Информатика.-1

130

пользован в примере выполнения контрольной работы для сокращения числа формальных параметров. Необходимо отметить, что передача параметров через глобальные переменные в общем случае нежелательна, т.к. нарушает изолированность функции и может служить источником трудно обнаруживаемых ошибок.

6.3.2 Виды операторов назначения MathCad

Операторы назначения в MathCad имеют три разновидности: := оператор назначения (стандартный);оператор глобального назначения;

оператор локального назначения в блоке.

Все три разновидности операторов, помимо операции присваивания значения правого операнда левому, выполняют передачу типа левому операнду.

Оператор:=, схожий по начертанию с оператором присваивания Pascal, связывает значение и тип объекта с его идентификатором во всех регионах, выполняемых после региона, содержащего этот оператор.

Оператор действует на все регионы рабочего листа независимо от их расположения относительно региона, содержащего этот оператор.

Оператор предназначен для использования в изолированных блоках, формируемых при программировании в пределах одного региона. Действие этого оператора распространяется только на тот регион, в котором он расположен. На рисунке 6.5 показан пример переопределения типа и значения объекта a.

Действие оператора глобального назначения распространяется на все пространство рабочего листа. Появление в регионе оператора назначения:= вызывает переопределение типа объекта, сохраняющееся до появления следующего оператора назначения, которым может быть либо еще один оператор:=, либо (как в примере) оператор глобального назначения .

Оператор локального назначения не оказывает никакого действия на тип и значение объекта a за пределами блока, выделенного слева жирной вертикальной чертой. Такие блоки созда-

132

кации значений. В MathCad существуют два вида операторов индикации:

= оператор индикации числовых значений;оператор индикации символьных значений.

Пример использования операторов индикации числовых значений имеется на приведенном выше рисунке 6.5. Численные значения компонентов объекта индицируются в соответствии с принятым форматом отображения типа: число, комплексное число, вектор, матрица.

Оператор индикации символьных значений применяется для вывода результатов символьных преобразований, значений объектов, в составе которых имеются компоненты с неопределенными числовыми значениями. Такими объектами являются, например, функции с формальными параметрами, формульные выражения при выполнении над ними операций символьных преобразований. Примеры символической индикации в применении к функциям содержатся в прилагаемом примере выполнения контрольной работы.

6.4 Вывод графиков в MathCad

Вывод графической информации производится в графических регионах с использованием шаблонов, создаваемых инструментами панели Graph. Для выполнения контрольной работы нам потребуется только шаблон графика в прямоугольной (декартовой) системе координат (пиктограмма или комбинация клавиш Shift+2). Вид шаблона изменяется по мере его заполнения. Первоначальный вид шаблона показан на рисунке 6.6, а. Здесь имеется поле ввода выражения для переменной, значения которой отображаются по вертикальной оси (Поле Y) и точка ввода выражения для переменной, отображаемой по горизонтальной оси (Поле X), изображена прямоугольная область «экрана», на которой будет строиться график. После занесения выражений отображаемых переменных на шаблоне появляются поля ввода границ диапазонов этих переменных, в пределах которых происходит построение графика (рис. 6.6, б). Если выражение для y(x) определено к моменту заполнения шаблона, то график выдается сразу после его занесения в поле Y, при этом границы

133

изменения x устанавливаются по умолчанию, а границы изменения y определяются автоматически на основе его фактического динамического диапазона y(x). Как правило, такое масштабирование по умолчанию не устраивает пользователя. В этом случае нужно вернуться в режим редактирования шаблона, и, поместив курсор внутрь шаблона установить желаемые значе-

ния в полях Min x, Max x, Min y, Max y.

На всех этапах редактирования, когда курсор находится внутри шаблона, отображается внешняя рамка с точками «растяжки» (рисунок 6.6), что позволяет в любой

момент изменить размер графика, при этом график автоматически становится более или менее подробным.

В версиях MathCad 8 и выше при построении графиков непрерывных зависимостей y(x) производится автоматический выбор шага независимой переменной x. Если потребуется, процедуру автоматического выбора шага можно исключить. Для этого надо перед графическим регионом задать массив x с помощью ранжированных переменных с необходимым шагом изменения, например, x:= 0,0.1.. 1. В этом случае при построении графика значения y(x) будут вычисляться только в точках x = 0; x = 0.1; x = 0.2 и т.д. до x = 1. Массивы значений xi и y(xi) будут образовывать узловые точки графика. По умолчанию узловые точки графика будут соединены отрезками прямой.

Графические регионы позволяют строить в одних осях несколько графиков одновременно. Для этого необходимо в Поле Y поместить список выводимых переменных, разделенных запятыми. Запятая при этом не отображается, а каждое имя вводимой

136

7 ОПЕРАЦИИ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ MATHCAD

Напомним некоторые сведения из курса линейной алгебры, полезные для дальнейшего изложения.

7.1 Матрицы и вектора

Матрицей A называют прямоугольную таблицу элементов, каждый из которых снабжен парой целочисленных индексов aij (рис. 7.1). Матрица имеет строки и

— 0, а не 1, как это принято в математической литературе.

Матрицы одинаковых размеров можно складывать и вычитать, эти операции производятся покомпонентно, матрица-результат получается того же размера, что и матрицы-операнды. Умножение матрицы на число (скаляр) также выполняется покомпонентно и не изменяет размера исходной матрицы — сомножителя.

