Цифровая обработка сигналов

Системная функция:

Y(z) X(z) X(z)z 1 X(z) 1 z 1 ,

H(z) Y(z) 1 z 1.

X(z)

Комплексно-частотная характеристика:

H ej T 1 ej T 1 cos( T) j sin( T).

Амплитудно-частотная характеристика (рис. 1.22):

A( ) H ej T 1 cos( T) 2 sin2( T)

Фазочастотная характеристика (рис. 1.23):

A(ω)

2

0

Рис. 1.22. Амплитудно-частотная характеристика

Групповое время задержки: ( ) d ( ) T . d 2

50

Если на вход дифференциатора подать единичный импульс(nT), то импульсная характеристика может быть записана в аналитическом виде (рис. 1.24):

h(nT) y(nT) x(nT) (nT) (nT) (nT T), n 0.

h(nT)

1

T

0

2T 3T 4T t

–1

Рис. 1.24. Импульсная характеристика

Пример прохождения сигнала через цифровой дифференциатор.

Пусть x(nT) = u(nT) – u(nT – 5T), n ≥ 0, тогда y(nT) = δ(nT) –

– (nT – 5T) (рис. 1.25).

51

Шумы квантования на выходе цифрового дифференциатора (ЦД). Используем рассмотренный выше пример (см. рис. 1.21). Пусть – шаг квантования, а внесение шумов в сигнал представим, как на рис. 1.26.

e0(nT)

Рис. 1.26. Внесение шума квантования АЦП

шума на выходе ЦД увеличивается в 2 раза по сравнению с входной.

Вычислитель второй разности (В2Р)

Структурная схема вычислителя второй разности может быть получена последовательным включением двух вычислителей первой разности (рис. 1.27).

Рис. 1.27. Вычислитель второй разности

Системная функция:

H(z) H1(z)H1(z) 1 z 1 1 z 1 1 2z 1 z 2.

Тогда Z-изображение выходного сигнала будет иметь вид

Y(z) X(z) 2X(z)z 1 X(z)z 2.

Применим формально обратное Z-преобразование и получим выражение для выходного сигнала:

На рис. 1.28 приведена структурная схема В2Р и его ИХ.

52

Рис. 1.28. Вычислитель второй разности и его импульсная характеристика

Дисперсия шума на выходе вычислителя второй разности:

вых2 (1 4 1) 2вх 2 . 2

Цифровой интегратор (накапливающий сумматор)

Структурная схема цифрового интегратора показана на рис. 1.29. Разностное уравнение:

y(nT) = x(nT) + y(nT – T).

Системная функция:

Пусть на входе интегратора сигнал имеет вид x(nT) = u(nT) –

– u(nT – 5T), тогда на выходе сигнал будет иметь вид, как на рис. 1.30.

53

Рис. 1.30. Сигналы на входе и выходе цифрового интегратора

Цифровой интегратор находится на границе устойчивости. Критерием устойчивости ЦФ является абсолютная сходимость ряда

отсчетов импульсной характеристики: | h(nT)| .

n 0

Для обеспечения устойчивости интегратора необходимо ограничивать время суммирования (количество отсчетов).

Дисперсия выходного шума цифрового интегратора:

M

вых2 вх2 h2(nT) M вх2 , n 0

т.е. при увеличении числа отсчетов (М ) дисперсия выходного шума увеличивается бесконечно, но при конечном М она также конечна.

Цифровой интегратор с ограниченным временем суммирования

Ограниченное число отсчетов ИХ в ЦФ можно реализовать рекурсивным цифровым фильтром (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Цифровой интегратор с ограниченным временем суммирования

ИХ такого фильтра будет иметь вид

h(nT) = u(nT) – u(nT – MT), n ≥ 0.

54

При –1 < K < 0 – это ВЧ-фильтр; при K = 1 – цифровой интегратор; при K 1 – сглаживающий фильтр, а при K 1 –

неустойчивый фильтр, т.е. при любом малом возмущении x(nT) выходная последовательность будет неограниченно возрастающей.

Разностное уравнение: y(nT) = x(nT) + Ky(nT – T). Применим Z-преобразование: Y(z) = X(z) + KY(z)z–1.

Для устойчивости СФ полюса функции должны лежать внутри единичной окружности в z-плоскости. В данном случае единственный полюс z1 = K. Следовательно, система устойчива, если K 1.

h(nT)

1

K1

0,75

0,5

0,25

K2

K3

t

0

T 2T 3T 4T 5T

Рис. 1.34. Графики импульсной характеристики СФ при K1 = 0,9; K2 = 0,5; K3 = 0,25

Недостаток реализации СФ: при изменении времени сглаживания изменяется коэффициент передачи фильтра по постоянной составляющей (или изменяется коэффициент усиления фильтра):

Чем выше степень сглаживания (K 1), тем больше коэффициент передачи по постоянной составляющей (А(0) ).

Используя выражение для прямого Z-преобразования, получим

H(1) h(nT),

n 0

56

Разностное уравнение:

вим значения А1 = 2, А2 = 4, А3 = 8 в разностное уравнение и получим результаты, представленные в табл. 1.4 и на рис. 1.37.

Таблица 1.4 Расчет импульсных характеристик в режиме интегрирования

При любых значениях А сумма отсчетов ИХ равна 1. Это означает, что коэффициент передачи по постоянной составляющей сигнала равен 1:

т.е. hи(nT) 1 при любых А.

n 0

58

Режим дифференцирования (рис. 1.38):

Рис. 1.38. Математическая модель УБЯ в режиме дифференцирования

Такая системная функция может быть получена последовательным включением двух звеньев – вычислителя первой разности и сглаживающего фильтра (см. выше).

Разностное уравнение:

Найдем ИХ для А1 = 2, А2 = 4, А3 = 8 (табл. 1.5, рис. 1.39).

Таблица 1.5 Расчет импульсных характеристик в режиме дифференцирования

Главный признак дифференцирующих цепей заключается в том, что они не пропускают постоянную составляющую сигнала. Это означает, что сумма отсчетов ИХ равна нулю:

59