Квантовая и оптическая электроника.-2
.pdf11
Р |
погл |
= hν |
21 |
(Ne − Ne )B |
ρ |
ν |
g(ν) . |
(1.13) |
|
|
|
1 |
2 12 |
|
|
|
|||
Здесь N1e и Ne2 – населенности уровней в состоянии термодинамического равновесия. В случае сильных полей, когда Wτ1 >> 1,
Р |
|
= hν (Ne − Ne ) |
1 |
. |
(1.14) |
|
|
|
|||||
|
погл |
1 |
2 |
2τ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1.1.2Энергетические уровни, ширина спектральной линии
Энергетические уровни в газах. Электронные уровни (Еэл) –
это энергетические уровни электронов на орбитах атома. Расстояние между электронными уровнями для различных газов может составлять 1 – 10 эВ. Система электронных уровней усложняется с ростом числа электронов на орбите.
Если газ состоит из молекул, то следует рассматривать поступательное движение молекул, колебание атомов в молекуле, вращение молекул и движение электронов в атомах. Если молекула содержит N атомов, то число степеней свободы в линейной системе rл = 3N − 5. Каждому виду колебательных движений со-
ответствуют колебательные энергетические (Екол) уровни. Рас-
стояние между ними порядка 0,1 эВ. Между колебательными уровнями находятся вращательные уровни (Евр) с интервалом порядка 10−3 эВ и менее. Полная энергия молекулы может быть представлена в виде суммы трех слагаемых Ε = Εэл + Εкол + Εвр.
Энергетические уровни в твердом теле. В твердом теле возможно:
- движение электронов внутри кристаллической решетки (электронные уровни – 1 – 2 эВ);
- колебательное движение частиц (атомов, молекул, ионов) в пределах решетки (колебательные уровни – 0,1 эВ).
Энергия электронных уровней для твердых тел порядка 1 – 2 эВ (на один электрон), то есть много больше энергии колебательных уровней. Электронные и колебательные уровни могут расщепляться, смещаться под действием внутренних и внешних электромагнитных полей.
12
В твердых телах существует коллективное движение частиц, образующих кристаллическую решетку. При сильных внутренних полях соседние энергетические уровни сливаются, образуя непрерывные разрешенные зоны, между которыми имеются запрещенные зоны.
Ширина спектральной линии. Излучение для данного пе-
рехода не строго монохроматично, а имеет некоторый спектр частот.
Энергия изолированного атома в возбужденном состоянии записывается:
DE2 ³ |
h |
, |
(1.15) |
|
|||
|
t2 |
|
|
где τ2 – время жизни частицы в возбужденном состоянии систе-
мы из двух уровней (рис. 1.1), то есть мы считаем величину τ2 неопределенностью измерения времени излучения кванта,
t= τ 2 .
Вотсутствие внешних
воздействий спонтанное излучение определяет время жизни состояний. Поэтому наименьшая возможная естественная ширина линии равна
νл = A21 . Это рассуждение
можно применить и к многоуровневой системе. Неопределенность энергии i уровня равна
DEi |
³ |
h |
, |
(1.16) |
|
||||
|
|
ti |
|
|
где τi – время жизни уровня, определяемое по формуле τi =1/ Ai , то есть определяется вероятностью спонтанных переходов. Соотношение (1.16) определяет зависимость конечной ширины любого энергетического уровня ΔΕi от среднего времени жизни этого уровня τi . Если оно бесконечно велико ( τi → ∞ ), то ΔΕi → 0 .
Считают, что основной уровень бесконечно узкий. Наиболее широкими являются уровни с малым временем жизни.
13
Неопределенность в значении частоты перехода между уровнями i и j ( j > i ) с шириной уровней ΔΕi и ΔΕ j (рис. 1.2, а)
равна |
|
(νmax − νmin ) = (ΔΕi + ΔΕ j ) / h . |
(1.17) |
Ширина спектральной линии изолированного и неподвижного атома, определяемая только временем жизни по спонтанному излучению, является минимальной и называется естественной шириной спектральной линии. Спектральная линия – это узкая область с одним максимумом в спектре поглощения (излучения), рис. 1.2, б, при этом ширину спектральной линии определяют как разность частот, на которых интенсивность излучения равна половине максимального значения.
Частотой перехода называют частоту, соответствующую максимуму спектральной плотности линии.
Форма спектральной линии может быть представлена лоренцевой кривой.
У спонтанного излучения интенсивность частотно зависима, следовательно, его вероятность зависит от частоты и имеет некоторую спектральную плотность: Wνспонт = q(ν)Wспонт = A21q(ν) .
