Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Современные технологии и системы автоматизированного измерения на СВЧ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

8.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

получим:

&	&	&	&	&	/ Zв )sh(γ z) .	(14.5.6)
U (z) = U		нch(γ z)+IнZвsh(γ z);	I (z) = Iнch(γ z)+(Uн

Если в (14.3.4) и (14.3.5) положить z = 0 , то окажется, что комплексные коэффициенты суть комплексные амплитуды падающих и отраженных волн напряжения и тока на нагрузке:

(0);

(0) .

(14.5.7)

= Uпад

= Iпад

= Uотр

= Iотр

Если эти комплексные амплитуды считать заданными, то равенства (14.3.1) также можно считать частными решениями волновых уравнений (14.2.6). Разница между частными решениями (14.3.1) и частными решениями (14.5.6) состоит в том, что первые выражены через комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на нагрузке, а вторые – через комплексные амплитуды полных напряжения и тока на нагрузке.

В идеализированном случае отсутствия потерь ( R1 = G1 = 0 ) γ = iβ и с учетом равенств

		ch(iβz) = cos(βz);	sh(iβz) = i sin(βz)				(14.5.8)
решения (14.5.6) можно записать в виде
&	&	&	&	&	&	/ Zв ) sin(βz) .	(14.5.9)
U (z) = Uн		cos(βz) + iIнZв sin(βz);	I (z) = Iн		cos(βz) + i(Uн	/ Zв ) sin(βz) .	(14.5.9)

Это же выражение можно получить и из (14.3.1), используя (14.3.2) и (14.5.1). С другой стороны, учтя (14.5.7), можно в случае отсутствия потерь записать (14.3.1) в виде:

(0)e

iβz

(0)e

−iβz

;

(0)e

iβz

(0)e

−iβz

(14.5.10)

(z) = Uпад

+Uотр

I (z) = Iпад

+ Iотр

Коэффициент отражения и входное сопротивление

Обозначим отношение комплексных амплитуд напряжений падающей и отраженной волн на нагрузке:

	&	(0)		&
G =	Uотр		=	B
				U	.	(14.6.1)
	&	(0)		&
	Uпад			AU

Комплексная величина G = G eiψΓ называется коэффициентом отражения по напряжению, яв-

ляется важным параметром системы «ЛП+нагрузка» и, как показано ниже, зависит от соотношения нагрузки Zн и волнового сопротивления ЛП Zв .Аналогичное отношение токов, которое можно назвать коэффициентом отражения по току, в силу (14.5.1), равно:

	&	(0)		&		&
GI =	Iотр	(0)	=	B	= -	B	= -G ,
				I		U
	&	(0)		&		&
	Iпад	(0)		AI		AU

и на практике не применяется, поэтому слова «по напряжению» в названии сить.

Теперь решения (14.5.10) можно переписать в виде:

(0)

×(e

iβz

+ Ge

−iβz

);

(0) ×(e

iβz

- Ge

−iβz

) .

U (z) = Uпад

I (z) = Iпад

(14.6.2)

Γ можно отбро-

(14.6.3)

Другим важным параметром системы «ЛП+нагрузка» является входное сопротивление нагруженной линии

&	&	(14.6.4)
Zвх (z) = U (z) / I (z) ,

связанное с трансформирующими свойствами отрезка линии.

ЛП с малыми потерями

Как показано выше, такие вторичные параметры ЛП, как коэффициент ослабления α , коэффициент фазы β , фазовая скорость Vф , длина волны в линии λл , волновое сопротивление

&	&	(z)	и др., выражаются через первичные параметры R1 ,
Zв , и такие функции, как Uпад	(z) , Uотр

G1 , L1 , C1 . В общем случае произвольных первичных параметров эти выражения сложны и

громоздки (см. (14.4.4), (14.4.5)), что мешает практическому использованию теории эквивалентных ЛП. С другой стороны, в предположении отсутствия потерь (и в металле, и в диэлектрике) эти соотношения резко упрощаются, но само это предположение является теоретической идеализацией, и использование получаемых простых соотношений создает ошибки, исследование величин которых представляет собой непростую задачу.

