Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Моделирование систем.-3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

622.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

′

′′

′

f (x) =

−1; f (x) = 20x

. Итак на интервале [1,1.1] f (x) и

f (x) сохраняют знаки, причем

f (x) > 0 и f

(x) > 0 . Далее, так

′′

′

′′

как f (1.1) f

(1.1) > 0 , то вычисления проводим по формулам

′′

(2.8): x0 = a =1;

b0 = b =1.1;

f (b0 ) = 6.3205 ;

x1 = x0 −

f (x0 )(b0 − x0 )

=1−

−0.2(1.1−1)

=1.03917;

f (b0 )−f (x0 )

6.3205

= b

−

f (b0 )

=1.1− 0.3105

=1.05087.

f ′(b0 )

6.3205

Проверяем условие останова:

b1 − x1

1.05087 −1.03917

= 0.0117 > ε; точность не достиг-

нута, продолжаем вычисления. f (x1) = f (1.03917) = −0.02736 ;

f (b1) = f (1.05087) = 0.0307 ; f ′(b1) = f ′(1.05087) = 5.0977 ;

f (x1)(b1 − x1)

−0.02736

= x1

−

(1.05087 −

f (b )−f (x

)

0.0307 −(−0.02736)

−1.03917) =1.04468;

= b

−

f (b1)

=1.05087 −

0.0307 =1.04485.

f ′(b1)

5.0977

b2 − x2 = 1.04485 −1.04468 = 0.0002 < ε; Ответ: ξ = 12 (b2 + b2 ) =1.045 .

1.1.3 Практическая работа № 3

Работа № 3 выполняется после изучения глав «Численные методы линейной алгебры» и «Приближенное решение систем нелинейных уравнений».

Пример решения типового варианта

Задача 1. Решить систему методом Гаусса

7x1 +2x2 +3x3 =155x1 -3x2 +2x3 =1510x1 -11x2 +5x3 = 36

Решение. Результаты прямого хода выпишем в таблицу

	x1	x2	x3	b
A	7	2	3	15
A	5	-3	2	15
	10	-11	5	36
A1	1	2/7	3/7	15/7
A1	0	-31/7	-1/7	30/7
	0	-97/7	5/7	102/7
	1	2/7	3/7	15/7
A2	0	1	1/31	-30/31
A2	0	0	36/31	36/31
A3	1	2/7	3/7	15/7
A3	0	1	1/31	-30/31
	0	0	1	1

Обратный ход
x	3	=1; x	2	= −30 −			1	1 = −1; x				= 15	− 2	(−1)− 3 1 = 2 .
x		=1; x		= −30 −				1 = −1; x				= 15	− 2	(−1)− 3 1 = 2 .
					31		31			1		7	7	7
					31		31					7	7	7
		Задача 2
		Найти собственные числа и собственные вектора матрицы.
						1	2	3	4
						2	1	2	3
				A		2	1	2	3
				A	=	3	2	1	2
						3	2	1	2
						4	3	2	1
						4	3	2	1	~
										~	по следующим формулам
		Решение. Вычисляем матрицу A1									по следующим формулам

a13

a23

a33

a43

a 13

= 2 ;

a 23 = a43

=1;

= a43 = 2 ;

= a43

a43

a13

a23

a 11

= a11 −a41

=1−4

2 = −5; a

= a21 −a41 a43

= −2;

a43

= a31 −a41

a33

= 3 −4

= a41 −a41

a43

= 0;

a 31

=1; a

a43

a13

a23

a 12

= a12 −a42

= 2

−3

= −

; a 22 = a

22 −a42 a43

= −2;

a43

a33

a43

= a32 −a42

= 2

−3

= 0;

a 32

; a

42 = a42 −a42

a43

a13

a 14

= a14 −a44

= 4

−1 2

;

a43

a23

a 24

= a24 −a44

= 3 −1 1 = 2;

a43

= a34 −a44

a33

= 2

−1

= a44 −a

a43

= 0.