Bероятность индуцированного излучения имеет спектральную плотность:
|
Wинд = q(ν)Wинд = B |
q(ν)ρ . |
|
|
ν |
21 |
ν |
При этом |
Wинд = ∫ B21q(ν)ρνdν . |
(1.18) |
|
|
ν |
|
|
Уширение спектральной линии. Назовем причины уши-
рения спектральной линии. Упругие и неупругие столкновения
14
частиц. Эффект Доплера – зависимость наблюдаемой частоты излучения от скорости движения излучателя. Воздействие постоянных электрических (см. Штарка эффект) и магнитных полей (Зеемана эффект) на уровни энергии атомов и молекул может приводить к сдвигу этих уровней и к их расщеплению на несколько подуровней. Уширение спектральных линий за счет насыщения. Уширение спектральной линии в кристаллах за счет колебаний кристаллической решетки.
Спектральные коэффициенты Эйнштейна. Введенные ранее коэффициенты Эйнштейна Aki , Bki и Bik определяют мощность, излучаемую или поглощаемую во всем спектральном диапазоне данного перехода между уровнями i и k, их называют интегральными коэффициентами Эйнштейна, а a ki , bki и bik – спектральными или дифференциальными коэффициентами Эйнштейна.
1.1.3 Усиление и генерация в квантовых системах
Рассмотрим двухуровневую систему. В состоянии термоди-
намического равновесия N = Ne, N |
2 |
= Ne по закону Больцмана: |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Ε2 −Ε1 |
|
|
|
− hν |
|
|||||||||
|
Ne2 = N1ee |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
kT |
N1e kT , |
(1.19) |
||||||||||||||
где T – температура перехода; k – |
|
постоянная Больцмана. |
|
||||||||||||||
Изменение энергии |
в |
бруске |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
площадью |
поперечного |
|
сечения |
|
|
|
|
|
|
dz |
S |
||||||
1 см2 при воздействии на систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
слабого внешнего электромагнитно- |
Р(0,ν) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
го поля (рис. 1.3) будет определять- |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ся следующим образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||
Пусть |
Р(0,v) – |
поверхностная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Рис. 1.3 |
|
||||||||||||
плотность |
мощности |
падающей |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
плоской волны при |
z = 0 . Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
изменение энергии в слое dz на расстоянии z.
Число внутренних переходов с поглощением энергии в слое dz в единичном частотном интервале в единицу времени определяется зависимостью
dn12 = b12 (ν)ρν N1dz ,
|
15 |
а с излучением |
dn21 = b21(ν)ρν N2dz . |
Поглощение и излучение энергии в единицу времени в слое dz определим, умножив dn12 и dn21 на квант энергии.
Спонтанные переходы на процесс взаимодействия поля с веществом не влияют. Изменение энергии электромагнитного поля в слое dz в единицу времени, то есть изменение мощности
dP = dPизл − dPпогл = −[b21(ν)N2 − b12 (ν)N1]ρνhν21dz .
Объемная плотность связана с поверхностной плотностью
мощности соотношением P = ρ ϑ |
|
, где ϑ |
|
|
= |
c |
, тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
гр |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ν |
гр |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dP(z, ν) |
= −[b |
|
(ν)N |
|
− b (ν)N |
] |
hν21 |
dz . |
|
|
(1.20) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
P(z, ν) |
21 |
|
2 |
|
12 |
|
1 |
|
ϑ |
гр |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проведя интегрирование по z от 0 до z, получим при малом |
||||||||||||||||||||||
ρ v: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hν21 |
|
|||
P(z, ν) = P(0, ν)e−χ(ν)z , где χ(ν) = [b |
|
(ν)N − b |
21 |
(ν)N |
2 |
] |
. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ϑ |
гр |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1.21)
Умножим обе части равенства (1.21) на dν, проинтегрируем
по ν.
В пределах спектральной линии, с учетом интегральных коэффициентов, получим
χ(ν0 ) = |
hν |
0 B |
[N1 |
− N 2 ], (1.22) |
|||||
|
νϑгр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где χ(ν0 ) – коэффициент, |
соответст- |
||||||||
вующий центральной частоте перехода, |
|||||||||
ν – интервал частот, |
|
считаем, что |
|||||||
ν21 ≈ ν0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
мощность |
|
в |
любой точке образца равна |
|||||
P(z, ν0 ) = P(0, ν |
0 )e |
−χ(ν0 )z |
, |
то физический смысл параметра χ бу- |
|||||
|
|
|
|||||||
дет заключаться в следующем. Здесь c(n0 ) ¹ f (z) , так как можно предположить, что N1 и N 2 ¹ f (z) .