Оказывается, однако, что современные ЛП часто, если не сказать всегда, принадлежат к классу линий с малыми потерями, для которых приближенные соотношения вторичных и первичных параметров компромиссны по сложности, а оценки ошибок очевидны. Примем в качестве критерия малости потерь линии условия [14.6]:

1 .

(14.7.1)

ωL1

ωC1

Представив постоянную распространения γ в виде:

γ =

= iω

(R1 + iωL1 )(G1 + iωC1 )

L1C1

[1+ R1 /(iωL1 )][1+ G1 /(iωC1 )]

(14.7.2)

разложим ее по степеням отношений R1 / ωL1 ,

G1 / ωC1 , удерживая члены второго порядка этих

отношений, тогда получим:

α ≈

(

+ G1Zв0 ) ;

(14.7.3)

2 Zв0

β ≈ β0 [1+

(

−

)2 ] ,

(14.7.4)

ωC1

ωL1

где Zв0 =

L1 / C1

–

волновое сопротивление линии без потерь (см. (14.4.15)),

β0 = ω

–

коэффициент фазы линии без потерь (см. (14.4.6)).

L1C1

Относительная ошибка при использовании этих формул определяется модулем первого отброшенного члена в разложении.

В современных ЛП потери в диэлектрике пренебрежимо малы по сравнению с потерями в металле, это означает, что члены с G1 в обеих формулах пренебрежимы, и формулы упрощают-

ся:

α ≈ R1 / 2Zв0 ;						(14.7.5)
β ≈ β0	[1+	1	(	R1	)2 ] .	(14.7.6)

	8			ωL1

Для конкретной ЛП, т. е. при заданных первичных параметрах, условия (14.7.1) выполняются тем лучше, чем больше частота; начиная с некоторой частоты и для более высоких частот становится приемлемым нулевое приближение в используемом разложении ( α = 0, β = β0 ), т. е. предположение об отсутствии потерь.

Связь коэффициента отражения с нагрузкой

Пусть эквивалентная ЛП нагружена на, в общем случае –

комплексное, сопротивление Zн

(рис. 12.1.1). Комбинируя (14.3.2), (14.4.14), (14.4.16), (14.5.1) и очевидное равенство

(14.8.1)

Uн = IнZн

получим [14.5]:

(0)

Uпад

(0) + Uотр

Zн

= Zв

(14.8.2)

(0)

Uпад

(0) −Uотр

и учтя определение (14.6.1) коэффициента отражения

Поделив числитель и знаменатель на Uпад

Γ , найдем:

Zн

= ξ =

1+ Γ

(14.8.3)

Zв

1− Γ

откуда

Γ =

Zн − Zв

ξ −1 ,

(14.8.4)

Zн + Zв

ξ +1

т. е. коэффициент отражения Γ полностью определяется (комплексным) отношением ξ сопротивления нагрузки и волнового сопротивления.

В большинстве случаев при конструировании радиотехнических устройств СВЧ – диапазона требуется добиваться, насколько возможно, согласования ЛП и нагрузки. Так, «… со знанием параметров рассеяния транзистора конструирование усилительных, осцилляторных и смесительных цепей сводится к задаче импедансного согласования» [14.3]. В измерительных приборах СВЧ-диапазона проблема согласования стоит особенно остро, т. к. именно рассогласованиям обязан ряд ошибок измерения. Из формулы (14.8.4) видно, что единственный способ избежать отражения от нагрузки, т. е. добиться равенства Γ = 0 , – это выбрать сопротивление нагрузки равным волновому сопротивлению линии: Zн = Zв . Если волновое сопротивление ЛП

чисто активно: Zв = Rв , то согласующее сопротивление должно быть также активным и равным волновому: Rн = Rв .

Подставляя в (14.8.4) выражения Zн = Rн + iX н ; Zв = Rв + iX в , получим:

G = reiψΓ =	(Rн	− Rв ) + i( X	н	− X	в )	.	(14.8.5)
G = reiψΓ =						.	(14.8.5)
	(Rн + Rв ) + i( X н + X в )

На практике ЛП рассчитываются и изготавливаются так, чтобы волновое сопротивление было чисто активным, т. е. X в =0. Учитывая это, перепишем предыдущее выражение:

G = (Rн − Rв ) + iX н . (Rн + Rв ) + iX н

Отсюда найдем модуль коэффициента отражения:

r = (Rн - Rв )2 + X н2 . (Rн + Rв )2 + X н2

Поскольку Rн ³ 0 и Rв ³ 0 (вследствие пассивности нагрузки и ЛП),

выражения не больше числителя, т. е. ρ ≤ 1.

