Вычислительная математика.-1

Лабораторная работа № 8. Численное дифференцирование

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о численном дифференцировании, привить умения составлять и применять формулы численного дифференцирования, оценивать их погрешности, дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

•титульный лист;

•исходные данные варианта;

•решение задачи;

•результаты решения задачи.

Пример 8.1.

Рассмотрим функцию f(x), заданную таблично:

Интерполяционный многочлен имеет вид:

Вычислим значения производной этой функции на отрезке [0.43; 0.75]:

»dx=0.01;

»x=0.43:dx:0.75;

»yf=-154.9063*x.^5+444.9904*x.^4-511.6367*x.^3+291.7494*x.^2- 80.6863*x+10.099;

»N=length(x);

»m=1:N-1;

»df(m)=(yf(m+1)-yf(m))/dx;

»plot(df)

41

Лабораторная работа № 9. Приближенное вычисление определенных интегралов

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомится с численными методами вычисления определенных интегралов, научится решать задачи с использованием формулы Симпсона, трапеций, правых и левых прямоугольников, а также вычислений с использованием метода Монте-Карло.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

титульный лист;

исходные данные варианта;

решение задачи;

результаты решения задачи.

Пример 9.1.

Вычислить интеграл

методом левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Решение:

В командном окне программы МАТLAB наберем следующую последовательность операторов:

»f=inline('reallog(x)'); % задание подынтегральной функции

»a=3;

»b=5;

»N=100;

»i=1:N;

»dx=(b-a)/(N-l); % шаг интегрирования

%вычисление интеграла методом правых прямоугольников

» m=2:N;

» y1(m-1)=y(m); » Fr = sum(y1)*dx Fr =

2.7565

%вычисление интеграла методом левых прямоугольников

» m=1:N-1;

» y1(m)=y(m); » Fl=sum(y1)*dx Fl =

2.7462

%вычисление интеграла методом трапеций

»s=0;

»for i=2:N-1 s = s+y(i); end;

»Ft=(0.5*y(1)+s+0.5*y(N))*dx Ft =

43

2.7513 % вычисление интеграла методом Симпсона

»s=0;

»for i=2:N-1

if i-2*ceil(i/2)==0 k=4; else

end;

s=s+k*y(i);

end;

» Fs=(y(1)+s+y(N))*dx/3 Fs =

2.7405

Пример 9.2.

Решение:

Значение интеграла можно вычислить или по первой формуле:

(9.1)

или по второй формуле :

(9.2)

где n - число точек, удовлетворяющих условию:

,

N – полное количество точек,

S - площадь прямоугольника;

- последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке [a, b].

Вкомандном окне программы Matlab введем следующее:

»f=inline(' reallog(x) ') ;

»b=5;

»Ymin=0;

»Ymax=feval(f,b);

»N=1000; % генерация случайных координат

»x=a+(b-a)*rand(N,1);

»y=Ymin+(Ymax-Ymin)*rand(N,1);

if y(i)<=feval(f,x(i)) s=s+1;

end;

end;

»Fmk=s*(b-a)*(Ymax-Ymin)/N % вычисление значения интеграла

Fmk = 2.7425

% вычисление интеграла в соответствии с (9.2)

»F=feval(f,x);

»Fmk=(b-a)*sum(F)/N

Fmk =

44

2.7463

Вычисление интеграла в системе Matlab осуществляется с помощью следующих функций: quad (′fun′,a,b,tol) - возвращает значение интеграла от функции fun на интервале [a, b] с заданной относительной погрешностью tol ( по умолчанию tol=10-3), при вычислении используется адаптивный метод Симпсона;

int(y(x),a,b) - возвращает значение интеграла от функции y(x) на интервале [a, b] аналитическими методами (если границы не задавать, то вычисляет неопределенный интеграл).

