Математическая логика и теория алгоритмов.-1

11

Задача 9. Докажите, что ←(A \ B) = ←A B.

Доказательство. Пусть x ←(A \ B) x A \ B (x A и x B)

или x A x A ∩ B илиx ←A x ←A (A ∩ B) = (←A A) ∩ (←A B) = = U ∩ (←A B) x ←A B.

Задача 10. Найдите множество X, удовлетворяющее следующему условию: A \ (A \ X) = .

Решение. Из условия имеем A A \ X A ∩ X = ∆ наибольшее множество X, которое не имеет общих элементов с A, есть абсолютное до-

полнение к A, т. е. X = ←A.

При решении задач подобного рода следует догадаться, каким будет искомое множество. Если имеется более одного уравнения для неизвестного множества, то ищите независимо решение для каждого уравнения, а общее решение есть пересечение найденных множеств. В любом случае найденное решение проверьте — подставьте найденное множество в уравнение (или уравнения).

Задача 11. Найдите соответствующее характеристическое свойство для каждого множества: а) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; б) {м, о, н, е, ж, т, с, в};

в) [–2, 3].

Решение: а) {x | x — простое число меньшее 20}; б) {x | x является буквой слова «множество»}; в) {x | x [–2, 3]}.

Задача 12. Приведите пример множеств A, B и C таких, чтобы вы-

полнялись условия A B, B C, A C.

Одно из решений: A = {1}, B = {{1}}, C = {1, 2}.

Задача 13. Доказать тождество A \ (B \ C) = (A \ B) (A ∩ C). Доказательство. (Используем тождества алгебры множеств и тот факт,

что X \ Y = X ∩ ←Y для произвольных X и Y.) A \ (B \ C) = A ∩ ←(B ∩ ←C) = = A ∩ (←B C)) = (A ∩ ←B) (A ∩ C) = (A \ B) (A ∩ C).

Задачи со словами «проверить тождество…» решаются так:

12

1) сначала ищется контрпример (как правило, с помощью диаграммы Эйлера), т. е. множества, для которых указанное тождество не выполняется; 2) если контрпример найден, то делаем заключение — тождество неверно; 3) если котрпример не найден, то следует доказать справедливость тождества.

Аналогично следует поступать, когда требуется проверить не тождество, а какое-то другое отношение.

Задача 14. Проверитьбулево тождество (A \ B) (A \ C) = A \ (B \ C). Решение.

Диаграммы показывают, что в данном частном случае множества

(A \ B) (A \ C) и A \ (B \ C) не равны. Следовательно, равенство множеств

(A \ B) (A \ C) = A \ (B \ C) не выполняется в общем случае.

Задача 15. Проверить булево тождество

A B C = (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C).

Решение. Построим диаграмму Эйлера для левого множества:

А В

С

13

Построим диаграмму Эйлера для множества (A \ B) (B \ C) (C \ A):

А В

С

Диаграмма Эйлера для множества (A ∩ B ∩ C) выглядит так:

А В

С

Следовательно, диаграмма Эйлера для множества (A \ B) (B \ C)

(C \ A) (A ∩ B ∩ C) получается как:

АВ

С

Таким образом, для данных множеств A, B и C тождество выполня-

ется.

Докажем, чтооновыполняетсявобщемслучае. ПосколькуA \ B, B \ C, C \ A

и A ∩ B ∩ C являются подмножествами множества A B C, то объединение этих подмножеств также является подмножеством A B C. Таким образом,

видим, что (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C) A B C. Осталось доказать противоположное включение.

Пусть x A B C. Докажем, что

x (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C).

14

Мы можем считать, что x A, если это не так, то аналогичное рас-

суждение проходит для x B или x C.

Итак, пусть x A; имеется два варианта: a) x B и b) x B.

Вариант a. Если x B, то x A\B и, следовательно, x (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C).

Утверждение доказано.

Вариант b. Имеем x B. Здесь снова имеется два варианта: b1) x C

и b2) x C.

Подвариант b1. Имеем x B и x C, тогда x B \ С, и, следователь-

но, x (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C). Утверждение доказано.

Подвариант b2. Имеем x C, x B и x A, тогда x A ∩ B ∩ C, и,

следовательно, x (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A ∩ B ∩ C). Утверждение доказано.

Задача 16. Проверить, что A ∩ B C A ←B C.

Решение. Сначала следует попробовать опровергнуть это утверждение, т. е. найти такие множества A, B и C, чтобы выполнялось отношение

A ∩ B C, но не выполнялось A ←B C, или, наоборот, выполнялось

A ←B C и не выполнялось A ∩ B C. После безуспешных попыток найти такие множества следует доказать данное утверждение.

Доказательство распадается на два этапа.

