Цифровая обработка сигналов

b1 2e T cos cT ; b2 e 2 T .

Разностное уравнение данного цифрового резонатора запишем в виде:

Рассмотрим расположение особых точек системной функции H(z) в z-плоскости. Системная функция имеет один нуль z0 и два комплексно-сопряженных полюса z1 и z2 (рис. 2.9).

При α → 0 z1 и z2 стремятся к границе устойчивости, а при α → ∞ z1 и z2 стремятся к нулю. В последнем случае в системе будут наблюдаться сильно затухающие колебания при ее возбуждении единичным импульсом.

При c 0 z0, z1, z2 стремятся к точке e T , лежащей на линии

Re(z).

При c д полюса меняются друг с другом.

T 2

90

Область устойчивых решений, т.е. все полюса системной функции должны располагаться внутри единичной окружности

Рис. 2.9. Расположение особых точек системной функции ЦФ на z-плоскости

Пример 2. Синтезируем цифровой режекторный фильтр. Операторный коэффициент передачи аналогового режекторного

фильтра:

Q 0 ; – полоса частот на уровне –3 дБ или 0,707.

На рис. 2.10 приведена схема варианта построения аналогового

91

Впрямую продискретизировать режекторный фильтр не удается. Поэтому воспользуемся соотношением, справедливым как для аналоговых, так и для цифровых фильтров:

Kрез(p) Kреж(p) 1,

Hрез(z) Hреж (z) 1.

Из последнего выражения следует:

демпфирования ξ, затухание α = ω0ξ и частоту свободных колебаний ωс. Вычислив указанные параметры, найдем коэффициенты k0, a0, а1, b1, b2 для цифрового резонатора a0 , a1 , a2 , b1 , и b2 для цифрового режекторного фильтра.

2.3. Синтез цифровых фильтров методом отображения дифференциалов

В основе метода отображения дифференциалов лежит дискретизация аналогового фильтра-прототипа, заключающаяся в замене дифференциалов в его дифференциальном уравнении прямыми, обратными или центрированными разностями. Дифференциальное уравнение для аналогового фильтра можно получить непосредственно либо из операторного коэффициента передачи [5].

Любую физически реализуемую цепь можно описать операторным коэффициентом передачи в виде отношения полиномов

K p C p c0 c1p c2 p2 cM pM ,

Q p q0 q1p q2 p2 qN pN

оператор дифференцирования, а изображения Y(p) и X(p) на сигналы y(t) и x(t), получим дифференциальное уравнение, описывающее аналоговый фильтр-прототип:

Простейший метод дискретизации системы состоит в замене дифференциалов на прямые или обратные разности (чаще используются обратные разности):

0[ f (nT)] f (nT) – нулевая разность;

1

2 f (nT) T 1 f (nT) 1 f (nT T)

1

f (nT) 2f (nT T) f (nT 2T) вторая разность и т. д.

T2

Структурная схема цифрового фильтра для формирования второй разности приведена на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Формирователь второй разности

Заменяя в дифференциальном уравнении, описывающем АФП, дифференциалы соответствующими обратными разностями, получим неприведенное разностное уравнение

N M

qj j[y(nT)] ci i[x(nT)], n 0.

j 0 i 0

Затем приводим РУ к стандартному виду:

M N

y(nT) aix(nT iT) bj y(nT jT), n 0.

i 0 j 1

Таким образом, при использовании обратных разностей производится следующая замена:

df (t) f (nT) f (nT T) , dt T

что с точки зрения операторов соответствует соотношениям

Используя указанные соотношения, можно непосредственно перейти от операторного коэффициента к системной функции и обратно:

94

Полученную системную функцию приводим к стандартному виду:

M

1 bjz j

j 1

Пример. Синтезируем цифровой режекторный фильтр по заданному аналоговому фильтру-прототипу (рис. 2.12). Имеем

оператор d , а X(p) x(t) и dt

Y(p) y(t), получим дифференциальное уравнение:

p2 2 p 02 Y(p) p2 02 X(p),

1 2 T 02T2 y(nT) 2(1 T)y(nT T) y(nT 2T)

1 02T2 x(nT) 2x(nT T) x(nT 2T), n 0.

Выражая это уравнение относительно y(nT), найдем коэффициенты ЦФ:

Достоинство метода замены дифференциалов разностями заключается в простоте перехода от операторного коэффициента передачи K(р) непосредственно к системной функции H(z).

Недостаток метода состоит в плохом сохранении частотных характеристик аналогового фильтра-прототипа независимо от использования прямых или обратных разностей. Необходимо, как и в методе инвариантного преобразования ИХ, выбрать интервал дискретизации T достаточно малым, чтобы передать все особенности ИХ, или правильно продискретизировать дифференциальное уравнение.

Рассмотрим, как отображается левая p-полуплоскость в z-плос- кость:

кости.

На рис. 2.13 показано, что совпадение частот ωа и ωц происходит на небольшом участке T .

При равной частоте дискретизации метод отображения дифференциалов работает хуже, чем метод инвариантного преобразования ИХ. С увеличением частоты дискретизации совпадение характеристик улучшается, но реализация ЦФ становится затруднительной, так как требуется повышенное быстродействие ЦФ.

Метод отображения дифференциалов можно улучшить, если использовать разности более высоких порядков для замены дифференциалов низких порядков или использовать центрированные разности. Однако из-за сложности замены такой подход не нашел практического применения.

96

Im[z]

Рис. 2.13. Отображение оси jωa из p-плоскости в z-плоскость

2.4. Синтез цифровых фильтров методом билинейного преобразования

Синтез цифрового фильтра методом билинейного преобразования производится по операторному коэффициенту передачи аналогового фильтра-прототипа. Метод несколько сложнее предыдущего, но дает лучшие результаты.

Исходные данные: передаточная функция аналогового фильтра-

C(p) есть дробно-рациональное выражение, описывающее любую

D(p)

физически реализуемую цепь [2].

97

Точно реализовать частотные свойства аналогового фильтрапрототипа нельзя, так как

При билинейном преобразовании (БЛП) происходит трансформация частот (рис. 2.15).

Рабочий диапазон

Рис. 2.15. Трансформация частот при билинейном преобразовании

Произошла трансформация частоты –∞ в –π/Т, а ∞ в π/Т. Таким образом, в цифровом фильтре произошло сжатие полосы частот.

Алгоритм использования метода билинейного преобразования состоит в следующем.

98