y12 = 0; y22 = (1−3 0) /(−6) = −1/ 6;

y32 = (0 − 4 0 − (−10) (−1/ 6)) /(2 / 3) = −5 / 2;

x32 = −5 / 2; x 22 = (−1/ 6) − (−5 / 6) (−5 / 2) = −9 / 4;

x12 = 0 − 2 (−9 / 4) − (−1) (−5 / 2) = 2.

Полагаем i = 3 .

y13 = 0; y23 = (0 −3 0) /(−6) = 0;

y33 = (1− 4 0 −(−10) 0) /(2 / 3) = 3/ 2;

x33 = 3/ 2; x23 = 0 −(−5 / 6) (3/ 2) = 5 / 4;

x13 = 0 − 2 (5 / 4) −(−1) (3/ 2) = −1.

Таким образом, получим

1.1.4 Практическая работа № 4

Работа № 4 выполняется после изучения глав «Приближение функций» и «Численное дифференцирование».

Пример решения типового варианта

Задача 1 Для таблично заданной функции построить интерполяционный

полином Ньютона третьего порядка.

18

q = x0.05−3.5 = 20(x −3.5); n =3; y0 =33.0 .

P3(x) =33.0 +1.8q + 0.2 q(q −1) + 2

+0.1q(q −1)(q − 2) . 6

Остаточный член:

R3(x) = 0.1 q(q −1)(q − 2)(q −3) , 4!

Задача 2 Аппроксимировать полиномом Лежандра 5-ой степени функцию:

f(x) = sin x, x [-π/2, π/2]

Справка

∫x sin xdx = sin x −cos x;

∫x3 sin xdx = (3x2 −6)sin x −(x3 −6x )cos x;

∫x4 sin xdx = (5x4 −60x2 +120)sin x −

−(x5 − 20x3 −120x)cos x

Решение.

Функция f(x) = sin x нечетная на интервале x [-π/2, π/2]. Так как полиномы Лежандра определены на интервале [−1,1], то необходимо перейти к интервалу [−1,1].

будет нечетной на интервале y [−1,1]. Т.к. полиномы Лежандра Pk (x) являются нечетными при k нечетном, то отличными от

19

+10395 π2 6 = 0.0091979.

Q5 (y) = C1y + C3 12 [5y3 - 3y] + C5 18[63y5 - 70y3 + 15y];

y [-1;1].

или

20

Q5 (y) =( C1 - 3C3 + 158 C5 )y + ( 52 C3 - 708 C5 )y3 + 638 C5y5 .

Подставим значения коэффициентов C1, C3, C5 , получим

Q5 (y) = 1.570436 y - 0.642709 y3 + 0.072433 y5

Ответ:

sin(yπ/2)=Q5 (y) = 1.570436 y - 0.642709 y3 + 0.072433 y5 . Вы-

числим погрешность:

В результате получим

21