16
Из (1.22) следует, что величина χ(ν0 ) положительна, если N1 > N2 . В этом случае система находится в термодинамическом равновесии. Энергия внешнего поля поглощается, а χ(ν0 ) имеет смысл коэффициента поглощения и показывает, на какой длине координаты z начальная мощность сигнала уменьшается в 2,7 раз. При χ(ν0 ) <0 с увеличением координаты z происходит рост мощности сигнала P(z,ν0 ) и χ(ν0 ) имеет смысл коэффициента усиления.
Еще раз об инверсии населенности. Среда, в которой возникает инверсия населенности, называется активной средой. Таким образом, при прохождении излучения через среду с инверсией населенности уровней возможно усиление этого излучения, и тогда уравнение для излучаемой мощности можно записать в виде:
P(z, ν0 ) = P(0, ν0 )eχаz , |
(1.23) |
где χ а = −χ (ν 0 ) – показатель усиления активной среды. |
|
При равенстве населенностей ( N1 = N2 ) и χ(ν0 ) = 0 , |
мощ- |
ность сигнала в среде не ослабляется и не усиливается. В этом случае среду можно рассматривать как прозрачную для внешнего сигнала. Состояние с равными населенностями уровней принято называть состоянием насыщения перехода.
Понятие отрицательной температуры выводится из зако-
на Больцмана |
Ε2 − Ε1 |
|
|
hν21 |
|
|
||
T = |
|
= |
, |
(1.24) |
||||
|
Ne |
|
|
Ne |
||||
|
K ln |
1 |
|
|
K ln |
1 |
|
|
|
Ne2 |
|
|
Ne2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где T – температура перехода.
Если N1 > N2, T > 0, если N1 < N2 , T < 0 .
Хотя все выводы мы делали на переходах между двумя уровнями, но нужно знать, что в двухуровневой системе нельзя получить инверсию населенности с помощью электромагнитного поля. Получение инверсии населенности возможно только в системе, содержащей 3 или более уровней.
17
Структурные схемы квантовых усилителей и генераторов
На рис. 1.5 изображены блок-схемы усилителей и генерато-
ров.
Усилитель |
Генератор |
система
система накачки выход
накачки
Вход |
|
|
Выход |
Обратная связь |
||
активное |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
активное |
||
|
|
вещество |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
вещество |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.5
Системы накачки: накачка СВЧ полем в мазерах; оптическая накачка в лазерах; электрическая накачка; электрический разряд в газах; прохождение прямого тока; бомбардировка ускоренными электронами активного вещества; химическая накачка; газодинамическая накачка – быстрое (сверхзвуковое) расширение газа; накачка методом сортировки – пространственное разделение атомов или молекул газа, находящихся в различных энергетических состояниях.
1.1.4 Оптические резонаторы
Положительная обратная связь в лазерах осуществляется с помощью оптического резонатора – системы обращенных друг к другу отражающих поверхностей c r1 и r2. Коэффициенты отражения зеркал r1 и r2, расположены на расстоянии L друг от друга. Условием образования стоячих волн является
L = q × λ q / 2 (q=1,2,3), |
(1.25) |
где q – целое число (продольный тип колебаний); |
|
λ q – длина волны при выбранном значении L.
Каждому q соответствует своя частота колебаний νq , оп-
ределяемая из соотношения: |
|
νq =с/λq = q c/2L. |
(1.26) |
Интервал между частотами соседних продольных волн составляет
18 |
|
Dnq =c/2L . |
(1.27) |
В резонаторе с активной средой происходит не |
только |
усиление мощности, но и потери ее. Перечислим разные виды потерь: потери на поглощение в зеркалах, потери рассеяния на неоднородностях, потери за счет непараллельности зеркал, дифракционные потери (aд), Дифракционные потери различны для квадратных, круглых зеркал; для плоских и сферических. Дифракционные потери определяются с помощью формулы, определяющей число Френеля [6]
N=D2/(L l), |
(1.28) |
где D – размер зеркала.
Затем по таблицам и графикам определяют величину по-
терь.
Таким образом, с учетом всех перечисленных потерь, суммарные потери за один цикл приведут к относительному ослаблению мощности в b раз.
b = r1 × r2 × (1 - aд )× exp(aрас × 2 × L) . |
(1.29) |
Основным параметром резонаторов является добротность, которую можно задать следующей формулой, учитывающей дифракционные потери:
Q = |
|
2 × π × L |
|
, |
(1.30) |
|
|
|
|
|
|||
|
1 - r + |
λ × L |
|
|||
|
λ × |
D2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
где r = r1×r2.
