Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимизации.-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

366.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Рис. 3.1 Функция y(x) и ее вариация εv(x) для задачи с закрепленными концами

Преобразуем выражение (3.3). Интегрируем второе слагаемое в (3.3) по частям:

∂ϕ

∫ ϕy′v′dx =ϕy′ v(x)

∫

v(x)

a −

ϕy′ dx

где

ϕy′ = ∂y′ .

Учитывая выражение (3.5), первое слагаемое равно нулю, и тогда

уравнение (3.3) преобразуется в уравнение

∫

ϕy

−

ϕy′ v(x) dx = 0.

(3.6)

Так как v(x) - произвольная функция, то из выражения (4.12) следует

ϕy −

ϕy′

= 0 ,

где

ϕy =

∂ϕ (x, y, y′)

(3.7)

∂ y

Уравнение (3.7) называется уравнением Эйлера. В развернутом виде это

уравнение записывается следующим образом:

y′′(x)ϕy′y′ + y′(x)ϕyy′ + ϕxy′ − ϕy = 0,

(3.8)

где ϕy′y′,

ϕyy′, ϕxy′ - смешанные частные производные 2-го порядка.

Пусть найдены кривые, удовлетворяющие уравнению Эйлера и

граничным

условиям

y(a) = ya;

y(b) = yb .

Решена ли задача?

Нет,

поскольку выполнение уравнения Эйлера является лишь необходимым условием экстремума: «каждый понимает разницу между арестом подозреваемого и фактическим доказательством его виновности». Если не решен вопрос о существовании решения, то нет смысла и говорить о необходимых условиях. Если же существование решения экстремальной задачи именно в этом классе допустимых кривых доказано, то экстремум может достигаться лишь там, где выполнены необходимые условия (в случае простейшей вариационной задачи – только на гладких экстремалях, удовлетворяющих заданным граничным условиям).

Если y(x) – вектор-функция y(x) = (y1(x),..., yn (x)), то при аналогичных условиях для ϕ(x, y(x), y′(x)) и фиксированных граничных

условиях необходимое условие экстремума состоит в выполнении системы n уравнений:

ϕy	−	d	ϕy′ = 0, i =1,...,n .	(3.9)

i		dx i

Если ϕ =ϕ(x, y, y′,..., y(m) )то			при	аналогичных условиях для ϕ и
фиксированных граничных условиях			′
′	′	′	′	; y	(m−1)	(m−1)	, y	(m−1)	(m−1)
y(a) = ya , y(b) = yb; y (a) = ya		, y (b)	= yb	; y		(a) = ya	, y		(b) = yb

необходимое условие экстремума первого порядка состоит в выполнении уравнения Эйлера-Пуассона:

−

d ∂ϕ

d2 ∂ϕ

+ ...+ (−1)m

dm ∂ϕ

= 0.

(3.10)

dx ∂y′

dx2 ∂y′′

dxm ∂ym

Пример 3.1. Задача Лопиталя о форме световых лучей

Какова траектория световых лучей в атмосфере, где скорость распространения пропорциональна высоте?

Постановка этой задачи использует вариационный принцип Ферма в оптике: свет распространяется из одной фиксированной точки в другую по такому пути, время распространения по которому минимально. На основе этого принципа можно построить всю геометрическую оптику.

Рассмотрим плоскую задачу. Пусть источник расположен в точке M0 (x0, y0 ) ,

а наблюдатель – в точке M1(x1, y1) , y0 , y1 > 0.

Запишем математическую модель этой задачи. Время распространения света из точки M0 (x0, y0 ) в точку M1(x1, y1) описывается функционалом

x1	1+ y′2
∫		v
x0					dx ,	где v		– скорость распространения света, т.к.
x0

dt =		ds	=	1+ y		′2
		ds		1+ y			dx . Таким образом,
							dx . Таким образом,

			x1	1+ y′	2
		J(y, y′) = ∫		1+ y′		dx .
		J(y, y′) = ∫		v		dx .
			x0	v
			x0
Здесь v = ky, k > 0. Так как при всех k				функционал достигает минимума на
одной и той же кривой, то примем k =1.

