Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математическая статистика.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

	Блоки	Уровни основного фактора A
	фактора B	A1	A2	Ai	Ak

	B	x	x12	x1i	x1k
1		11

	B2	x21	x	x2i	x2 k
			22

	….	….	….	….	….

	B j	x j1	x j 2	x ji	x jk
	….	….	…..	…..	…..

	Bn	xn1	xn 2	xni	xnk

Для описания двухфакторного эксперимента обычно применяют аддитивную

модель. Она предполагает, что значения отклика x ji	являются суммой вкладов
соответствующих уровней факторов A и B и независимых случайных факторов:
x ji = ai + bj + e ji . В этой модели величины вкладов	A и B не могут быть

восстановлены однозначно. Действительно, при одновременном увеличении всех ai на одну и ту же константу и при уменьшении всех bj на ту же константу значения x ji не изменяются.

Для однозначности вкладов удобно перейти к представлению в виде:

x ji = η + αi + β j , при ∑αi = 0, ∑β j		= 0 .
i	j
Параметр η интерпретируется как среднее всех		(т.е.		), а αi и β j —
Параметр η интерпретируется как среднее всех	x ji	(т.е.	x	), а αi и β j —

отклонения от η в результате действия факторов A и B .

4.3.1. Двухфакторный параметрический дисперсионный анализ

Если есть основания предполагать, что случайные величины e ji имеют нормальное распределение с нулевым средним и одинаковой при всех i и j

дисперсией σ2 , можно использовать метод, аналогичный однофакторному

дисперсионному анализу.	Предположим, что влияние фактора		A отсутствует.
Сформулируем гипотезу	H0 : α1 = α2 = ... = αk . Проверим	гипотезу H0 , также
основываясь на сравнении двух независимых оценок: σ2 = α2 + σ2 .
	0	A	сл

Для решения задачи находятся средние дисперсии:

k n

∑∑ x ji

;

i =

∑ x ji

;

j =

∑ x ji ;

i=1 j=1

n j =1

i=1

k n

sсл2 =

∑∑( x ji − xi − x j

+ x )

;

(20)

(n − 1)(k

− 1)

i=1 j =1

sA2 =

∑( xi − x )

(k − 1)

i=1

Если выполняется неравенство

> Fq (v1 = k − 1, v2 = (n −1)(k −1) ) ,

Fнабл

то

отвергается

и влияние

sсл

фактора A считается существенным.

Пример 4

Имеем наблюдения — среднюю по группам успеваемость студентов за выполнение лабораторных работ. Число лабораторных работ равно 5, число групп — 3 (см. табл.4.5).

Таблица 4.5

Исходные данные к примеру 4

	Уровни		Уровни фактора A (лабораторные
	фактора		работы)
	B		работы)

			1-й	2-й	3-й	4-й	5-й		x j
	(группы)		1-й	2-й	3-й	4-й	5-й		x j

1			4,0	3,9	4,3	4,0	4,4	4,12

2			4,2	4,1	4,0	4,3	4,2	4,16

3			3,3	3,5	3,8	3,6	3,4	3,52

			3,83	3,83	4,03	3,97	4,00
		xi	3,83	3,83	4,03	3,97	4,00
		xi

Требуется установить, влияет ли номер лабораторной работы (фактор А) на оценки студентов, т.е. одинаковы ли по сложности лабораторные.

Решение. Так как наблюдений немного, то предположим, что плотность распределения оценок соответствует нормальному закону. Исходные данные и расчеты приведены ниже

(табл. 4.5).

Выдвинем

нулевую

гипотезу о

том, что факторы A не влияют на оценки, т.е.

H0 : m1 = m2 = ... = mk

= m . Сделаем необходимые вычисления:

∑∑ x ji = 3, 93 ;

5 i=1

j =1

5 3

sсл2 =

∑∑( x ji −

i −

j +

)2 = 0, 035 ;

sA2 =

∑(

i − 3, 93)2 = 0, 912 ;

4 i=1 j =1

4 i=1

F =

0, 027

= 0, 758 < F

(4,8) = 3,84 .

0, 035

0,05

Следовательно, H0 для фактора не отвергается. Таким образом, влияние фактора A (номера лабораторной работы) считается незначимым.►

4.3.2. Двухфакторный непараметрический анализ

Двухфакторный непараметрический анализ используется при проверке гипотезы H0 , если о распределении случайной величины e ji известно только то,

что она непрерывна и независима. Рассмотрим решение задачи с использованием критерия Фридмана, который не предъявляет требований к упорядочению уровней факторов.

Двухфакторный непараметрический анализ по критерию Фридмана (произвольные альтернативы)

Критерий основан на идее перехода от значений x ji к их рангам rji . В отличие от однофакторного анализа ранжирование происходит не по всей таблице { x ji } , а

по блокам, т.е. рассматривается каждая отдельная строка таблицы. При фиксированном j осуществляется ранжирование величин x ji при i = 1, 2,..., k .

