Цифровая обработка сигналов

1.5.4. Групповое время запаздывания

Групповое время запаздывания является мерой средней задержки узкополосных сигналов в инерционных линейных цепях, в том числе в цифровых фильтрах, и определяется следующим образом:

гр( ) d ( ). d

Предпочтительна приблизительно постоянная характеристика групповой задержки во всей полосе пропускания цифрового фильтра.

Для выравнивания времени запаздывания по полосе частот применяют фазовые корректоры на основе неминимально-фазовых звеньев, имеющих постоянную АЧХ в полосе пропускания (A( ) const) и изменяющуюся фазовую характеристику ( ( ) var). Характерным признаком неминимально-фазовых звеньев является наличие нулей вне единичной окружности в z-плоскости [12].

1.5.5. Устойчивость цифровых фильтров

Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях его реакция на любое ограниченное воздействие x(nT) также

зависящие от n. Из уравнения дискретного фильтра следует, что если

Следовательно, критерием устойчивости дискретного фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов импульсной харак-

теристики | h(nT)| .

n 0

Можно показать, что данное условие является не только достаточным, но и необходимым условием устойчивости фильтра. Однако непосредственное применение этого условия для проверки

40

устойчивости фильтра практически затруднено. Поэтому рассмотрим другую формулировку критерия устойчивости.

В общем случае передаточная функция линейного дискретного

следовательно, передаточная функция H(z) не должна иметь особых точек (полюсов) при z 1 (на и вне единичного круга z-плоскости). Таким образом, система будет устойчива только тогда, когда все полюсы H(z) расположены внутри единичного круга z-плоскости. Если H(z) – дробно-рациональная функция, то полюсы H(z) определяются нулями (корнями) многочлена знаменателя передаточной функции:

M

|z4| > 1, следовательно, фильтр неустойчив.

41

Если многочлен по степеням w, образующий левую часть последней формулы, имеет корни лишь в левой полуплоскости, то исходный характеристический многочлен имеет корни, располагающиеся лишь в единичном круге z-плоскости. Как следствие, анализируемый рекурсивный ЦФ будет устойчивым.

Отметим, что многочлен (w – 1)n не имеет корней в левой плоскости. Поэтому приведение к общему знаменателю правомерно.

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица

Данный критерий устойчивости относится к числу алгебраических критериев, т.е. критериев, сформулированных в виде некоторых алгебраических формул. По критерию Рауса – Гурвица анализируются коэффициенты характеристического уравнения

a0wn a1wn 1 a2wn 2 ... an 0.

1.Сначала делаем коэффициент положительным, т.е. а0 > 0. Если а0 < 1, то умножаем левую часть характеристического уравнения на минус единицу.

2.Затем составляем из коэффициентов характеристического уравнения квадратную матрицу, следуя определенным правилам.

По главной диагонали матрицы ставим коэффициенты уравнения от а1 до an. Каждый столбец матрицы заполняем коэффициентами этого же уравнения: вверх – в порядке возрастания индекса коэффициентов, вниз – в порядке убывания. В тех местах каждого столбца, где индекс оказывается отрицательным или превышает n, записываем нуль. Таким образом, матрица имеет вид

Из элементов этой матрицы, расположенных симметрично относительно главной диагонали, составляем определители:

43

Окончательно: a0 0, a1 0, a4 0, a1a2 a0a3 0,

a3 a1a2 a0a3 a12a4 0.

Пример. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 3-го порядка с характеристическим уравнением z3 0,4z2 0,5z 1 0.

Всоответствии с формулой получаем преобразованное уравнение

w 1 3 0,4 w 1 w 1 2 0,5 w 1 2 w 1 1

устойчив. Значит, устойчив и анализируемый цифровой фильтр.

1.5.6. Точностные характеристики цифровых фильтров

Все погрешности, связанные с дискретизацией по уровню и квантованием результатов арифметических операций, ухудшают точность фильтрации, поэтому требуется оценка и минимизация этих погрешностей.

Назовем погрешности, возникающие в цифровых фильтрах.

1.Погрешности аппроксимации заданных частотных и временных характеристик проектируемого цифрового фильтра (определяется порядок фильтра и коэффициенты ai, bj).