Умножение матрицы на матрицу реализуется по известному правилу «строка на столбец». Если C A B, где A, B и C — матрицы, то элементы результирующей матрицы C связаны элементами матриц-сомножителей так:

m 1

cij aik bkj , k 0

где m — число столбцов в левой матрице-сомножителе, равное количеству строк в правой матрице-сомножителе. Для существования произведения матриц должно соблюдаться условие: число

столбцов левого сомножителя должно совпадать с числом строк правого сомножителя. Нетрудно заметить, что результирующая матрица С содержит одинаковое число строк с матрицей А и одинаковое число столбцов с матрицей В. Произведение мат-

Компоненты вектора содержат только один Рис. 7.2 — Вектор индекс (рисунок 7.2). Вектора и матрицы ис-

пользуются для компактной записи систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

7.2 Квадратные матрицы

Важную роль в приложениях играют квадратные матрицы, количество строк и столбцов в которых одинаково. Квадратные матрицы одного и того же размера всегда можно перемножать между собой (разумеется, в общем случае свойство некоммутативности произведения сохраняется). Через многократное перемножение квадратной матрицы A саму на себя вводится An — целая положительная степень матрицы.

Особым видом квадратной матрицы является единичная матрица, содержащая единицы на главной диагонали и нули вне ее. Для обозначения единичных матриц в математической литературе обычно используют символы E или I. Единичная матрица в матричной алгебре играет ту же роль, что число 1 в обычной «числовой» алгебре. Допустимое (в указанном выше смысле) умножение любой матрицы справа или слева на единичную не изменяет ее: E A A, B E B.

Через единичную матрицу вводится определение отрицательной степени квадратной матрицы А. По определению А–1 — это такая квадратная матрица, для которой справедливо A 1 A A A 1 E. Матрицу А–1 называют обратной по отношению к матрице A. Обратная матрица существует не для всякой квадратной матрицы. Те матрицы, для которых не существует обратной, называют вырожденными. Признаком вырожденности матрицы является равенство нулю ее определителя |A|=0. Если существует А–1, то ее многократным умножением саму на себя можно получить любую отрицательную целую степень матрицы A–n. Из определения обратной матрицы следует также, что A0 = E.

138

7.2.1 Матричные функции от квадратных матриц

Существование целочисленных степеней квадратной матрицы позволяет ввести матричные степенные ряды с числовыми коэффициентами. Из математики известно, что некоторые функции одной переменной f(x) представляются степенными рядами, в общем случае бесконечными, по неотрицательным степеням x:

f(x) k xk ,

k 0

где k — постоянные коэффициенты.

Если в таком ряду формально заменить скалярную переменную x на квадратную матрицу A, то получим обобщение функции f(x) в матричную функцию матричного аргумента:

f(A) k Ak .

k 0

Здесь мы не будем касаться принципиального вопроса сходимости матричного ряда, поскольку это специальный раздел теории матриц, изложение которого выходит за пределы настоящего курса.

В приложении к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет матричная экспонента:

eAt Ak tk , k 0 k!

где A — квадратная матрица, t — скалярная переменная.

Через матричную экспоненту выражается аналитическое решение системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

7.3Системы линейных уравнений и матричные операции

Системы линейных уравнений и матрицы весьма тесно связаны. Матричная алгебра возникла в связи развитием методов решения линейных уравнений (алгебраических, дифференциальных) и отражает основные законы преобразования систем таких

139

уравнений. Система линейных алгебраических уравнений в матричной форме выглядит так:

Ax = b,

где А — матрица с m строками и n столбцами с известными элементами;

x — вектор искомых решений размера n;

b — вектор с известными элементами размера m.

Если матрица А квадратная (n = m) и невырождена, то x = =A–1b — единственное решение. Существуют задачи, в которых количество уравнений меньше числа неизвестных (n > m) и необходимо выразить m переменных (обозначим их вектором x1) через оставшиеся n – m переменных (обозначим их вектором x2). Это возможно, если матрица A имеет m независимых строк, иными словами ни одно из уравнений не является следствием других. Систему уравнений можно преобразовать к виду

A1x1 = b – A2x2,

где А1 — квадратная матрица m m, состоящая из коэффициентов при компонентах вектора x1,

A2 — матрица, содержащая m строк и n – m столбцов, образованная коэффициентами при компонентах вектора x2.

Тогда решением задачи будет x1 = A1–1(b–A2x2). Реализация таких вычислений сводится к компоновке матриц A1 и A2 из столбцов исходной матрицы A и взятию обратной матрицы A1, выполнение этих действий в среде MathCad не составляет проблем.

7.4 Матричные операции MathCad

В среде MathCad операции над матрицами производятся в соответствии с правилами математики, интерпретирующая система блокирует некорректную матричную операцию. При этом некорректный, нереализуемый оператор выделяется измененным цветом шрифта и комментарием в виде всплывающей подсказки. Таким образом, программист может контролировать принципиальную осуществимость матричных операций, связанную, в частности, и с размерностью операндов. Комплекс MathCad содержит достаточно представительную библиотеку встроенных функций, в том числе и функций, работающих с матрицами. Ни-