
Современные технологии и системы автоматизированного измерения на СВЧ
..pdf
exp(−γz) = exp(−αz) exp(−iβz) , |
(13.6.3) |
первая из которых задает затухание амплитуды с логарифмическим декрементом α , а вторая – отставание по фазе. Поскольку мощность пропорциональна квадрату амплитуды, затухание по мощности задается множителем exp(−2αz) .
Можно показать [13.1], что коэффициент ослабления, обусловленный потерями в металлических элементах ЛП, равен:
л |
RS |
|
2 |
∫ |
|
& 0 |
|
2 |
|
& 0 |
|
|
|
||||||
aм = Zc |
Hmτ |
dl / |
|
Em |
|
dS , |
(13.6.4) |
||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Γ |
|
|
S |
|
|
|
|
|
где RS = πf μ0 / σ – активная часть поверхностного сопротивления проводника;
m0 = 4p×10−7 Гн/м, σ – удельная проводимость материала стенки волновода;
& |
0 |
– касательная составляющая вектора |
& 0 |
; |
Hmτ |
Hm |
|||
Γ |
– |
контур поперечного сечения металлических элементов ЛП (односвязный в случае по- |
лого металлического волновода, двусвязный из двух концентрических окружностей – в случае коаксиальной линии и т. д.).
Прямоугольный волновод (Е-волны, Н-волны, основная волна, одноволновая передача, затухание)
Будем считать, что стенки волновода имеют бесконечную проводимость, а заполняющая его среда – идеальный (без потерь) диэлектрик с параметрами ε, μ . Поскольку эта направляющая система имеет порядок связности 1, в ней могут существовать E -волны и H -волны, но не T -волны (см. 13.4). На рис. 13.7.1 показаны применяемые далее система координат и размеры a, b широкой и узкой стенок ( a > b ). Источники, создающие поле в волноводе, расположены со стороны отрицательных значений координаты z , а созданные ими волны распространяются в положительном направлении оси Z .
Система координат для прямоугольного волновода
Т. к. поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные (см. 13.2), достаточно решить уравнения Гельмгольца относительно последних:
2 & |
2 & |
= 0, |
2 & |
2 |
& |
= 0 , |
(13.2.8) |
Ñ Emz |
+ g Emz |
Ñ Hmz |
+ g Hmz |
||||
|
|
|
|
21 |
|
|
|

при соответствующих граничных условиях. Как видим, это две скалярные краевые задачи на собственные значения и на собственные функции (собственные волны) поперечного оператора Лапласа. Их решения стандартным методом разделения переменных имеют вид [13.1]:
а) для E -волн: |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
0 |
(x, y) exp(−iβz), |
ν = x, y, z, |
|
|
Emν (x, y, z) = Eν |
|||||
|
& |
|
|
0 |
(x, y) exp(−iβz), |
ν = x, y, |
|
Hmν (x, y, z) = H |
ν |
||||
где для m, n -ой моды ( m, n =1, 2, …): |
|
|||||
& 0 |
(x, y) = E0 z |
sin(mπx / a) sin(nπy / b), |
|
|||
Ez |
|
|||||
& 0 |
|
2 |
|
|
(mπ / a) cos(mπx / a) sin(nπy / b), |
|
Ex |
(x, y) = −i(β / γ )E0 z |
|||||
& 0 |
|
2 |
|
|
(nπ / b) sin(mπx / a) cos(nπy / b), |
|
Ey |
(x, y) = −i(β / γ )E0 z |
|||||
H x |
(x, y) = i(ωε / γ )E0 z (nπ / b) sin(mπx / a) cos(nπy / b), |
|||||
& 0 |
|
2 |
|
|
|
|
H y (x, y) = −i(ωε / γ )E0 z (mπ / a) cos(mπx / a) sin(nπy / b), |
||||||
& 0 |
|
2 |
|
|
|
|
& 0 |
(x, y) = 0. |
|
|
|
|
|
H z |
|
|
|
|
|
|
б) для H -волн: |
|
|
|
|
|
|
|
& |
z) = H |
0 |
|
|
ν = x, y, z, |
|
Hmν (x, y, |
ν (x, y) exp(−iβz), |
||||
|
& |
0 |
(x, y) exp(−iβz), |
ν = x, y, |
||
|
Emν (x, y, z) = Eν |
(13.7.1)
(13.7.2)
(13.7.3)
где для m, n -ой моды ( m, n =0, 1, 2, … , кроме одновременного m = n = 0 ):
H z0 (x, y) = H0 z cos(mπx / a) cos(nπy / b),
H x0 (x, y) = i(β / γ )(mπ / a)H0 z sin(mπx / a) cos(nπy / b),
H y0 (x, y) = i(β / γ )(nπ / b)H0 z cos(mπx / a) sin(nπy / b),
(13.7.4)
Ex0 (x, y) = i(ωμ / γ )(nπ / b)H0 z cos(mπx / a) sin(nπy / b), Ey0 (x, y) = −i(ωμ / γ )(mπ / a)H0 z sin(mπx / a) cos(nπy / b),
Ez0 (x, y) = 0.
Как для E -волны, так и для H -волны постоянная γ |
для m, n -ой моды находится из соотно- |
||
шения: |
|
||
γ = |
|
, |
|
(mπ / a)2 + (nπ / b)2 |
(13.7.5) |
а зная ее, из (13.3.5) находится критическая длина волны:
λкр =2π |
/ γ = |
|
2ab |
|
|
, |
(13.7.6) |
|
|
|
|
|
|
||||
(mb)2 |
+ |
|
||||||
|
|
|
(na)2 |
|
длина волны в волноводе:
|
|
|
|
Λ = 2π / β = λ / 1− (λ / λ )2 , |
(13.3.8) |
кр
22