2.Погрешности, связанные с квантованием входного сигнала по уровню в АЦП (шумы квантования).

3.Погрешности, связанные с квантованием коэффициентов цифрового фильтра ai и bj.

45

4.Погрешности, связанные с квантованием результатов арифметических операций (особенно при умножении и делении).

5.Эффекты, связанные с переполнением разрядной сетки арифметического устройства (сумматора) цифрового фильтра.

Существует два подхода к оценке погрешностей:

– детерминированный;

– вероятностный.

При детерминированном подходе оцениваются максимально возможные значения ошибок, которые могут возникнуть при вычислениях. Его используют для оценки 5-й погрешности (см. список погрешностей), возникающей при переполнении разрядной сетки регистров или ячеек памяти. Детерминированный подход требует либо моделирования, либо непосредственного расчета разрядностей. Детерминированная оценка, как правило, дает пессимистический прогноз. Если вероятность ошибки мала, то мы можем сильно исказить результат.

Вероятностный подход используется при оценке эффектов квантования и округления результатов арифметических операций, т.е. для оценки 2-й и 4-й погрешностей (см. список погрешностей).

Обозначим источники погрешностей ek (nT), где k = 0, 1, 2, 3, ...

При k = 0 оценивается источник шума квантования по уровню в АЦП; при k = 1, 2, 3, ... описываются шумы, возникающие в арифметическом устройстве.

При вероятностном подходе используются следующие предположения.

1. Отсчеты шума от всех источников погрешностей ek (nT)

представляются дискретными белыми шумами с равномерным зако-

ном распределения и дисперсией 2k .

2.Все источники шума не коррелированы между собой.

3.Любой из источников шума ek (nT) не коррелирован с входным

сигналом.

Достоинство вероятностной оценки: по аналитическим фор-

мулам можно определить суммарную погрешность

где 02вых – погрешность, связанная с шумом квантования АЦП;

2kвых – дисперсии остальных погрешностей. Используя принцип суперпозиции, можно оценивать и минимизировать каждый компонент порознь.

Однако, чтобы не абсолютизировать вероятностную оценку, необходимо помнить, что используемые предположения в реальных цифровых фильтрах не всегда соблюдаются. В частности, появление предельных циклов обусловлено коррелированным шумом округления.

Вцифровых фильтрах может использоваться как округление, так

иусечение результатов (рис. 1.18).

Математические ожидания при округлении и усечении данных различны, а дисперсии равны.

При анализе точностных характеристик ЦФ можно говорить о локальных системных функциях Hk (z) и локальных импульсных

Если мы определим точки возникновения погрешности и их функции, то каждый из компонентов погрешности можно вычислить по формулам:

системной функции;

T

3) 2kвых 2kвх T Hk ej T 2 d – по локальным АЧХ.

0

По любой из формул можно вычислить 2kвых и затем просуммировать. Для расчета погрешностей на ЭВМ, а также для анализа точности нерекурсивных цифровых фильтров лучше всего подходит первая формула. Однако, если есть возможность использовать символьный процессор, то лучше использовать вторую формулу.

В случае возникновения каких-либо трудностей с выполнением аналитических расчетов можно произвести оценку моделированием, как показано на рисунке 1.20.

На рисунке ДФ – дискретный фильтр, т.е. фильтр без погрешностей (в нем происходят точные вычисления).

48

б

Рис. 1.20. Выделение ошибки квантования в АЦП (а), выделение суммарной ошибки ЦФ (б)

При использовании метода, показанного на рисунке 1.20,б, исключается погрешность АЦП e0(nT).

Следует учесть, что при вероятностном подходе пятая погрешность становится слишком оптимистичной и в этом случае возможно переполнение разрядной сетки ЦФ.

1.6. Примеры построения линейных цифровых фильтров

Цифровой дифференциатор или вычислитель первой разности (В1Р)

Фильтр линейный и нерекурсивный (трансверсальный) (рис. 1.21).

Разностное уравнение: y(nT) = x(nT) – x(nT – T), n 0, где

а0 = 1; а1 = –1; bj = 0.

Рис. 1.21. Структурная схема цифрового дифференциатора

49