(14.8.6)

(14.8.7)

знаменатель подкоренного

(14.8.8)

Это условие эквивалентно (14.3.3) и означает, что амплитуда отраженной волны не превосходит амплитуду падающей волны.

Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль нагруженной линии

Интерференция волн

Из вышеизложенного следует, что в ЛП, нагруженной на сопротивление Zн и возбуждае-

мой монохроматическим сигналом частоты ω , существует две волны – падающая и отраженная, распространяющиеся в противоположные стороны. В каждой точке (сечении) линии каждая из этих волн имеет свою амплитуду и свою фазу, и происходит интерференция этих волн. Рассмотрим результаты интерференции в идеализированном случае отсутствия потерь.

Относительные распределения амплитуд, их свойства Формулы (14.6.3) дают распределения комплексных амплитуд полных напряжения и тока

вдоль линии, коэффициент отражения имеет вид (см. (14.8.5)) G = reiψΓ , при действительном волновом сопротивлении ( Zв = Rв ) yΓ = yн , где yн – аргумент комплексного сопротивления нагрузки: Zн = Zн eiψн . Находя из (14.6.3) модули (амплитуды) полных напряжения и тока и де-

ля их на те же модули в точке z = 0 соответственно, находим относительные распределения амплитуд напряжения и тока вдоль линии:

		&
		U (z)		=	1+ 2rcos(2bz - yн ) + r2 ;		(14.9.1)

	&
	Uпад (0)
			I&(z)

				=		1- 2rcos(2bz - yн ) + r2 .	(14.9.2)

		I&пад (0)
		I&пад (0)
Непосредственно из (14.9.1), (14.9.2) следует:
					44

1) Амплитуды напряжения и тока в линии – периодические функции продольной координаты z . Период L удовлетворяет условию 2βL = 2π , а поскольку в случае отсутствия потерь (см. (14.4.8)) β = 2π / λл , то L = λл .

2) Относительные амплитуды напряжений и токов колеблются между 1+ ρ (максимум) и 1− ρ (минимум). Максимум относительной амплитуды напряжения достигается при

z = (n +	ψн	λл		n = 0, 1, 2,... ; минимум – при	z = (n +	1	+	ψн	λл	, n = 0, 1, 2,... ; максимум тока
	2π )		,					2π )
		2				2			2

находится в точке минимума напряжения, и наоборот.

Пучности и узлы в ЛП в режиме смешанных волн

3) При r ¹ 0 интерференция падающей и отраженной волн образует стоячую волну, в которой максимумы называют пучностями, а минимумы – узлами (рис. 14.9.1). Степень глубины стоячей волны определяется лишь величиной ρ : при ρ =1 глубина максимальна, в пучности относительная амплитуда равна 2, в узле – равна 0 (такую картину иногда называют чисто стоячей волной); при 0 < r < 1 пучность ниже двух, а узел выше нуля; при r = 0 стоячей волны нет: отраженная волна отсутствует, относительные амплитуды напряжения и тока при всех z равны 1,

имеет место режим бегущей волны.

4)Фазовый угол ψ влияет лишь на координаты узлов и пучностей, но не на значения амплитуды в них.

5)Как видно из рис. 14.9.1, минимум амплитуды вблизи узла выражен более резко, чем максимум амплитуды вблизи пучности. Это свойство стоячей волны важно в измерениях с помощью длинных линий: измерение положения пучности менее чувствительно, чем положения узла, зато проводится при большем «отношении сигнал-шум».

6)Для исчерпывающего описания распределения амплитуд вдоль линии достаточно изучить поведение напряжения по (14.9.1), поскольку распределение тока (14.9.2) повторяет распреде-

ление напряжения , но со смещением вдоль линии на λл / 2 .

