- •1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
- •1.1 Общие указания по выполнению работ
- •1.1.1 Практическая работа № 1
- •1.1.2 Практическая работа № 2
- •1.1.3 Практическая работа № 3
- •1.1.4 Практическая работа № 4
- •1.1.5 Практическая работа № 5
- •2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
- •2.1. Общие требования
- •2.2. Требования к содержанию отчета
- •2.3. Требования к оформлению программы
- •2.4. Темы лабораторных работ
- •3. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •1.1 Общие указания по выполнению работ
- •1.1.1 Практическая работа № 1
- •1.1.2 Практическая работа № 2
- •Ответ:
- •3) Найти комбинированным методом корень уравнения
- •1.1.3 Практическая работа № 3
- •Задача 1. Решить систему методом Гаусса
- •Решение. Результаты прямого хода выпишем в таблицу
- •Решение: Нам надо решить три системы уравнений вида
- •Таким образом, получили
- •Таким образом, получим
- •1.1.4 Практическая работа № 4
- •1.1.5 Практическая работа № 5
- •2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
- •2.1. Общие требования
- •2.2. Требования к содержанию отчета
- •2.3. Требования к оформлению программы
- •2.4. Темы лабораторных работ
- •3. Список рекомендуемой литературы
- •Приложение А
- •Приложение Б
- •Приложение В
n
y33 = ∑m3k y2k = (1/ 2) [(−4) (−0.99998) + (−3) 2.41418 +1 k =1
(−0.58579) + (−1) 1] = −2.41420;
y3 = (−0.99998, 2.41418, −2.41420, 1).
Таким образом, собственному значению λ2 = −0.58579 соответствует собственный вектор
x = y3 = (−0.99998, 2.41418, −2.41420, 1).
Проверка.
Ax = λx .
Вычислим правую и левую части этого соотношения при
λ = λ2 = −0.58579 .
4 |
|
∑a1k xk = 0.58576 ; |
λ x1 = 0.58578. |
k =1 |
|
4 |
|
∑a2k xk = −1.41418 ; |
λ x2 = −1.41420. |
k =1 |
|
4 |
|
∑a3xk =1.41422; |
λ x3 = −1.41421. |
k =1 |
|
4 |
|
∑a4xk = −0.58578 ; |
λ x4 = −0.58579. |
k =1 |
|
Получили согласие в 4 цифрах после запятой. Задача 3
Найти обратную матрицу, используя метод декомпозиции.
1 |
2 |
−1 |
||
|
3 |
0 |
2 |
|
A = |
|
|||
|
4 |
−2 |
5 |
|
|
|
|||
Решение: Нам надо решить три системы уравнений вида
Axi = ei , i =1, 2, 3.
16
Будем решать эти системы методом декомпозиции. Представим матрицу A в виде произведения матриц: A = B C и вычислим элементы матриц B и C
b11 |
= a11 =1; |
|
b21 = 3; |
b31 = 4; |
|
||||
c11 =1; c12 = 2; c13 = −1; |
|
||||||||
b22 = a22 − b21c12 = 0 −3 2 = −6; |
|
||||||||
b32 = a32 − b31c12 = −2 − 4 2 = −10; |
|||||||||
c |
22 |
=1; c |
23 |
= |
1 |
(a |
23 |
− b c ) |
= |
|
|||||||||
|
|
|
b22 |
21 13 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1/(−6) (2 −3 (−1)) = −5 / 6; |
|
||||||||
b33 = a33 − b31c13 − b32c23 = 5 − 4 (−1) −(−10) (−5 / 6) = = 2 / 3.
Таким образом, получили |
|
|
|
1 2 |
−1 |
|
||||
1 0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
3 |
−6 |
0 |
|
; |
|
0 |
1 |
−5 / 6 |
|
B = |
|
C = |
. |
|||||||
|
4 |
−10 |
2 / 3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Исходные системы раскладываются на две эквивалентные системы
Byi = ei , Cxi = yi , i =1, 2, 3.
Компоненты векторов yi и xi вычисляются по формулам
y1i |
= e1i / b11; |
y2i = (e2i − b21y1i ) / b22; |
y3i |
= (e3i − b31y1i − b32y2i / b33; |
|
x3i |
= y3i ; x2i |
= y2i −c23x3i ; x1i = y1i −c12x2i −c13x3i. |
Полагаем i =1.
y11 =1; y21 = (0 −3 1) /(−6) =1/ 2;
y31 = (0 − 4 1−(−10) (1/ 2) /(2 / 3) = 3/ 2;
x31 =3 / 2; x 21 = (1/ 2) − (−5 / 6) (3 / 2) = 7 / 4;
x11 =1 − 2 (7 / 4) − (−1) (3 / 2) = −1.
Полагаем i = 2 .
17