Тем самым устраняется влияние мешающего фактора B , значение которого для

каждой строки постоянно. Обозначим полученные ранги величин						x ji через rji .
Ясно, что rji . изменяются от 1 до k ,					а каждая строка представляет перестановку
чисел 1, 2,..., k				(при совпадении x ji	надо использовать средние	ранги). При
гипотезе H0 :α1 = α2 = ... = αk все					k ! перестановок равновероятны. Введем
			1	n
величину		i =		∑ rji — среднее значение ранга по столбцу. При H0
	r					значение для
			n
				j =1

каждого столбца не должно сильно отличаться от r = k + 1 — среднего ранга всех

				2
элементов таблицы.
Статистика Фридмана имеет следующий вид
	12n		k	2
S =	12n		∑(ri − r )	2
				.	(21)
	k (k +			.	(21)
	k (k +	1) i=1
Гипотеза H0 отвергается в		пользу альтернативы о наличии эффектов в
обработке, если S ≥ χ2 (v = k − 1) . Для небольших значений n, k					величина
q

критерия Фридмана S (q, n, k ) может быть найдена по специальным статистическим таблицам.

♦ Пример 5

Исследованы зависимости дрожания мышц рук от тяжести поднятого груза (тремор). Каждое табличное значение — среднее пяти экспериментальных измерений частоты тремора у испытуемого. Каждая обработка (уровень фактора A ) соответствует весу груза. Исходные данные приведены в таблице 4.6.

Таблица4.6

Исходные данные к примеру 5

Испытуемый	Уровни фактора A (вес груза в кг)

			54

	1-й (0)	2-й (0,5)	3-й (1,0)	4-й (2)	5-й

1	3,01	2,85	2,62	2,63	2,58

2	3,47	3,43	3,15	2,83	2,7

3	3,35	3,14	3,02	2,71	2,78

4	3,1	2,86	2,58	2,49	2,36

5	3,41	3,32	3,08	2,96	2,67

6	3,07	3,06	2,85	2,5	2,43

Решение. Заменим числовые значения рангами (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Ранжированные данные

Испытуемый								Уровни фактора А (вес груза в кг)

						1-й (0)			2-й (0,5)		3-й (1,0)	4-й (2)	5-й (3,0)

1					5					4	2	3	1

2					5					4	3	2	1

3					5					4	3	1	2

4					5					4	3	2	1

5					5					4	3	2	1

6					5					4	3	2	1

		Ri			30					24	17	12	7
					5					40	2,833	2	1,1667
		Ri			5					40	2,833	2	1,1667
		Ri

Статистика Фридмана, вычисленная по формуле (21), равна
	12 6		5
S =			∑(			i −		)2 = 22, 533 .
				R			R
	5 6			R			R
	5 6		i=1
Критическое				значение					χq2	=0,05 (v = 4) = 9, 488 , следовательно, S > χ0,052 (4) и H0

отвергается. Согласно таблицам χ2 минимальный уровень значимости, при котором гипотеза H0 может быть принята, q = 0, 0001 .

Двухфакторный непараметрический анализ по критерию Пейджа (альтернативы с упорядочением)

Если уровни факторов в таблице {x ji } упорядочены, то для проверки гипотезы

H0 :α1 = α2 = ... = αk против альтернативы H1 :α1 < α2 < ... < αk используется статистика Пейджа.

Введем величину Ri = ∑ rji .

j =1

Статистика

L = ∑i Ri = 1 R1 + 2 R2 + 3 R3 + ... + k Rk .

(22)

i=1

отклоняется в

пользу

H1 ,

если

Lнабл > Lq (k , n) ,

где значение

Lнабл ≥ Lα (k , n) найдено по специальным статистическим таблицам.

Критические значения Lα (k , n) приведены

в табл. 9 (см. статистические

таблицы). Для n > 10 справедлива аппроксимация статистики Пеиджа

L* =

L − M (L)

, где M (L) =

nk (k + 1)2

D(L) =

n(k 3 − k )2

D(L)

144(k −1)

При

L* > uα нулевая

гипотеза

отклоняется

( uα – квантиль

стандартного

нормального распределения.

♦ Пример 6

Для условия, изложенного в примере 5, решим задачу, используя критерий Пейджа.

Решение. Статистику Пейджа вычислим по формуле (22) с учетом упорядочения:

L = 7 + 2 12 + 3 17 + 4 24 + 5 30 = 328 .

Критическое значение

L0,01 (5, 6) = 299 . Так как L = 328 > L0,01 (5, 6) = 299 , то

H0 отвергается. Минимальный уровень для принятия

H0 равен q = 0, 000001 ,

что на два порядка меньше, чем по критерию Фридмана.

