Дискретная математика.-1

21

1.Какую характеристику должны иметь степени вершин в эйлеровом графе?

2.Какую характеристику должны иметь степени вершин в полуэйлеровом графе?

4.Доказать, что всякий замкнутый маршрут нечётной длины содержит простой цикл. Верно ли аналогичное утверждение для маршрутов чётной длины?

5.Показать, что в любом обыкновенном графе, имеющем не менее двух вершин, найдутся две вершины с одинаковыми степенями.

6.Граф G задан матрицей смежности R с элементами r1,3 =1, r1,5 =1,

r2,3 =1, r2,4 =1, r3,1 =1, r3,2 =1, r3,4 =1, r3,5 =1, r4,2 =1, r4,3 =1, r5,1 =1, r5,3 =1

Определить является ли граф G эйлеровым?

7.Граф G задан матрицей смежности R с элементами r13 =1, r15 =1,

G2 ; G4 G5 ; G8 G9.

22

Рисунок 1.4

23

Тема 2. Операции на графах

2.1. УДАЛЕНИЕ ВЕРШИНЫ

При удалении вершины удаляются все инцидентные ей рёбра.

Пример.

В графе G = (X,U) на рисунке 2.1 удалить вершину х1.

Результат выполнения данной операции Граф G’ (рисунок 2.2) .

x2

Рисунок 2.2

Рисунок 2.1

2.2. УДАЛЕНИЕ РЕБРА

При удалении ребра инцидентные ему вершины (концевые) не удаляются!

Пример.

В графе G = (X,U), представленном на рисунке 2.1, удалить ребро

u2.

Граф G" (рисунок 2.3) – результат выполнения данной операции.

24

u4

x3 x4

Рисунок 2.3

Если из графа требуется удалить некоторое множество вершин и рёбер, то эта процедура сводится к последовательному удалению каждой вершины отдельно и отдельно каждого ребра.

2.3. ЗАМЫКАНИЕ (ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ) ВЕРШИН

Для любой заданной пары вершин Vi, Vj операция замыкания сводится к отождествлению этих вершин в новую вершину Vk , при этом все рёбра, инцидентные вершинам Vi и Vj становятся инцидентными вершине Vk .

ПРИМЕР: На графе G=(X,U), представленном на рисунке 4а),

выполнить операцию «замыкания» вершин x1 и x2.

На рисунке 4б) представлен граф G", полученный из графа G, после

«замыкания» вершин х1 и х2, где вершина xk=(x1+x2).

25

Рисунок 2.4

операцию отождествления вершин xi, xj .

ПРИМЕР: На рисунке 2.5б) представлен граф G^, полученный из

графа G (рисунок 2.5а) операцией стягивания вершин х4 , х2 по ребру u2.

Рисунок 2.5

2.5. СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ГРАФОВ Пусть G=(V, X) и H =(U,Y) – два графа.

26

Через G H будет обозначаться граф, называемый симметрической разностью графов G и H с множеством вершин W = V U и множеством рёбер Z= X Y , состоящим из тех и только тех рёбер, которые входят ровно в одно из множеств X или Y.

2.6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАФОВ

Пересечение графов G=(V, X) и H=(U,Y) есть граф G H ,

вершинами которого являются вершины , присутствующие одновременно и в графе G и в графе H, а множество рёбер состоит только из рёбер,

присутствующих одновременно и в графе G и в графе H.

2.7. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРАФОВ

Объединением графов G=(V, X) и H=(U,Y) называется граф

Е=( V U, X Y).

Рисунок 2.6

27

Симметрическая разность (над графами , представленными на рис.2.6)

x3

c

x2

Рисунок 2.7.

Объединение G H графов G и

(рисунки 2.9, 2.10):

x4

Рисунок 2.9

28

G H

a

x1 x2

Рисунок 2.10

Упражнения для самопроверки

1. Для неорграфов G(X,U), H(Z,V), L(Y,W) выполнить следующие

операции:

29

G L; G H; H G; H L; G L, если U={(x1,x2), (x1,x5), (x1,x3), (x1,x4), (x4,x5), (x3,x2), (x3,x4), (x3,x5)}; V={(z1,z2), (z1,z3), (z1,z5), (z3,z4), (z4,z5) }; W={(y1,y3), (y1,y5), (y2,y3), (y5,y3), (y4,y3), (y2,y4) }.

2. Определить какой из графов G, H, L является эйлеровым,

полуэйлеровым, гамильтоновым.

3. Даны неорграфы G(X,U), H(X,V), L(X,W). Пусть X={x1,x2, x3, x4,x5}, U={(x3,x4), (x4,x5)}, V={(x2,x1)}, W={(x2,x1), (x3,x4), (x4,x5)}.

Определить: - результатом, какой операции на графах G и H

является граф L.

4.Даны неорграфы G1(X,U), G2(X,V), G3(X,W). Пусть X={x1,x2,x3}

вграфах G1 и G2, а в графе G3 X={x1,x2}; U={(x3, x4), (x4, x5),(x2,x2)}, V={(x2,x1),(x1,x1)}, W={(x2,x1), (x3,x4), (x4,x5), (x1,x1), (x2,x2)}.

Определить: - результатом, какой операции на графах G1 и G2

является граф G3.

5. Даны неорграфы G(X,U), H(X,V), L(X,W). Пусть X={x1,x2, x3, x4,x5}, U={(x3,x4), (x2,x5), (x2,x3), (x1,x4)}, V={(x1,x5), (x5,x3), (x3,x4)}, W={(x2,x1).

Определить: - результатом, какой операции на графах G и H

является граф L.

ТЕМА 3. Части графа

3.1. ПОДГРАФ

Граф G^ = (Х", U" ) является подграфом графа G = ( Х, U ) , если

Х" является подмножеством Х (Х" Х ) и U" является подмножеством U

(U" U)