Цифровая обработка сигналов

Рис. 2.25. Амплитудно-частотные характеристики исходного (ФНЧ) и преобразованных фильтров

При расчете полосового и режекторного фильтров справедливо соотношение

110

Это означает, что из трех параметров ω0, ω1, ω2 только два независимы, а третий является их функцией. Чаще всего в качестве независимых параметров выбирают нижнюю ω1 и верхнюю ω2 частоты полосы пропускания (режекции) ЦФ.

(режекции) оценивается как 0 2 1 . 2

Обычно задача преобразования ЦФ ставится следующим образом: задан ЦФ нижних частот (ФНЧ-прототип) с определенной частотой среза, например Θср, из которого путем указанного преобразования (см. табл. 2.5) можно получить ФНЧ1, ФВЧ, ПФ, РФ. Исходный ФНЧпрототип, как правило, нормируется по частоте к величине, равной 1/4

111

частотных преобразованиях, особенно при синтезе полосовых и режекторных фильтров с переменной полосой пропускания (режекции).

нормализованный фильтр), а полоса пропускания управляется

Предельные значения параметров и k являются вырожденными случаями и при частотных преобразованиях по Константинидису не используются.

2.7. Прямой синтез цифровых фильтров

Прямой синтез ЦФ сводится к нахождению функции, аппроксимирующей заданную частотную характеристику так, чтобы в результате аппроксимации получилось дробно-рациональное выра-

в выражении для КЧХ ejωT заменить на z. Чтобы выражение для системной функции получилось дробно-рациональным, следует выбирать исходное выражение также дробно-рациональным относительно e jωT. Поиск подходящей аппроксимации для КЧХ является главной трудностью метода прямого синтеза ЦФ.

Обычно задачу аппроксимации решают, подбирая для K(jω) дробно-рациональное выражение относительно тригонометрических функций от ωТ. Каждая из тригонометрических функций может быть представлена в виде комбинации комплексных экспонент e jωT и e –jωT, в результате чего можно получить выражение для частотной характеристики K(jω) в требуемой форме. Делая замену e jωT на z, выполняем переход от K(jω) к H(z). Для этого тригонометрические функции представляем в следующем виде:

Например, для фильтра нижних частот с частотой среза ωср частотная характеристика может быть аппроксимирована выражением

113

где n = 1, 2, 3, … – порядок фильтра НЧ.

Графики АЧХ такого фильтра близки к АЧХ фильтра Баттерворта

(см. рис. 2.22).

Процедура синтеза ЦФ данным методом сводится к следующему.

1.По заданным характеристикам находим порядок фильтра n (как

ив примере для билинейного преобразования).

2.Заменяем в выражении для |K(jω)|2 e jωT на z, затем находим выражение для квадрата системной функции |H(z)|2 = H(z)H(z–1).

3.Находим положение полюсов |H(z)|2, а затем системной функции H(z) (они должны лежать внутри единичной окружности

|z| < 1).

4.Исходя из расположения полюсов, находим выражение для системной функции H(z) и записываем разностное уравнение, на основании которого строим фильтр (его структурную схему).

Более подробно прямые методы синтеза ЦФ изложены в [2, 5].

2.8.Методы синтеза фильтров

сконечной импульсной характеристикой

2.8.1.Метод частотной выборки

До сих пор мы синтезировали ЦФ с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Однако наряду с ними широкое распространение получили ЦФ с ИХ конечной длительности (КИХ-филь- тры).

Главное достоинство КИХ-фильтров в том, что они всегда устойчивы.

КИХ-фильтры не имеют непосредственных аналогов среди пассивных цепей (т.е. нет фильтров-прототипов), поэтому методы их синтеза относятся к прямым методам синтеза ЦФ.

Одним из наиболее часто применяемых методов синтеза КИХфильтров является метод частотной выборки.

114

Идея этого метода довольно проста. Амплитудно-частотную характеристику аналогового фильтра дискретизируют как перио-

К полученной последовательности значений K(nΩ) применяют обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) и находят импульсную характеристику h(nT). Значения h(nT) являются коэффициентами нерекурсивного фильтра.

Число выборок в АЧХ соответствует числу отсчетов ИХ. Найденная ИХ соответствует физически нереализуемому филь-

тру, поэтому ИХ сдвигают вправо на половину ее длины (в этом случае к каждому аргументу nT в выражении для ИХ добавится отрицательная величина, равная (N–1)T/2). При таком смещении изменится ФЧХ, а АЧХ останется неизменной, т.е. можно сказать, что метод частотной выборки позволяет синтезировать фильтры с заданной АЧХ при неконтролируемой ФЧХ.

После нахождения ИХ записывают РУ:

N

y nT aix nT iT , ai h iT , n 0,

i 0

на основании которого можно построить фильтр.

Пример. Синтезируем цифровой фильтр с АЧХ A( ) по задан-

K 2 e 4 0,0183 (рис. 2.26).

Применяя к K n обратное дискретное преобразование Фурье,

найдем выражение для импульсной характеристики:

115

Вычислим значение ИХ при n = 0:

Импульсная характеристика (рис. 2.27):

h nT 0,083h nT 2T 0,239h nT T

0,355h nT 0,239h nT T 0,083h nT 2T ,

n .

116

117

Коэффициенты фильтра ai можно пронормировать к коэффициенту a2 = 0,355. Вид АЧХ фильтра не изменится при существенном упрощении реализации. Нормированные коэффициенты примут значения:

a0 a4 0,234; a1 a3 0,673; a2 1.

Амплитудно-частотная характеристика A синтезирован-

ного цифрового фильтра мало отличается от исходной K на

ляет не более 4 %. Такой хороший результат получается при малом числе отсчетов АЧХ N = 5 благодаря тому, что исходная АЧХ гауссова фильтра имеет плавный вид.

2.8.2. Метод временных окон

Предыдущий метод хорошо подходит для фильтров с плавной АЧХ. Для фильтров, имеющих АЧХ с крутыми склонами (большим затуханием), процедура синтеза существенно усложняется.

Возьмем, к примеру, ФНЧ с идеальной АЧХ (прямоугольной) и подвергнем ее дискретизации. Получившаяся АЧХ точно пройдет через все отсчетные точки, но в промежутках между ними будут большие колебания. Увеличение числа отсчетов не помогает – увеличивается изрезанность АЧХ, а амплитуда паразитных колебаний не изменяется и составляет примерно 14 % от размаха АЧХ в точке разрыва (рис. 2.29).

Уровень боковых лепестков в полосе затухания остается также высоким. Данный эффект называется явлением Гиббса. Впервые он был изучен в связи с усечением ряда Фурье, применяемого для разложения по гармоникам периодических сигналов, в том числе и периодической АЧХ, характерной для цифровых фильтров.

Применение метода временных окон позволяет уменьшить или даже устранить изрезанность АЧХ (т.е. исчезнут колебания на ней), однако при этом склоны полученной АЧХ будут более пологими, чем у исходной АЧХ.

118

Пример. Пусть АЧХ идеального ФНЧ с частотой среза ωср описывается выражением

Из данной импульсной характеристики можно сделать бесконечную выборку значений. Интервал дискретизации делают достаточно малым, чтобы передать все особенности ИХ. Обычно

но на любом уровне N, однако это усечение приводит к сильной изрезанности АЧХ в полосе пропускания и большому уровню боковых лепестков. Обычно число отсчетов выбирают достаточно большим: N = 21, 51, 101, 201, 501 и т. д.

Для обеспечения физической реализуемости импульсную харак-

теристику сдвигают на половину ее длительности, т.е. N 1. Сдвиг

2

119