7) Для количественного описания глубины стоячей волны вводят коэффициент стоячей волны, равный отношению максимальной и минимальной амплитуд:

СВ

max

min

=	1	+ ρ	,	(14.9.3)
		− ρ
1

откуда

ρ =	kСВ	−1	.	(14.9.4)
	kСВ	+1

Коэффициент стоячей волны – скалярная величина, принимающая значения в диапазоне

1 ≤ kСТ ≤ ∞ .

(14.9.5)

Левая граница этого диапазона соответствует полному согласованию, ρ = 0 , т. е. режиму бегущей волны, правая – полному рассогласованию, ρ = 1 , т. е. режиму чисто стоячей волны. И тот, и другой режимы на практике не достижимы в полной мере и являются математической абстракцией, приближение к которой возможно в той или иной степени. Идеально согласованная нагрузка Rн = Rв невозможна из-за тепловых потерь, различных нерегулярностей и неоднород-

ностей, обусловленных конечной точностью изготовления линии, наличием элементов крепления, несовершенством разъемов и других факторов, вызывающих появление отраженной волны. Идеальная полностью отражающая нагрузка невозможна из-за паразитных емкости, индуктивности и утечек.

Режимы работы ЛП без потерь Обычно режимы в нагруженной ЛП разделяют на три класса:

1) Режим бегущей волны: линия согласована, Rн = Rв , Γ = 0 , отраженная волна отсутствует,

распространяется только падающая волна, которая полностью поглощается нагрузкой, амплитуды напряжения и тока постоянны вдоль линии.

2) Режим чисто стоячей волны: Γ = ±1 , в сечении z = 0 амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны, энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор, ρ = 1 , kСВ = ∞ .

3) Режим смешанных волн: 0 < ρ < 1, 1 < kСВ < ∞ , часть энергии падающей волны поглощается

нагрузкой, остальная ее часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор, стоячая волна имеет неполную глубину, т. е. в пучности относительная глубина меньше двух, в узле относительная глубина больше нуля.

Канонические нагрузки

Рассмотрим распределения вдоль линии без потерь амплитуд напряжения и тока и входного сопротивления для нагрузок: согласованной резистивной нагрузки, холостого хода, короткого замыкания, емкости, индуктивности [14.6]. Эти нагрузки можно назвать каноническими; примеры, связанные с ними, помогают лучше понять структуру волн в нагруженной линии, а также имеют самостоятельный интерес.

Согласованная нагрузка

Далее считаем волновое сопротивление чисто активным (Zв = Rв ) , тогда согласованная нагрузка – сопротивление, равное волновому ( Rн = Rв ). Как указано выше, при такой нагрузке

получается режим бегущей волны с постоянными вдоль линии амплитудами напряжения и тока и линейной фазой (рис. 14.11.1). Напряжение и ток в этом режиме (см. (14.5.10)) равны:

&	&	(0)e	iβz	;	&	&	(0)e	iβz	,
U (z) = Uпад					I (z) = Iпад

поэтому


	&		&		(0)
Zвх (z) =	U (z)	=	Uпад			= Rн	= Rв .
	I&(z)			I&пад (0)

(14.11.1)

(14.11.2)

Таким образом, в режиме бегущей волны входное сопротивление любого отрезка нагруженной линии независимо от его длины в точности равно волновому сопротивлению линии.

Амплитуда напряжения (а) и фаза (б) в ЛП при согласованной нагрузке

Холостой ход

В этом случае Z

= ∞ , I&

= 0 , из (14.8.4) следует, что Γ = 1 , а это означает, что

= 2

, имеет место режим чисто стоячей волны, при z = 0

Uотр

(0) = Uпад (0) , ψн =0,

U (0)

Uпад (0)

наблюдается пучность напряжения и узел тока: I&отр (0) = −I&пад (0) . Из (14.5.9), также как из

(14.9.1), (14.9.2), следует:

(0) cos(βz);

(0) / Zв ]sin(βz) ,

(14.11.3)

U (z)

= 2Uпад

I (z) = i[2Uпад

откуда

Zвх

= −iZвctg(βz)

= iX вх .

