Информатика.-5

31

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

x1 + 2x2 + x3 + 4x4 =132x1 + 0x2 + 4x3 + 3x4 = 284x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 20

−3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 6

Расширенная матрица имеет вид

Первая строка используется для получения нулей под главной диагональю в первом столбце. Для этого из второй строки вычитается первая строка с множителем 2; из третьей строки вычитается первая строка с множителем 4; из четвертой строки вычитается первая строка с множителем ( -3). В результате расширенная матрица принимает вид

Вторая строка используется для получения нулей под главной диагональю во втором столбце. Для этого из третьей строки вычитается вторая строка с множителем 1,5; из четвертой строки вычитается вторая строка с множителем ( -7/4). В результате расширенная матрица принимает вид

Вычтем из четвертой строки третью строку с множителем ( -1,9) и получим

Используя алгоритм обратной подстановки, получим

32

Поскольку компьютер использует арифметику с фиксированной точностью, то при выполнении арифметических операций каждый раз вводится небольшая ошибка. Эти ошибки могут накапливаться и привести к значительной ошибке в решении системы линейных уравнений.

Значения

1,133 x1 + 5,281 x2 = 6,41424,14 x1 −1,210 x2 = 22,93.

Если решать эту систему методом Гаусса, то для получения нулевого значения под главной диагональю расширенной матрицы требуется из второй строки вычесть первую

Возникшая ошибка обусловлена значением коэффициента 24,141,133 = 21,31.

Теперь поменяем местами уравнения системы

24,14 x1 −1,210 x2 = 22,931,133 x1 + 5,281 x2 = 6,414

33

Множитель первой строки стал 1,13324,14 = 0,04693 . Новые коэффициенты равны

Таким образом, для уменьшения ошибок при решении системы уравнений требуется при вычислении множителей использовать наибольший по абсолютной величине элемент.

Значительные ошибки решения системы уравнений возможны в случае плохой обусловленности. Например, требуется решить систему, записанную в матричном виде,

A X = B .

Решение данной системы X = A−1 B .

Матрица A называется плохо обусловленной, если существует такая матрица B , что при небольших возмущениях коэффициентов матриц A и B произойдут большие изменения в решении X = A−1 B .

Плохая обусловленность имеет место в системах двух уравнений, когда две линии почти параллельны. Рассмотрим два уравнения

x + 2 y − 2,00 = 0 2x + 3y − 3,40 = 0

y

Рис. 3.1. Область, точки которой «почти удовлетворяют» обоим уравнениям

34

подстановка значений в систему уравнений не является надежным критерием точности. Ромбообразная область на рис.6.3.1 представляет множество, точки которого «почти удовлетворяют» обоим уравнениям.

Плохая обусловленность имеет более сильные последствия, когда нужно решать

коэффициентов полинома по методу наименьших квадратов требуется решить следующую линейную систему

При вычислении коэффициентов использовался компьютер с 9-ю знаками точности. Были получены значения

c1 =1,000004 , c2 = −0,000038 , c3 = 0,000126 , c4 = −0,000131.

Хотя они близки к истинному решению, но видно, что ошибка решения существует. Предположим, что коэффициент a11 = 20514 заменен значением 20515, и

решается возмущенная система. Значения, полученные на таком же компьютере и равные

c1 = 0,642857 , c2 = 3,750000 , c3 = −12,3928, c4 =12,7500 ,

являются ничего не стоящим ответом.

35

3.3 Итеративный метод Якоби

Рассмотрим систему линейных уравнений

4x − y + z = 74x −8y + z = −21

−2x + y + 5z =15

Уравнения можно записать в виде

Это позволяет записать следующий итеративный процесс Якоби:

ближе к истинным значениям (2;4;3) . В таблице 3.1. показана сходимость итераций Якоби для данной системы линейных уравнений.

37

4x − y + z = 74x −8y + z = −21

−2x + y + 5z =15

С начальными приближениями x0 =1, y0 = 2 , z0 = 2 .

Таблица 3.2. Сходимость итераций Гаусса-Зейделя

38

4. Численное интегрирование

Задача численного интегрирования сводится к нахождению численного значения I

b

I = ∫ f (x)dx .

a

Численное интегрирование является основным методом, используемым инженерами и учеными для получения приближенного ответа при вычислении определенных интегралов, которые нельзя вычислить аналитически. Например, функцию

Φ(x) , являющуюся решением интеграла Φ(x) = ∫0 ett−1 dt , нельзя записать в

элементарных функциях. Для получения значения Φ(6) необходимо использовать численное интегрирование. Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 4.1, равно значению Φ(6) .

1,5

1

0,5

Численное интегрирование основано на аппроксимации подынтегральной функции другой функцией, для которой существует аналитическое решение определенного интеграла.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими

в том или ином смысле близкими к исходным.

39

4.1 Метод прямоугольников

Численное интегрирование методом прямоугольников имеет три разновидности: метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников и метод центральных прямоугольников.

При вычислении интеграла методом левых прямоугольников криволинейная трапеция заменяется прямоугольниками, высоты которых равны значению функции в левых точках (рис. 4.2). Основания всех прямоугольников равны

h = b −n a ,

где n – число интервалов разбиения отрезка [a;b] , a – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.

Суммарная площадь прямоугольников равна

SΣ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 .

Учитывая, что

40

S1 = h f (a) , S2 = h f (a +h) , S3 = h f (a +2h) ,

S4 = h f (a +3h) , S5 = h f (a +4h) , S5 = h f (a +5h)

и вынося h за скобки, получим

SΣ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 =

= h f (a) + h f (a + h) + h f (a + 2h) + h f (a +3h) + h f (a + 4h) + h f (a +5h) = = h ( f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + f (a +3h) + f (a + 4h) + f (a +5h))

В общем случае формула для решения интеграла методом левых прямоугольников имеет вид

n−1

IЛП = h ∑ f (a +i h) ,

i=0

где h = b −n a .

При вычислении интеграла методом правых прямоугольников криволинейная трапеция заменяется прямоугольниками, высоты которых равны значению функции в правых точках (рис. 4.3). Основания всех прямоугольников равны

h = b −n a ,

где n – число интервалов разбиения отрезка [a;b] ,

a– нижний предел интегрирования,

b– верхний предел интегрирования.

Предположим, что требуется вычислить определенный интеграл I = ∫b f (x)dx .

a

Разобьем отрезок [a;b] на шесть интервалов ( n = 6 ).

Суммарная площадь прямоугольников равна

SΣ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 .