1. Докажем сначала, что A ∩ B C A ←B C. Таким образом,

пусть A ∩ B C выполнено, докажем, что A ←B C. Поскольку требуется доказать включение множеств, то возьмем произвольный элемент x A и убедимся, что x ←B C. Элемент x может принадлежать B и мо-

жет не принадлежать B. Если x B, то x A ∩ B. Так как дано, что

A ∩ B C, то получаем x C и, тем более, x ←B C. Теперь рассмотрим случай, когда x B, тогда x ←B и, тем более, x ←B C.

15

2. Докажем теперь, что A ¬B C A ∩ B C. Таким образом,

пусть A ¬B C выполнено, докажем, что A ∩ B C. Поскольку требуется доказать включение множеств, то возьмем произвольный элемент x A ∩ B и убедимся, что x C. Имеем, если x A ∩ B, то x A и, по ус-

ловию, x ¬B C. Так как одновременно x B, то x ¬B и, следователь-

но, x C. Доказательство закончено.

Задача 17. Проверить тождество A (B C) = (A B) C.

Решение. Сначала следует попробовать опровергнуть это утверждение, т. е. найти такие множества A, B и C, чтобы диаграммы Эйлера для

множеств A (B C) и (A B) C были разные. После безуспешных попыток найти такие множества следует доказать данное утверждение.

Используя основные тождества алгебры множеств, преобразуем ле-

делению ) (A ∩ ¬((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B))) (((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B)) ∩

∩ ¬A). Преобразуем отдельно множества (A ∩ ¬((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B))) и

(((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B)) ∩ ¬A).

a) (A ∩ ¬((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B)) = (закон де Моргана) (A ∩ (¬(B ∩

∩ ¬C) ∩ ¬(C ∩ ¬B)) = ( по закону де Моргана) (A ∩ ((¬B ¬¬C) ∩ (¬C

¬¬B)) = (A ∩ ((¬B C) ∩ (¬C B)) = (многократно применяя закон ди-

стрибутивности) (A ∩ ¬B ∩ ¬C) (A ∩ ¬B ∩ B) (A ∩ C ∩ ¬C) ) (A ∩

∩ C ∩ B) = (так как подчеркнутые множества — пустые) (A ∩ ¬B ∩ ¬C)

(A ∩ C ∩ B).

b) Аналогично преобразуя множество ((B ∩ ¬C) (C ∩ ¬B)) ∩ ¬A,

получаем множество (¬A ∩ B ∩ ¬C) (¬A ∩ C ∩¬B). Таким образом, левая часть преобразована к множеству

16

(A ∩ ¬B ∩ ¬C) (A ∩ C ∩ B) (¬A ∩ B ∩ ¬C) (¬A ∩ C ∩ ¬B).

2. Теперь преобразуем правую часть. (A B) C = (так как операция

коммутативна) C (B A). Последнее множество совпадает с множест-

(A ∩ ¬B ∩ ¬C) (A ∩ C ∩ B) (¬A ∩ B ∩ ¬C) (¬A ∩ C ∩ ¬B)

при взаимной замене переменных A и C. Таким образом, (A B) C = = (C ∩ ¬B ∩ ¬A) (C ∩ A ∩ B) (¬C ∩ B ∩ ¬A) (¬C ∩ A∩ ¬B).

Множества, полученные в результате преобразования левой и правой части, совпали (если учитывать коммутативность пересечения и объединения). Следовательно, тождество доказано.

Задача 18. Проверить тождество

A (B C) = (A B C) \ (A ∩ B) \ (A ∩ C) \ (B ∩ C).

Решение. Построим диаграмму Эйлера для левого множества в два этапа:

Теперь построим диаграмму для правого множества в три этапа:

И окончательная диаграмма для множества

(A B C) \ (A ∩ B) \ (A ∩ C) \ (B ∩ C):

А В

С

Диаграммы показывают, что в данном частном случае множества

A (B C) и (A B C) \ (A ∩ B) \ (A ∩ C ) \ (B ∩ C) не равны. Следова-

тельно, тождество не выполняется в общем случае.

2.2 Отношения

Задача 19. Пусть A = {0, 1}. Перечислите элементы множеств A2, A3.

Решение. A2 = {<0, 0>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 1>}; A3 = {<0, 0, 0>, <0, 0, 1>, <0, 1, 0>, <0, 1, 1>, <1, 0, 0>, <1, 0, 1>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>}.

Задача 20. Определим упорядоченную пару <a, b> как множество {{a}, {a, b}}. Убедимся, что такое формальное теоретико-множественное определение вполне соответствует нашему неформальному определению упорядоченной пары. Для этого достаточно доказать, что для любых элементов <a, b> = <c, d> тогда и только тогда, когда a = c, b = d.

18

Решение. Доказательство. Пусть <a, b> = <c, d> {{a}, {a, b}} =

={{c}, {c, d}} множества должны быть поэлементно равны и равенство возможно только в ситуации {a} = {c} и {a, b} = {c, d} a = c и {a, b} =

={c, d} a = c и b = d.

Задача 21. Пусть A C, B C. Докажите, что

A B = (A C) ∩ (C B).