Функция ϕ =	1+ (y′)2		не зависит от x , т.е. ϕ = ϕ(y, y′).
Функция ϕ =			не зависит от x , т.е. ϕ = ϕ(y, y′).
		y

Вэтом случае уравнение Эйлера имеет вид:

ϕy − ϕ yy′ y′ − ϕ y′y′ y′′ = 0.

Умножим обе части этого равенства на y′, получим d (ϕ − y′ϕ y′ )= 0, dx

откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера: ϕ − y′ϕy′ = c или

1+ y′2	−		y′2		= c . После преобразования получим 1	+ y′2 = c2	/ y2 . Здесь

y		y 1+		y′2		1

c =1/c. Отсюда имеем y′ = ±		c2	− y2		± ydy
		c2	− y2		± ydy
		1		. Тогда dx =		,	c2 − y2	= x + c ,
				. Тогда dx =		,	c2 − y2	= x + c ,
1			y		c12 − y2		1	2
			y		c12 − y2
(x + c )2 + y2	= c2 , т.е. экстремалями являются окружности, центры которых
2	1
лежат на оси Ox. Через точки M0			и M1 можно провести единственную
окружность данного семейства.

Итак, мы нашли единственную допустимую кривую, на которой может достигаться минимум функционала. Можно показать, что экстремум существует. А так как он может достигаться лишь на экстремали, проходящей через точки M0 иM1 , то эта экстремаль и является решением поставленной задачи.

Задачи со скользящими концами

В этих задачах концы допустимых кривых могут перемещаться по заданным кривым. В этом случае к необходимым условиям экстремума добавляются условия трансверсальности на подвижном конце — условия, связывающие угловые коэффициенты экстремали и граничной кривой, показывающие, с каким угловым коэффициентом экстремаль должна подходить к граничной кривой.

Для плоского случая условия трансверсальности имеют вид

ϕ − y′	∂ϕ	∂ψ	−	∂ϕ ∂ψ	= 0,
ϕ − y′			−		= 0,
	∂y′	∂y		∂y′ ∂x ψ(x,y)=0

где ψ(x, y) = 0 – неявное задание кривой, по которой перемещается конец допустимой кривой.

В частности, если значения допустимых функций y(x) на границе не подчинены никаким условиям (т.е. конец может перемещаться по прямой x = x0 или x = x1 ), то будем говорить, что это задача со свободным концом.

∂ϕ

На свободном конце выполняется естественное граничное условие ∂y′ = 0.

Если конец движется по прямой y = const , то на нем ϕ − y′	∂ϕ	= 0 .
	∂y′

Если граничная кривая задана в явном виде y = f (x), то условия трансверсальности имеет форму

ϕ +

( f ′ − y′)	∂ϕ	= 0.
( f ′ − y′)		= 0.
	∂y′ y= f (x)

В случае ϕ(x, y, y′) = A(x, y)1+ (y′)2 условия трансверсальности задают условия ортогональности экстремали с граничной кривой: y′ f ′ = −1.

Пример 3.2.

Найти экстремали функционала

J = π∫/ 4(y′2 − y2 )dx

в классе кусочно-гладких кривых, удовлетворяющих условию y(0) =1. Функция ϕ(x, y, y′) = y′2 − y2 имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, поэтому по теореме Дюбуа-Реймона

экстремали	изломов	не	имеют,	являются дважды	гладкими. Так как
ϕy′y′ = 2 > 0,	то если	в	данном	классе допустимых	кривых достигается

экстремум функционала, то он является минимумом.

Необходимым условием минимума является выполнение уравнения Эйлера при 0 ≤ x ≤ π/4 , условие закрепленного конца y(0) =1 и условие свободного

конца при x = π/4 : ϕy′ , вычисленная вдоль экстремали, обращается в 0.

y = c1 cos x + c2 sin x ;			y(0) = c1 =1; y = cos x + c2 sin x ; ϕy′ = 2y′ .
для экстремали

ϕ	y′	= −2sin x + 2c cos x ; ϕ		y′		= −2		2		+ 2c		2	= 0 , откуда c =1.
								2				2

		2			x=π / 4		2		2		2			2
					x=π / 4

Итак, экстремалью является кривая y = cos x + sin x .

Пример 3.3.

Найти гладкую кривую OA длины L, проходящую через начало координат, кончающуюся на прямой y = h и образующую вместе с ординатой точки A и

осью Ox наибольшую площадь.

