

•возможность использования вложенных умножений при вычислении значений полинома;

•коэффициенты полинома получаются более простым способом, чем при

интерполяции алгебраическим полиномом.

Недостатком является проведение предварительных расчетов коэффициентов.

5.4 Интерполяция параболическим сплайном

Сплайном называется функция, определенная на отрезке [a;b] , совпадающая на частичных отрезках с некоторыми алгебраическими многочленами степени не выше m и имеющая непрерывную (m - 1) -ю производную.

Параболическим сплайном называют совокупность многочленов второй степени

вида

ϕi (x) = ai +bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 ,

где ai ,bi ,ci - коэффициенты параболических полиномов, i = 0,1,..., N −1; N – число узловых точек.

Коэффициенты ai ,bi ,ci находятся при решении системы линейных уравнений,

которые получаются из выполнения трех условий:

•равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие Лагранжа): ϕi (xi ) = yi , ϕi (xi+1 ) = yi+1 ;

•непрерывность первой производной в узловых точках: ϕ′i (xi+1 ) = ϕ′i+1 (xi+1 ) ;

•равенства некоторому значению D первой производной в начале или на

конце интервала: ϕ′0 (x0 ) = D или ϕ′N −1 (xN ) = D .

Первая производная параболического многочлена равна соответственно

ϕ′i (x) =bi + 2ci (x − xi ) .

Таким образом, если имеется N узловых точек, то для интерполяции сплайном будут использованы (N - 1) параболических многочленов. Поскольку каждый многочлен содержит три коэффициента, то общее число неизвестных 3 (N −1) . Выполнение условия Лагранжа дает 2 (N −1) уравнений. Поскольку число внутренних узлов (N - 2),

то выполнение для них равенства первой производной дает (N - 2) уравнений. Еще одно уравнение дает выполнение равенства нулю первой производной первого многочлена в начале отрезка интерполяции. Общее число уравнений получается равным

Результаты нахождения коэффициентов параболических многочленов сплайна для рассмотренного выше примера (значения узловых точек: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5})

даны в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

65

5.5 Интерполяция кубическим сплайном

Кубическим сплайном называют совокупность многочленов третьей степени вида

ϕi (x) = ai +bi (x − xi ) +ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 ,

где ai ,bi ,ci ,di - коэффициенты кубических полиномов, i = 0,1,..., N −1; N – число узловых точек.

Коэффициенты ai ,bi ,ci ,di находятся при решении системы линейных уравнений,

которые получаются из выполнения трех условий:

•равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие

ϕ′′N −1 (xN −1 ) = 0 .

Первая и вторая производные кубического многочлена равна соответственно

ϕ′i (x) =bi + 2ci (x − xi ) +3di (x − xi )2 , ϕ′′i (x) = 2ci +6di (x − xi ) .

Таким образом, если имеется N узловых точек, то для интерполяции сплайном будут использованы (N - 1) кубических многочленов. Поскольку каждый многочлен содержит четыре коэффициента, то общее число неизвестных 4 (N −1) . Выполнение условия Лагранжа дает 2 (N −1) уравнений. Поскольку число внутренних узлов (N - 2),

то выполнение для них равенства первой производной дает (N - 2) уравнений, и столько же уравнений дает выполнение равенства второй производной. Еще два уравнения дает выполнение равенства нулю вторых производных на концах отрезка. Общее число уравнений получается равным

2 (N −1) + N −2 + N −2 + 2 = 2N −2 + 2N −2 = 4N −4 = 4 (N −1) ,

что соответствует числу неизвестных коэффициентов.

Решая данную систему уравнений, можно определить их значения.

Рассмотрим пример нахождения сплайна, если даны следующие значения узловых точек: {0;0}, {1;0,5},{2;2},{3;1,5}.

Поскольку имеется четыре узловых точки, то сплайн состоит из трех кубических многочленов. Общее число неизвестных коэффициентов – 12. Выполнение условий

66

Лагранжа определит 6 уравнений системы, два уравнения будут получены при выполнении непрерывности первой производной, еще два уравнения получатся при выполнении непрерывности второй производной, и оставшиеся два уравнения получатся за счет равенства нулю второй производной на краях области определения.

В результате получается система, состоящая из 12 уравнений, решая которую, получим значения коэффициентов сплайна.

Подставим это соотношение в последнее уравнение.

c2 = −3d2 = −3 (d0 + d1 ) .

В результате получим систему уравнений, состоящую из 8 уравнений

67

ϕ2 (x) = 0,6 (x − 2)3 −1,8 (x − 2)2 + 0,7 (x − 2) + 2 .

В общем случае итерационная процедура нахождения коэффициентов кубических

68

5.Принимается m0 = mN = 0

6.Находятся значения коэффициентов aK , bK , cK , dK кубических полиномов при K = 0,1,...,(N −1) по следующим формулам

Результаты нахождения коэффициентов кубических многочленов сплайна для рассмотренного выше примера (значения узловых точек: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5})

даны в таблице 5.4.

Таблица 5.4.

5.6Метод наименьших квадратов

Внауке и технике при проведении исследований часто получают совокупность узловых точек {x1; y1}, {x2 ; y2},…, {xN ; yN }, про которые априорно известно, что они

определены с экспериментальной погрешностью. Поэтому не имеет смысла добиваться выполнения условия Лагранжа, чтобы интерполирующая функция обязательно проходила бы через узловые точки. Достаточно того, чтобы ошибки интерполяции (отклонения или остатки) были бы минимальны.

Предположим, что интерполирующая функция имеет вид

ϕ(x) = c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) +... + cm ϕm (x) ,