a 34

; a

a43

равна

Таким образом, матрица A1

−5 −5 / 2 3/ 2

5 / 2

− 2

1/ 2

3/ 2

, в кото-

Далее вычисляем матрицу A1 . Она равна матрице A1

рой

необходимо

изменить

только

третью

строку.

a131 = ∑anka1k1 = 4 (−5) +3 (−2) +2 1+0 = −24; k=1

a132 = ∑anka1k2 = 4 (−5 / 2) +3 (−2) +2 (1/ 2) +0 = −15; k=1

a133 = ∑anka1k3 = 4 (3/ 2) +3 1+2 (1/ 2) +1 1 =11; k=1

a134 = ∑anka1k4 = 4 (5 / 2) +3 2 +2 (3/ 2) +0 =19.

k=1

−5

−5 / 2 3/ 2 5 / 2

−2

−24

−15

Вычисляем матрицу A2 .

a121

(−5 / 2)

a122

(−2)

a12

; a22 =

;

a132

(−15)

a132

(−15)

a121

a11

= a11 −a31

= −5 −(−24)

= −1;

a132

a122

21 = a21 −a

= −2 −(−24)

;

a132

a31

= a31

−a31

= 0;

a32

a121

a13

= a13

−a33

= (3/ 2) −(11) (1/ 6) = −

;

a132

a122

a23

= a23

−a33

=1−(11) (2 /15)

= −

;

a132

a33

= a33

−a33

= 0;

a32

	2		a132
a32		=		=1;
			a132
			a132

a121

a14

= a14

−a34

= (5 / 2)

−(19) (1/ 6) = −

;

a132

a122

a24

= a24 −a34

= 2 −(19) (2 /15) = −

;

a132

a34

= a34

−a34

= 0.

a132

−1

1/ 6

−1/ 3

−2 / 3

2 /15

−7 /15

−8 /15

18 /15

A2 =

Вычисляем матрицу A2 . Она равна матрице A2 , в которой необходимо изменить только вторую строку.

a221 = ∑a13ka2k1 = (−24) (−1) +(−15) (18 /15) +11 0 +19 0 = 6; k=1

a222 = ∑a13kak22 = (−24) (1/ 6) +(−15) (2 /15) +11 1+19 0 = 5; k=1

a223 = ∑a13ka2k3 = (−24) (−1/ 3) +(−15) (−7 /15) +11 0 +19 1 = 34; k=1

a224 = ∑a13ka2k4 = (−24) (−2 / 3) +(−15) (−8 /15) +11 0 +19 0 = 24.

	k=1
	−1 1/ 6 −1/ 3				−2 / 3
		6	5	34	24
A2	=					.
		0	1	0	0

		0	0	1	0

Аналогично вычисляем матрицу A3.

	3		a2			−1							3				a2
	3		11										3			21
a11		=			=				;		a		21	=				=	1;
			a212				6										a212
			a212				6			a2							a212
	3		2				2			a2											3
	3		2				2				11										3
a12		= a12		−a22									= (1/ 6) −5 (−1/ 6)							=1; a	22	= 0;
a12		= a12		−a22							2		= (1/ 6) −5 (−1/ 6)							=1; a	22	= 0;
										a21
										a21
	3		2				2			a2														3
	3		2				2				11													3
a13		= a13		−a23									= (−1/ 3) −34 (−1/ 6) =16 / 3;										a23			= 0;
a13		= a13		−a23							2		= (−1/ 3) −34 (−1/ 6) =16 / 3;										a23			= 0;
										a21
										a21
	3		2				2			a2															3
	3		2				2				11														3
a14		= a14		−a24									= (−2 / 3) −24 (−1/ 6) =10 / 3;										a24			= 0.
a14		= a14		−a24							2		= (−2 / 3) −24 (−1/ 6) =10 / 3;										a24			= 0.
										a21
										a21
							−1/ 6							1 16 / 3 10 / 3
											1			0		0			0
						=					1			0		0			0	.
			A3			=					0			1		0			0	.