В этой задаче требуется найти максимум функционала J = ∫ y(x)dx в классе

гладких кривых, левый конец которых закреплен: y(0) = 0 , правый конец

лежит на прямой y = h , а функционал J0 = ∫1+ y′2 dx принимает заданное

значение L.

Решаем эту изопериметрическую задачу методом множителей Лагранжа.

Вводим вспомогательный функционал J1 = x∫1 (y + λ1+ y′2 )dx и решаем для

него задачу на безусловный экстремум.		Запишем необходимые условия. Так

как ϕ = y + λ 1+ y′2	явно не зависит	от x , то уравнение Эйлера имеет
1

		25
первый интеграл ϕ − y′	∂ϕ1	= c. Мы будем искать такое его решение, которое
1	∂y′
1

на левом конце удовлетворяет условию y(0) = 0 , а на правом конце – условию трансверсальности, которое для горизонтальной прямой y = h имеет

вид ϕ − y′	∂ϕ1	= 0. Таким образом, нам известно значение первого интеграла
1	∂y′
1

в одной точке (на правом конце). Тогда по определению первого интеграла

во всех точках экстремали ϕ − y′

∂ϕ1

= 0.

∂y′

λy′

y + λ

− y′

y′ = ±

λ2 − y2

1+ y′2

= 0;

y 1+ y′2 + λ = 0;

;

1+ y′2

± ydy = dx; (x + c)2 + y2 = λ2 .

λ2 − y2

Это – семейство экстремалей. Неизвестные c,λ,x1 определяются из условий

на концах: y(0) = 0,

y(x1) = h, и условия ∫ 1+ y′2 dx = L . Эти условия дают

c2 = λ2 , (x + c)2 + h2

= c2 ,

x = −c ±

c2 − h2 .

Если

искомую кривую

рассматривать при

x > 0

(при x < 0

будет симметричное решение), то, так

как окружность пересекает прямую

y = h в двух точках, то конец кривой –

правая из двух возможных точек пересечения:

x = −c +

c2 − h2 . Константу

c , а вместе с ней и λ , находим из условия

−c+ c2 −h2

∫

1+ y′2 dx = L , где

y′ вычисляется вдоль экстремали и

1+ y′2 = −λ / y (из дифференциального уравнения экстремали). Так как y > 0 при h > 0 (при h < 0имеется симметричное решение), то

y =

λ2 − (x + c)2 . Тогда λ < 0, c < 0, λ = c и

−λ+ λ2 −h2

−λ+

−h

−λ

∫

dx = L ; −λarcsin

= L;

λ2 − (x + λ)2

−

+ arcsin

λ2

− h2

т.е. λ – отрицательный корень этого трансцендентного уравнения. Величина λ определяет положение центра искомой окружности и ее радиус.

Домашние задания

Решить следующие задачи вариационного исчисления (1-6).

1.Задача о брахистохроне (линии наибыстрейшего ската). В вертикальной плоскости даны точки A и B. Определить путь, спускаясь по которому под действием собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки A, достигнет точку B в кратчайшее время.

2.Задача о минимальной поверхности вращения. Найти плоскую кривую, соединяющую две заданные точки плоскости и лежащую выше оси x , которая при вращении вокруг этой оси образует поверхность наименьшей площади.

3.Задача о цепной линии. Найти форму тяжелой однородной нерастяжимой нити, подвешенной за концы.

4.Найти форму мыльной пленки, натянутой на каркас, состоящий из двух параллельных дисков радиусов r и R, центры которых соединены осью длины L, ортогональной дискам.

5.Задача Дидоны. Найти кривую заданной длины L, проходящую через точки A и B оси x (AB < L) , ограничивающую вместе с осью x наибольшую площадь.

6.Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой y = y(x), соединяющей точки M0 (x0, y0 ) и M1(x1, y1) , со скоростью v = k y′. Найти

гладкую кривую, время движения вдоль которой из точки M0 в точку M1 будет минимальным.

Найти экстремали следующих функционалов (7-20).