Пример 9.3. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

Вычисление указанного интеграла, например, с помощью функции quad состоит в следующем:

»y='log(x)';

»quad(y,3,5)

После нажатия клавиши <Enter> получим следующее решение:

ans =

2.7514

Вычисление указанного интеграла с помощью функции int состоит в следующем:

ans = 5*log(5)-2-3*log(3)

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1.В каком случае используется численное интегрирование?

2.Постановка задачи численного интегрирования.

3.Какие существуют методы интегрирования функций?

4.Графическая интерпретация метода трапеций.

5.Как оценить погрешность метода трапеций?

6.Графическая интерпретация метода Симпсона.

7.Как оценить погрешность метода Симпсона?

8.Графическая интерпретация метода прямоугольников.

9.Как оценить погрешность метода прямоугольников?

10.Чем отличаются формулы метода трапеций и метода Симпсона?

11.Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h? 12.Чем отличается вычисление погрешности метода трапеций и Симпсона?

13.Основная идея метода Монте-Карло? 14. Графическая интерпретация метода МонтеКарло.

ЗАДАНИЕ

Найти приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a, b] по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона, Монте-Карло при делении отрезка на 2000 равных частей, произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов: составить функцию, возвращающую

45

значение интеграла на основе формулы метода Монте-Карло. Сравнить результаты, полученные разными методами.

Варианты заданий

46

Лабораторная работа № 10. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомится с численными методами вычисления кратных интегралов, научится решать задачи с использованием метода Монте-Карло.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

•титульный лист;

•исходные данные варианта;

•решение задачи;

•результаты решения задачи.

Пример 10.1.

Вычислить методом Монте-Карло двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями (рис. 10.1):

1.Создайте файл F_10.m (листинг 10.1), содержащий описание функции

47

Листинг 10.1. Файл F_10.m. function z=F_10(x,y) z=sqrt(x+y);

2. Создайте файл G1_10.m (листинг 10.2), содержащий описание функции

Листинг 10.2. Файл G1_10.m. function z=G1_10(x) z=3*x;

3.Создайте файл G2_10.m (листинг 10.3), содержащий описание функции

Листинг 10.3. Файл G2_10.m. function z=G2_10(x) z=8*x;

4. Создайте файл KrInt.m (листинг 10.4), содержащий описание функции, вычисляющей двойной интеграл методом Монте-Карло по формуле

Листинг 10.4. Файл KrInt.m.

function z=KrInt(f,a,b,c,d,g1,g2,N) S=0;

for i=1:N x=a+(b-a)*rand(1); y=c+(d-c)*rand(1); ng=feval(g1,x); vg=feval(g2,x);

if (y<=vg) & (y>=ng) S=S+feval(f,x,y);

end

end z=(b-a)*(d-c)*S/N;

5.Вычислите интеграл:

»I=KrInt('F_10',0,4,0,32,'G1_10','G2_10',1000) I =

163.4583

Таким образом,

.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1.В каком случае используется численное интегрирование?

2.Постановка задачи численного интегрирования.

3.Какие существуют методы вычисления кратных интегралов?

4.Основная идея метода Монте-Карло.

5.Аналог формул прямоугольников.

6.Аналог формулы трапеций.

7.Аналог формул Симпсона.

ЗАДАНИЕ

Вычислить двойной интеграл I по области D методом Монте-Карло.

48

57

Лабораторная работа № 11. Методы обработки экспериментальных данных

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представление о подходе к решению задачи о среднеквадратичном приближении функции, заданной таблично; привить знания о методах аппроксимации элементарными функциями; выработать навыки работы в среде программы Matlab .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2.Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

•титульный лист;

•исходные данные варианта;

•решение задачи;

•результаты решения задачи.

Пример 11.1.

Найти уравнение линейной и гиперболической регрессий для функции, заданной таблично:

Решение:

а) Вычислить коэффициенты a и b уравнения линейной регрессии можно, воспользовавшись системой:

(11.1)

где

(11.2)

В этом случае неизвестные коэффициенты a и b определяются решением системы уравнений (11.1) в следующем виде:

(11.3)

В командном окне программы Matlab наберем следующую последовательность операторов:

50