Дискретная математика.-1

101

определить: является G насыщенной, т.е. в G задан максимальный допустимый поток, или G ненасыщенная, если известно, что дуги сети

102

РАЗДЕЛ 2. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ РАЗЛОЖЕНИЯ

2.1. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

Определение. Переключательной функцией (ПФ) f(x1,x2,…,xn)

называется однозначное отображение вектора X = (x1,x2,…,xn), каждая переменная xi (xi X) которого принимает значение из множества {0,1,…,ki

– 1}, i = 1,2,…,n в множество f, f {0,1,…,kf -1}.

В случае, если k1 = k2 =…= ki =…= kn = kf = k, получаем определение k-значной функции; в пределе, когда k = 2 – определение булевой

функции.

ПФ можно задавать:

табличным способом;

теоретико-графовым;

аналитическим способом.

Табличными способами являются одномерные и двумерные таблицы.

Одномерная таблица, определяющая функцию f(x1, x2, …, xn), имеет размеры:

x1, x2, …, xn, (n + 1)-й столбец – функциональной переменной f.

Пример 2.1. Пусть x1 {0, 1, 2}; x2 {0, 1}; x3 {0, 1}; f {0, 1, 2, 3}.

Определим переключательную функцию с помощью одномерной таблицы.

104

переменных Xa и подмножество столбцевых переменных Xb; в клетке (i, j)

записывается соответствующее значение функции f(x1, x2, …, xn). Такие таблицы называют таблицами Вейча.

Таблица Вейча для нашего примера:

Таблица 2.2

При теоретико-графовом задании переключательной функции используются категории (классы):

мографа G M (f) (модельный граф),

гиперграфа HB (f),

графа Кёнига K (f) и

гиперкуба H(f).

Рассмотрим их.

Задание переключательной функции мографом

Задание переключательной функции мографом GM(f) связано с

105

Взаимно однозначно идентифицируем строки одномерной таблицы

0… 00, 0… 01, … как 1, 2, 3, …, 12.

Вершина f k соединяется с вершиной xik , если f k и xik входят в одинаковые наборы.

f (4,7,11)=0

Рисунок 2.2

Задание переключательной функции гиперграфом

Гиперграф HB( f ), определяющий функцию f(x1, x2, …, xn) по существу является диаграммой Эйлера.

106

Фрагмент гиперграфа HB( f ), определяющий первые два значения рассматриваемой функции f(x1, x2, x3), представлен на рисунке 2.3.

x2 =0

x3=1

Рисунок 2.3

Очевидно, что при большом числе строк соответствующей одномерной таблицы, геометрическое представление гиперграфа функции не обеспечивает должной наглядности. В этом случае его целесообразнее представлять модифицированной матрицей инциденций.

Задание переключательной функции гиперкубом

Гиперкуб H(f) – каждый вектор X функции f(x) взаимно однозначно сопоставляется вершине гиперкуба, и две вершины смежны, если соответствующие им векторы отличаются в одном и только одном разряде ровно на 1.

Значение переменной называют фазой.

107

Каждая вершина гиперкуба взвешена значением функции

f(x1, x2, …, xn).

В i-м ярусе, если счёт начинать с «0», будут векторы, сумма фаз

0 0 0

Рисунок 2.4

гиперкуб H(f) представлен на рисунке 2.4.

Количество вершин в каждом ярусе можно подсчитать по формуле

109

Применяя формулу (2.1), учитываем, что вектора вершин смежных должны отличаться только в одном разряде и всего на «1», и сумма фаз переменных векторов равна i (i – номер фазы; фаза – это значение переменной).

Определяем данные для формулы (2.1):

i = 1, nj = 3 (так как кортеж имеет длину l = 3 – количество разрядов, в

которых встречается «1»); каждый разряд содержит только «1», которое может повторяться n(li) раз; n(li) = 2 («1» только в одном разряде).

Будем размещать символы 0, 0 в nj = 3 разрядах. Тогда n(li) = 2. Теперь количество вершин определяется по формуле:

символ «2» – в одном разряде, nj = 1, n(li) = 1;

символ «0, 1» – в двух разрядах, nj = 2, n(li) = 2;

символ «1, 1, 1» – один раз;

Задание переключательной функции графом Кёнига

Для задания ПФ графом Кёнига используется таблица Вейча

110

Для рассматриваемой функции f (x1, x2, x3) граф Кёнига представлен на рисунке 2.5.

2.2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ (БФ)

Определения.