Цифровая обработка сигналов

Рассмотрим, как при билинейном преобразовании происходит отображение оси частот p j a из p-плоскости в z-плоскость.

Преобразуем формулу:

Выделим действительную и мнимую части z:

нение единичной окружности в z-плоскости.

Определяя z ej цT и используя приведенное выше соотношение, получим формулу трансформации частот при билинейном преобразовании:

Таким образом, отображение z epT , как и отображение при БЛП

z 2 pT , преобразует левую p-полуплоскость в единичный круг

2 pT

в z-плоскости, а частотная ось p j a преобразуется в единичную окружность, только связь частот ωц и ωа при БЛП будет нелинейная. Однако лучшего отображения бесконечного интервала частот

синтеза цифровых фильтров пока не найдено.

На рис. 2.19 показана связь аналоговых и цифровых частот, рассчитанная по приведенным соотношениям. Видно, что с уменьшением интервала дискретизации T область примерного

101

102

частотный масштаб при проектировании ЦФ. Пусть, например, требуется ЦФ с заданной частотной характеристикой (ЧХ). Для решения задачи синтеза такого фильтра необходимо так подобрать аналоговый фильтр-прототип, чтобы его частотная характеристика не совпадала точно с ЧХ проектируемого фильтра, а была деформирована по оси частот в соответствии с приведенным выше выражением.

Если известна частотная характеристика K(ω) или передаточная функция K(р) фильтра-прототипа, то с помощью пре-

вого фильтра и определяют его структурную схему.

Рассмотренный метод билинейного преобразования является одним из основных часто используемых на практике методов синтеза цифровых фильтров [2].

Пример. Спроектируем ЦФ низких частот, имеющий частоту дискретизации fдискр = 10 кГц. АЧХ ЦФ должна быть максимально плоской в полосе пропускания f. При этом fcp = 1 кГц – частота среза по уровню 3 дБ; f2 = 2fcp – затухание 20 дБ (рис. 2.21).

Выбираем для аппроксимации АЧХ аналогового фильтрапрототипа класса Баттерворта (рис. 2.22) с максимально плоской частотной характеристикой в полосе пропускания (гладкая вершина):

103

где n – порядок фильтра Баттерворта.

n = 1

n = 2

n = 4

0

ωср ω

Рис. 2.22. Аамплитудно-частотная характеристика фильтров Баттерворта

Определяем частоты среза фильтра-прототипа:

Выбираем порядок фильтра Баттерворта n (см. рис. 2.22):

Выбираем n = 3. При этом затухание на 2fcp → 21 дБ – небольшое превышение требуемого затухания.

Операторный коэффициент передачи фильтра Баттерворта имеет

вид

104

Заменяем p 2 z 1, после преобразования получим выражение

T z 1

для системной функции синтезированного ЦФ[2]:

Это ЦФ третьего порядка, так как максимальная степень в числителе и знаменателе равна трем, что совпадает с порядком фильтра-прототипа. На рис. 2.23 приведена структурная схема синтезированного ЦФ, построенного по каскадной схеме, причем каждый из каскадов реализован в канонической форме.

z –1

–0,546

Рис. 2.23. Синтезированный цифровой фильтр Баттерворта 3-го порядка

2.5.Метод синтеза цифровых фильтров

сиспользованием Z-форм

Данный метод представляет собой развитие метода билинейного преобразования. Как и в предыдущем методе, используется разложение ln(z) в ряд и учитывается большее число членов ряда:

1.Находим максимальную степень в выражении для K(р) (обычно

степень знаменателя N больше степени числителя М). Умножаем числитель и знаменатель на p–N.

2.Подставляем выражения для Z-форм (табл. 2.3).

Таблица 2.3

3. Приводим выражение для системной функции к стандартному виду:

M

1 bjz 1

j 1

106

Достоинства метода:

1)не нужно производить трансформацию частот аналогового фильтра-прототипа;

2)чем выше порядок аналогового фильтра-прототипа, тем точнее передаются характерные точки его АЧХ.

2.6. Частотные преобразования, применяемые при синтезе цифровых фильтров

Основные методы частотных преобразований, применяемых при синтезе ЦФ, показаны на рис. 2.24. В первом методе происходит преобразование полосы частот аналогового фильтра, а во втором – преобразование полосы частот цифрового фильтра. Метод частотных преобразований (метод 2) предложил американский ученый А. Дж. Константинидис. По данному методу рассчитывается низкочастотный цифровой фильтр, а затем он преобразуется в фильтры нижних и верхних частот, полосовые и режекторные фильтры (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ соответственно).

Рис. 2.24. Основные методы частотных преобразований

107

При использовании первого метода для преобразования полосы частот делают замену оператора р по соотношениям, приведенным в табл. 2.4.

Таблица 2.4 Частотные преобразования аналогового фильтра

ωср – частота среза ФНЧ1, ФВЧ; ω1, ω2 – нижняя и верхняя частоты среза ПФ и РФ

Пример. Возьмем в качестве нормализованного ФНЧ фильтр Баттерворта второго порядка:

где ωср – круговая частота среза ФНЧ1.

Производя аналогичные замены по табл. 2.4, получаем ФВЧ, ПФ,

РФ.

Общие частотные преобразования ЦФ по Константинидису приведены в табл. 2.5.

108

Таблица 2.5 Общие частотные преобразования ЦФ по Константинидису

где ωср – требуемая частота среза ФНЧ1; Θср – частота среза исходного фильтра

где ω1, ω2 – нижняя и верхняя частоты среза ПФ; Θср – частота среза исходного ФНЧ; ω0 – центральная частота ПФ

109