7.	J = ∫0 (12xy − y′2 )dx,	y(−1) =1,	y(0) = 0.
	−1
8.	J = π∫/ 4 (4y2 − y′2 )dx,	y(0) =1,	y(π/4) = 0 .
	0
9.	J = π∫/ 2 (6y sin2x + y2 − y′2 )dx, y(0) = 0, y(π/2) = 0.
	0

10. J = ∫1 (x2 y′2 +12x2 )dx, y(0) =1, y(1) =1.

					27
11.	J = ∫1	(x2 y − y′2 )dx,	y(0) =1,	y(1) = 0.
	0
12.	J = ∫L (y − xy′2 )dx, y(0) =1,			y(L) = 2 .
	0
13.	J = ∫1	(y′2 + yy′ +12xy)dx, y(0) = 0, y(1) = 0.
	0
14.	J = ∫1	(4y sin x − y2 − y′2 )dx,			y(0) =1,	y(1) = 0.
	0
15.	J = ∫1	(y′2 + y2 + 4y ch(x))dx,			y(0) =1,	y(1) = 0 .
	0
16.	J = ∫2	y′(1+ x2 y′)dx,	y(−1) =1, y(2) =1.
	−1
17.	J = ∫L (xy′2 + yy′)dx,		y(0) = 0,		y(L) =1.
	1
18.	J = ∫b (2xy + (x2 + ey )y′)dx, y(a) = A, y(b) = B.
	a
19.	J = ∫1	(ey + xy′)dx, y(0) = 0,		y(1) = a.
	0

20. Найти расстояние между: (a) точкой (0,0) и кривой y =1/ x2 ;

(b) параболой y = x2 и прямой y = x − 5; (c) окружностью x2 + y2 =1 и прямой x + y = 4 .

4.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1)Мицель А.А., Шелестов А.А. Методы оптимизации: Учеб. пособие – Томск: Изд-во ТУСУРа, 2005. – 256 с. (6 экз +50 экз на каф. АСУ)

2)Методы оптимизации. Лабораторный практикум: Учеб. пособие / Мицель А.А., Шелестов А.А., Романенко В.В., Клыков В.В. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2004.

– 80 с. (6 экз +50 экз на каф. АСУ)

3)Методы оптимизации в примерах и задачах/ Авторы: Бирюков Р.С., Городецкий С.Ю., Григорьева С.А., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. – 101 с.

4)Чжун К. Однородные цепи Маркова . – М.: «Мир», 1964.

5)Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978.

6)Ховард Р.А. Динамическое программирование и марковские процессы. –М.: Советское радио, 1964.

7)Черепанов О.И. Методы оптимизации: учебное пособие / О. И. Черепанов ; Федеральное агентство по образованию, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. - Томск : ТУСУР, 2007. - 203с. (15 экз)

8)Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики Ч. 1.: учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2009. – 198 с. /http://sun.tsu.ru/mminfo/books/2010/000374996/000374996.djvu (электронное издание djvu 1,0 Mb)

9)Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики Ч. 2.: учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2011. – 263 с./ http://sun.tsu.ru/mminfo/books/2012/000416882/000416882.pdf (электронное издание Adobe PDF 7,6 M)

10)Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad: Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика, 2005.-144 с : ил.

11)Карпенко А.П. Методы оптимизации (базовый курс) [Электронный ресурс]. – режим доступа: http://bigor.bmstu.ru/?cnt/?doc=MO/base.cou –

свободный.

12)Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1992. – 504 с.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023351.56 Кб3Методы оптимизации. Часть 1. Экстремумы функций многих переменных.pdf
#
05.02.2023488.08 Кб4Методы оптимизации. Часть 2. Линейное программирование.pdf
#
05.02.2023682.78 Кб7Методы оптимизации.-1.pdf
#
05.02.2023393.75 Кб4Методы оптимизации.-2.pdf
#
05.02.2023416.77 Кб6Методы оптимизации.-3.pdf
#
05.02.2023366.05 Кб6Методы оптимизации.-4.pdf
#
05.02.20231.02 Mб7Методы оптимизации.-5.pdf
#
05.02.2023230.58 Кб5Методы оптимизации.-6.pdf
#
05.02.2023671.11 Кб5Методы оптимизации.-7.pdf
#
05.02.20232.15 Mб23Методы оптимизации..pdf
#
05.02.20231.07 Mб2Методы отбора инновационных проектов..pdf