Полная добротность с учетом непараллельности зеркал:
|
|
1 |
|
λ (1 - r ) |
|
λ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
, |
||||||||
|
|
Q = |
2 ×π × L + 2 ×π × L 0 |
+ 2 ×π |
2 × L × D |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
где g – |
угол перекоса зеркал. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В |
формуле (1.31) |
первое слагаемое |
определяет |
|||||||||||
ность QR за счет отражения от зеркал, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
QR=n/Dn=2pnt. |
|
|
|
||||||
Из (1.31а) можно получить время жизни фотона τр = QR /n.
(1.31)
доброт-
(1.31а)
(1.31б)
|
19 |
|
Здесь t=L×n/(c(1– r)) – |
характеристическое время |
затухания |
в среде с показателем |
преломления – n. Второе слагаемое в |
|
(1.31) учитывает потери |
на внутренних дефектах |
кристалла. |
L0 – эффективная длина пути. Величину L0 непосредственно вычислить затруднительно, но можно считать, что l<< L0. Третье слагаемое в (1.31) образуется за счет непараллельности зеркал.
Учет потерь через боковые стенки резонатора можно провести по формуле:
1 |
|
l2 |
. |
|
|
|
|
||
Q = |
4 × p × D2 |
|||
(1.32) |
||||
1.1.5Условия самовозбуждения оптических квантовых генераторов
Условием самовозбуждения является выполнение в генераторе баланса фаз:
ϕ = ( 2π / λ g ) 2 L = 2π g |
(1.33) |
и баланса мощностей, определяющего мощность стационарных
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Самовозбуждение возможно при выполнении условия |
||||||||||||||||||||||
|
r × r exp (c |
a |
− α |
)× 2 L > 1 или |
K2 |
(r × r ) >1. |
(1.34) |
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим выражение для cа в |
||||||||||
|
Прологарифмировав (1.34), |
||||||||||||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= a |
|
+ |
1 |
× ln(r |
|
)−1/ 2 |
, |
|
|
|
(1.35) |
|||||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где α |
|
– |
потери в активном веществе, |
|
a |
|
= |
|
1 |
× ln(r r |
)−1/ 2 . |
||||||||||||
а |
|
з |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
1 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Условие стационарного режима генерации запишем в виде: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
χa = α = αa + αз , |
|
(1.36) |
|||||||||||||
где α – |
коэффициент полных потерь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
С учетом всех потерь и усиления мощность излучения бу- |
||||||||||||||||||||||
дет определяться формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ϑгрLS |
|
0 |
|
|
|
|
/ a), |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Pизл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.37) |
||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
(ca - a)(aз |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
где |
ϑгр – групповая скорость; |
S – |
площадь поперечного сечения; |
||||
α – |
общие потери (α=α +α |
), |
δ |
12 |
– параметр нелинейности; |
χ0 |
– |
|
а з |
|
|
|
a |
|
|
начальный показатель усиления, соответствующий отсутствию поля. Вычислить его можно по формуле
χa0 = |
hn |
0B × N |
|
Г12 |
- b21 |
, |
(1.38) |
Dn × Jгр Г12 |
|
||||||
|
+ b21 |
|
|||||
где β21 – суммарная вероятность переходов 2→1, связанная со спонтанными и безызлучательными переходами.
Для трехуровневой среды в стационарном режиме требуется минимальная (пороговая) мощность накачки, определяющая начало генерации. Её можно определить из следующего выражения
|
|
1 |
N |
0 |
|
|
|
|
Р пор = |
|
hv 31 × l × S |
|
, |
(1.39) |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
t × t |
|
||||
где v31 – частота излучения накачки, Гц; |
|
l – |
длина активного |
||||
элемента, м; |
|
|
|
|
|
|
|
S – |
площадь поперечного сечения активного элемента, м2; |
||||||
N0 – общее число активных частиц в единице объёма веще- |
|||||||
ства 1/см3; |
|
|
|
|
|
|
|
τ – |
квантовый выход люминесценции линии на частоте ν21; |
||||||
t – |
время жизни на метастабильном уровне. |
|
|||||
1.1.6Характеристики излучения ОКГ. Монохроматичность, когерентность, направленность лазерного излучения
Длина когерентности может быть определена из выражения
|
|
|
|
|
|
Lкогер = c ×t, |
|
|
|
|
|
|
(1.40) |
|||
где τ = 1/ λ , |
Δλ – |
ширина спектральной полосы. |
|
|||||||||||||
Пространственная когерентность может определяться с по- |
||||||||||||||||
мощью интерферометра Юнга, причем модуль |
|
γ12 |
|
|
равен: |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
γ 12 |
|
= |
|
J1 + J2 |
|
γ = |
Jmax |
+ Jmin |
, |
(1.41) |
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
эксп |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
J1 + J2 |
I max |
|
|||||||||