Используем теперь аппроксимацию

M (L) =

6 5 (5 + 1)2

= 45; D(L) =

6 (53 − 5)2

= 150 ;

L* =

328

− 45

= 23,1.

144 (5 − 1)

150

Так как u

0,99

= 2, 326 и L*

= 23,1 > u = 2, 326 , то и в этом случае гипотеза H

0,99

отклоняется.►

Тема 5. Корреляционный анализ

Цель занятия:

Практическое проведение корреляционного анализа выборочных данных

Содержание занятия:

1)Вычисление параметрических коэффициентов корреляции

2)Вычисление непараметрических коэффициентов корреляции

5.1. Вычисление параметрических коэффициентов корреляции

Выборочный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами x

иy был впервые введен Пирсоном, поэтому его часто называют

коэффициентом корреляции Пирсона. В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента. Приведем некоторые из них:

r= ( x − x)( y − y) = xy − x y .

σxσ y σx σ y

Используя преобразование, получают

∑( xi − x )( yi − y )

r =

i=1

(1)

nσxσ y

∑( xi − x )

∑( yi

− y )

i=1

или через дисперсии

r =

σ2

+ σ2

− σ2

2σ2σ2

При большом объеме выборки выборочный коэффициент корреляции будет приближаться к корреляционному моменту генеральной совокупности ρ , который определяется как

	M ( x − m		)( y − m )
ρ =		x	y	.	(2)

		σxσ y

Если r = 0 , то величины x и y независимы, а при r = 1 зависимость между x и

y является функциональной.			Коэффициент	корреляции тесно связан с
коэффициентом регрессии:
r = b	σx		,	(3)
	σ	y
		y
где b — коэффициент регрессии в уравнении вида yi				= a + bxi ;

σx — среднеквадратичное отклонение x ;

σy — среднеквадратичное отклонение y . Значимость коэффициента корреляции

проверяется на основе критерия Стьюдента. При проверке этой гипотезы вычисляется t -статистика:

r (n − 2)

n − 2 .

(4)

рас

1 − r 2

Расчетное значение сравнивается с табличным значением tq (v = n − 2) . Если

расчетное значение больше табличного, это свидетельствует о значимости коэффициента корреляции, а, следовательно, и о статистической существенности зависимости между x и y .

При большом числе наблюдений ( n > 100 ) используется следующая формула t -статистики:

t рас =	r
	r	n .	(5)



1	− r 2

Множественный коэффициент корреляции рассчитывается при наличии линейной связи между результирующим признаком Y и несколькими факторными признаками, а также между парой факторных признаков. Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле

δ2

1 −

σост2

(6)

σ2

y / x1

, x2

σ2

где

δ2 — дисперсия теоретических

значений признака Y , рассчитанная по

уравнению множественной регрессии;

σ2 — общая дисперсия признака Y ;

σ2

— остаточная дисперсия.

ост

В случае оценки связи между

результирующим признаком Y

и двумя

факторными признаками x1

и x2

множественный коэффициент корреляции можно

определить по формуле:

Ry / x1 , x2 =

r 2

+ r 2

− 2r

yx yx

x x

(7)

− r 2

x x

где rab — парные коэффициенты корреляции между признаками.

В общем случае коэффициент множественной корреляции между

результирующим признаком

m факторными признаками

x1, x1,..., xm

определяется по формуле

Ry / x , x ,..., x

1 −

(8)

ρ1

1 2

где ρ – определитель матрицы парной корреляции

ρyx

...

ρyx

ρx1 y

ρx1x2

...

ρx1xm

ρ =

...

;

(9)

x2 y

x2 x1

x2 xm

...

xm y

xm x2

xm x3

ρ1 – алгебраическое дополнение элемента ρ11 .

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками. При небольшом числе наблюдений величина множественного коэффициента корреляции, как правило, завышается. В этом случае множественный коэффициент корреляции корректируется:



			=	1 − (1 − R	2	)	n −1
R y / x1	, x2	,..., xm						,	(8)
R y / x1	, x2	,..., xm						,	(8)
							n − k − 1

где R — скорректированное значение;

n — число наблюдений;

k — число факторных признаков.

n − k

Корректировка R не производится при условии, если

≥ 20 .

Проверка

значимости

множественного

коэффициента

корреляции

осуществляется по критерию Фишера:

Ry2

Fрас =

/ x , x

(9)

(1 − Ry2 / x , x )

Множественный коэффициент

корреляции

считается значимым, если

Fрас > Fq (v1 = 2, v2 = n − 3) .

На основе приведенных выше формул (1)-(9) произведем вычисление коэффициентов корреляции и проверим их значимость.

♦ Пример 1

Расчет коэффициента корреляции Пирсона.