											0			0		1			0
	Вычисляем матрицу A3 по формулам.
					n−1							n			n−2				n−1
					n−1						= ∑a				n−2				n−1
			a				1, j				= ∑a						1,ka		kj;

											k=1
											k=1
								..., n
			j =1,					..., n
			3					4			2		3			= 6 (−1/ 6) +5 1 = 4;
			3								2		3
			a11			= ∑a1kak1
							k=1
			3					4			2		3				= 6 1+5 0 +34 1 = 40;
			3								2		3
			a12			= ∑a1kak2
							k=1

a133 = ∑a1k2 a3k3 = 6 (16 / 3) +5 0 +34 0 +24 1 = 56; k=1

a143 = ∑a1k2 a3k4 = 6 (10 / 3) = 20. k=1

В результате мы получили следующую матрицу Фробениуса

	4			40		56	20
		1	0		0		0
P = A3	=	1	0		0		0	.
		0		1		0	0
		0		1		0	0
		0		0		1	0

Запишем характеристический полином

	4 −λ	40	56	20
	4 −λ	40	56	20
D(λ) =	1	−λ	0	0
	0	1	−λ	0
	0	0	1	−λ

или D(λ) = λ4 −4λ3 −40λ2 −56λ−20 . Корни равны:

λ1 = 9.098975; λ2 = −0.585791; λ3 = −1.098975; λ4 = −3.414209.

Вычислим собственный вектор для λ2 = −0.585791..

• Вычисляем собственный вектор матрицы Фробениуса y = (λ3, λ2 , λ, 1) = (−0.20101, 0.34315, −0.58579, 1).

• Вычисляем вектор y1
m =	1	; m		= −	a2k2	; k ≠1.

11	a2	1k			a2
	21			21
Из элементов матрицы A2			определяем
m11 =1/ 6; m12 = −5 / 6;				m13 = −34 / 6; m14 = −24 / 6;

y11 = ∑m1k y0k = (1/ 6) [1 (−0.20101) + (−5) 0.34315 + (−34) k =1

(−0.58579) + (−24) 1] = 0.99998;

y1 = (0.99998,

0.34315,

−0.58579,

1).

• Вычисляем вектор y2 .

Из элементов матрицы A1 определяем

m21

= −

a131

= − 24 ; m22 =

= −

;

a132

m23

= −

a133

11; m24

= −

a134

;

a132

y22 = ∑m2k y1k = (1/15) [(−24) (−0.99998) + k =1

(−1) 0.34315 +11 (−0.58579) +19 1] = 2.41418; y2 = (−0.99998, 2.41418, −0.58579, 1).

• Вычисляем вектор y3 .

Из элементов матрицы A0 = A определяем

m31

= −

a041

= −

; m32

= −

a042

= −

;

a043

m33

; m32

= −

a044

= −

;

043

a043

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023272.57 Кб2Моделирование распространения световых пучков в нелинейных средах..pdf
#
05.02.2023257.02 Кб7Моделирование робототехнических систем.-1.pdf
#
05.02.2023245.76 Кб3Моделирование робототехнических систем..pdf
#
05.02.20231.03 Mб5Моделирование систем.-1.pdf
#
05.02.2023284.05 Кб5Моделирование систем.-2.pdf
#
05.02.2023622.54 Кб11Моделирование систем.-3.pdf
#
05.02.2023522.44 Кб6Моделирование систем.-4.pdf
#
05.02.2023777.63 Кб8Моделирование систем.-5.pdf
#
05.02.20231.08 Mб14Моделирование систем.-6.pdf
#
05.02.20231.05 Mб6Моделирование систем.-7.pdf
#
05.02.20231.23 Mб10Моделирование систем..pdf