Решение. Пусть <a, b> A B a A, b B (a A, b C) и (a C, b B) (так как, A C, B C) <a, b> A C и <a, b> C B

<a, b> (A C) ∩ (C B). Наоборот, пусть <a, b> (A C) ∩ (C B) <a, b> A C, <a, b> C B a A, b B <a, b> A B.

Задача 22. Докажите, что подмножество C множества A B является прямым произведением некоторого подмножества A1 множества A и подмножества B1 множества B тогда и только тогда, когда для любых <a, b> C, <c, d> C следует, что <a, d>, <c, b> C.

Доказательство. Пусть A1 A, B1 B, C = A1 B1. Возьмем

<a, b> C, <c, d> C a, c A1, b, d B1 <a, d>, <c, b> A1 B1 = = C. Наоборот, пусть выполнено условие: для любых <a, b> C, <c, d> C следует, что <a, d>, <c, b> C. Докажем теперь, что в качестве A1 и B1 можно взять соответственно область определения D и область значения R отношения, которое задается множеством пар C. Пусть <a, d> D R существуют такие b и c, что <a, b> C и <c, d> C (это выполняется по определению D и R) <a, d> C D R C. Отношение C D R очевидно выполняется, поэтому D R = C.

Задача 23. Пусть A, B, C, D — непустые множества. Докажите, что а) A B и C D A C B D, б) A C = B D A = B и С = В.

Решение. а) Пусть A B и C D. Тогда <a, c> A C a A, c C a B, c D (так как A B и C D) <a, c> B D. В другую сторону. Пусть A C B D. Тогда a A, c C <a, c> A C <a, c>B D a B, c D A B и C D. Случай б) является следствием а).

19

Задача 24. Докажите тождество (A \ B) C = (A C) \ (B C).

Доказательство. <x, y> (A \ B) C x A \ B, y C x A и x B и y C <x, y> A C и <x, y> B C <x, y> (A C) \ (B C).

Задача 25. Докажите, что (A B) (C D) Õ (A C) (B D).

Доказательство. <x, y> (A B) (C D) <x, y> A B или

<x, y> C D (x A или x C) и (y B или y D), что влечет желае-

мый результат <x, y> (A C) (B D).

Задача 26. Пусть R есть множество вещественных чисел. Для каждого из следующих подмножеств X множества R2 определите, является ли оно декартовым произведением двух подмножеств из R.

(a) {<x, y> | x — целое число}. (b) {<x, y> | 0 ≤ y ≤ 1}.

(c) {<x, y> | y > x}.

(d) {<x, y> | x — не целое число и y — целое число}. (e) {<x, y> | x2 + y2 < 1}.

Решение.

(a) X = Z R, где Z — множество целых чисел.

(b) X = R [0,1].

(c) Воспользуемся утверждением, доказанным в задаче 22. Имеем <3, 5> и <1, 2> принадлежат X, но <3, 2> не принадлежит X. Поэтому X не может быть декартовым произведением двух подмножеств R.

(d) X = (R \ Z) Z, где Z — множество целых чисел.

(e) Воспользуемся утверждением, доказанным в задаче 22. Имеем пары

20

Решение. Dρ = {x| существует y такой, что x2 + y2 < 1} = {x | –1 < x < 1}.

Точно так же Rρ = {y | –1 < y < 1}.

Задача 28. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {{1}, {1, 2}, {2, 5}, {3}}. Для бинарного отношения ρ = {<a, X> A × B| a X} найдите Dρ и Rρ .

Решение. Dρ = {a A | существует X B такой, что a X} = {1, 2, 3,5}.

Rρ = {X B | существует элемент a A такой, что a X} = B.

Задача 29. Какими свойствами обладает отношение x ρ y x2 + x = = y2 + y, определенное на множестве действительных чисел?

Решение. Имеем a) для любого x выполнено x2 + x = x2 +x r рефлексивно; б) если x2 + x = y2 + y fi y2 + y = x2 + x r симметрично; в) x2 + x = = y2 + y и y2 + y = z2 + z x2 + x = z2 + z r транзитивно; г) проверим ан-

тисимметричность: имеем 22 + 2 = (–3)2 + (–3) и 2 не равно –3 r не антисимметрично.

Ответ: отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, не антисимметрично.

Задача 30. Какими свойствами обладает отношение ρ, определенное на множестве всех прямых плоскости: x ρ y x пересекается с y?

Ответ: отношение рефлексивно, симметрично, не транзитивно, не антисимметрично.

Задача 31. Какими свойствами обладает отношение ρ, определенное на множестве всех прямых плоскости: x ρ y x не пересекается с y?

Ответ: отношение не рефлексивно, симметрично, не транзитивно, не антисимметрично.

Задача 32. Пусть ρ — отношение на множестве X. Докажите: а) ρ симметрично ρ–1 = ρ;

б) ρ транзитивно ρ ° ρ ρ;

в) ρ рефлексивно ρ ρ ° ρ;

г) ρ рефлексивно и транзитивно ρ = ρ ° ρ.