На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур необходимо оценить тесноту связи между прибылью (млн. руб.) y и затратами на 1руб. производства продукции x . Исходные

данные и результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные к примеру 1

			59

Наблюдения	y	x	xy	y	2	x	2
				y		x

1	221	96	21216	48841		9216

2	1070	77	82390	1144900		5926

3	1001	77	77077	1002000		5929

4	606	89	53934	367236		7921

5	779	82	63878	606841		6724

6	789	81	63909	622520		6561

Сумма	4466	502	362404	3792338		42280

Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33		7046,67

Решение. Вычислим дисперсии

σ2x = ( x2 ) − ( x)2 = 7046, 67 − 83, 672 = 46 ;

σ2y = ( y2 ) − ( y)2 = 632056 − 744, 332 = 78029 .

Рассчитаем коэффициент корреляции:

r =

xy −

604400 − 744,

= −0, 99 ;

σx σy

46 78029

0, 99

t рас

n − 2 =

6 − 2 = 14, 04 .

− r 2

− (−0, 99)2

Критическое

значение

tq=0,05 (v = 6 − 2 = 4) = 2, 776 .

Так

как

t рас

= 14, 04 > tкр = 2, 776 , то коэффициент корреляции считается значимым.►

Пример 2

Расчет множественного коэффициента корреляции.

По выборочным данным о деловой активности коммерческих структур необходимо оценить тесноту связи между прибылью (млн. руб.) y , затратами на 1

руб. производства продукции x1 и стоимостью основных фондов (млн. руб.) x2 . Исходные данные приведены в таблице 2.

Таблица 2

Исходные данные к примеру 2

Наблюдения		1
		1
	Прибыль y	Затраты на руб. продукции x	Стоимость основ.	2
				Фондов x	x2	x1x2	yx1	x2	yx2	y2
					1			2

1	1070	77	5,9		5929	454,3	82390	34,81	6313,0	1,1449 · 106
2	1001	77	5,9		5929	454,3	11011	34,81	5905,9	1,0020· 106
3	789	81	4,9		6561	396,9	63909	24,01	3866,1	6,2252· 105
4	779	82	4,3		6724	352,6	63878	18,49	3349,7	6,0684· 105
5	606	89	3,9		7921	347,1	53934	15,21	2363,4	3,6723· 105

221

4,3

9216

412,8

21216

18,49

950,3

4,8841· 104

Сумма

4466

502

29,2

42280

2418,0

362404

145,82

22748,4

3.7923· 106

Средняя

744,33

83,67

4,867

7046,6

403

60400,7

24,303

3791,4

632056

Решение. Рассчитаем коэффициенты корреляции:

−

ry , x

x1 y

− x12

y2 − y 2

60400 − 83, 67 744, 33

= −0, 992;

7046, 6

− (83, 67)2

632056 − (744, 33)2

−

ry , x

x2 y

− x22

y2 − y2

3791, 4 − 4,867 744, 33

= 0, 770;

24, 303

− (4,867)2

632056 − (744, 33)2

−

x1 x2

, x

− x12

− x22

403 − 83, 67

4,867

= −0, 794

7046, 6

− (83, 67)2

24, 303 − (4,867)2

Матрица линейных коэффициентов корреляции имеет вид

1 −0, 992 0, 770

−0, 794

Множественный коэффициент корреляции:

(−0, 992)2 + (0, 770)2 − 2 (−0, 992) (0, 770) (−0, 794)

= 0, 992 .

1 − (−0, 794)2

y / x1 , x2

Проверим значимость множественного коэффициента корреляции:


		1		(0, 992)2
Fрас =	2			(0, 992)2			= 92, 63 > Fq=0,05 (2, 3) = 9, 55 ,
	2
	6 − 3		(			)
	1		1		− (0, 992)2
			1		− (0, 992)2

следовательно, коэффициент корреляции значим.►

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.35 Mб4Прикладная информатика.-4.pdf
#
05.02.20231.5 Mб8Прикладная информатика.-5.pdf
#
05.02.2023594.82 Кб6Прикладная информатика.-6.pdf
#
05.02.20231.21 Mб7Прикладная информатика.-7.pdf
#
05.02.2023584.51 Кб5Прикладная информатика..pdf
#
05.02.20231.5 Mб8Прикладная математическая статистика.-1.pdf
#
05.02.2023170.96 Кб5Прикладная математическая статистика.-2.pdf
#
05.02.2023855.72 Кб9Прикладная математическая статистика.-3.pdf
#
05.02.20231.59 Mб10Прикладная математическая статистика.-4.pdf
#
05.02.2023646.51 Кб6Прикладная математическая статистика.-5.pdf
#
05.02.20231.39 Mб7Прикладная математическая статистика.-6.pdf