(14.11.4)

= U (z) / I (z)

Рис. 14.11.2 иллюстрирует соотношения (14.11.3), (14.11.4). Из рисунка и соотношений следует:

∙в линии устанавливается чисто стоячая волна с пучностью напряжения и узлом тока на конце линии;

∙напряжение, ток и входное сопротивление периодичны с периодом λл / 2 ;

∙входное сопротивление чисто мнимое всюду, кроме точек с координатами

z = nλл / 4, n = 0, 1, 2,...;

∙если длина разомкнутой линии меньше λл / 4 , то такая линия эквивалентна емкости;

∙если длина такой линии равна λл / 4 , то она эквивалентна последовательному резонанс-

ному на данной частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление;

∙если длина такой линии находится в интервале λл / 4 < L < λл / 2 , то она эквивалентна индуктивности;

∙если длина такой линии равна λл / 2 , то она эквивалентна параллельному резонансному на данной частоте контуру и имеет бесконечно большое входное сопротивление.

Амплитуды напряжения и тока (верхний рисунок) и реактивное входное сопротивление (нижний рисунок) в ЛП, нагруженной на холостой ход

Короткое замыкание

из (14.8.4)

следует,

что Γ = −1 , а это означает, что

В этом случае Zн = 0 , Uн = 0 ,

(0) = I&

(0) , ψ

= π ,

I&(0)

= 2

(0)

, имеет место режим чисто стоячей волны, при z = 0

отр

пад

также как из

наблюдается пучность тока и узел напряжения: Uотр (0)

= −Uпад (0) . Из (14.5.9),

(14.9.1), (14.9.2), следует:

(14.11.5)

U (z)

= 2iIпад

(0)Zв sin(βz); I (z) = 2Iпад (0) cos(βz) ,

откуда

Zвх = iZвtg(βz) = iX вх .

(14.11.6)

Рис. 14.11.3 иллюстрирует соотношения (14.11.5), (14.11.6). Из рисунка и соотношений следует:

∙в линии устанавливается чисто стоячая волна с пучностью тока и узлом напряжения на конце линии;

∙напряжение, ток и входное сопротивление периодичны с периодом λл / 2 ;

∙входное сопротивление чисто мнимое всюду, кроме точек с координатами

z = nλл / 4, n = 0, 1, 2,...;

∙ при длинах замкнутой линии L < λл / 4, L = λл / 4, λл / 4 < L < λл / 2, L = λл / 2 она эквивалентна индуктивности, параллельному на данной частоте контуру, емкости, последовательному на данной частоте контуру, соответственно.

Амплитуды напряжения и тока (верхний рисунок) и реактивное входное сопротивление (нижний рисунок) в ЛП, нагруженной на короткое замыкание

Емкость
Пусть линия нагружена на емкость C . В этом случае Zн = iX н ,			X н < 0 . Из (14.8.4) следует, что
Γ = −	Zв − iX н	,	(14.11.7)

	Zв + iX н
откуда
49

r = 1,	yн	= p - 2arctg	X н	.	(14.11.8)

			Zв

Подставляя эти формулы в (14.9.1), получаем распределение модуля напряжения вдоль линии:

	= 2	&		×	sin(bz + arctg	X н
&		&				X н
U (z)		Uпад	(0)			Zв	)	,	(14.11.9)
						Zв

а распределение модуля тока сдвинуто на lл / 4 (рис. 14.11.4). Таким образом, в этом слу-

чае также имеет место режим чисто стоячей волны, но в конце линии нет ни пучности, ни узла. Ближайшими к нагрузке экстремумами будут узел напряжения и пучность тока, они отстоят от конца линии на l = (1/ b)arctg(wCZв ) .

Амплитуды напряжения и тока (верхний рисунок) и реактивное входное сопротивление (нижний рисунок) в ЛП, нагруженной на емкость

Индуктивность

Пусть линия нагружена на индуктивность L . В этом случае Zн = iX н , X н > 0 . Очевидно,

что распределение модулей напряжения и тока, а также входного сопротивления (рис. 14.11.5), будет повторять картину в случае емкостной нагрузки, но со сдвигом в противоположную сторону на l = (1/ b)arctg(Zв / wL) , так что ближайшими к нагрузке экстремумами будут пучность напряжения и узел тока.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]