и фазовая скорость этой волны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= ω / β = c / |
|
|
1− (λ / λ)2 . |
(13.3.9) |
||||||||
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое сопротивление для E -волн равно |
|
||||||||||||
|
= |
β |
= Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ZcE |
|
1− (λ / λкр )2 |
|
|
(13.3.11) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ωε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а для H -волн равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z H = ωμ / β = Z |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
1− (λ / λ |
кр |
)2 |
|
(13.3.12) |
||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что для E -волны определены все параметры, кроме E0 z , а для H -волны – все параметры, кроме H0 z . Для определения этих параметров нужны дополнительные данные, например, мощность источника.
Соотношения (13.7.1), (13.7.2), (13.7.3), (13.7.4) показывают, что в волноводе могут существовать различные моды E -волн и H -волн, структура поля и параметры которых зависят от двумерного номера m, n . Эти моды принято обозначать Emn и Hmn , причем у E -волн m, n про-
бегают значения 1, 2, …, а у H -волн один из индексов (но не оба) может равняться нулю.
Чтобы понять смысл номеров m и n , заметим, что структура поля в поперечном сечении волновода (т. е. при фиксированном значении координаты z ) аналогична структуре стоячей волны, которую можно характеризовать «длинами волн» λx = 2a / m и λ y = 2b / n в направлени-
ях осей X и Y соответственно. Таким образом, номер m есть число «полуволн» ( λx / 2 ), укла-
дывающихся на поперечном размере a стенки, параллельной оси X , а номер n есть число «полуволн» ( λ y / 2 ), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y .
Равенство нулю одного из номеров означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 – от координаты x , а при n = 0 – от координаты y ).
& &
Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и H вдоль оси Z описывается множителем exp(−iβz) . В волноводе без потерь распространение волны происходит только при λ < λкр , а критическая длина волны λкр зависит, в силу (13.7.6), от размеров a и b , от но-
меров m и n моды. При фиксированных размерах a и b волновода с увеличением номеров m и (или) n значение λкр уменьшается.
Наибольшую λкр |
среди всех возможных волн при a > b имеет волна H10 с λкр = 2a . При |
a = b наибольшую λкр |
имеют две волны H10 и H01 . Волну, имеющую наибольшую λкр , назы- |
вают основной волной ЛП (или волной низшего типа). Таким образом, при a > b основной волной прямоугольного волновода является волна H10 .
Волны, у которых λ > λкр , не распространяются: образуется стоячая волна, в которой
β = −i |
β |
& |
& |
экспоненциально убывают вдоль оси Z |
||||
и амплитуды составляющих векторов E |
и H |
|||||||
пропорционально фактору |
|
|
||||||
|
|
exp(−iβz) = exp(− |
|
β |
|
z) , |
|
(13.7.7) |
|
|
|
|
|
23

но это не связано с потерями на поглощение, они по-прежнему предполагаются отсутствующими.
Основная волна прямоугольного волновода
Изучим более подробно основную, при a > b , волну прямоугольного волновода H10 ,
имеющую наибольшую критическую длину волны λкр = 2a . Использование именно этой волны
позволяет провести оптимизацию размеров волновода и структуры поля в нем. Полагая в вышеприведенных формулах m = 1 и n = 0 , получаем для этой волны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
а) выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов E |
и H : |
||||||||||||||||||
|
|
|
Emy |
= −i(ωμa / π)H0 z sin(πx / a) exp(−iβ10 z), |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
= i(β10 a / π)H0 z sin(πx / a) exp(−iβ10 z), |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Hmx |
|
(13.7.8) |
||||||||||||||
|
|
|
& |
= H0 z cos(πx / a) exp(−iβ10 z), |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Hmz |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
& |
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Emx |
= Emz |
= Hmy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где β = k |
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1− [λ /(2a)]2 |
коэффициент фазы, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 2π / λ |
– волновое число, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
λ = c / f – |
длина свободной волны в среде с параметрами ε, μ , |
|
|||||||||||||||||
c = 1/ |
|
– скорость света в той же среде; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
εμ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) фазовая скорость: vH10 = |
|
|
|
|
c |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ф |
− [λ /(2a)]2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
в) длина волны в линии: ΛH10 = |
|
|
λ |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
− [λ /(2a)]2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
г) характеристическое сопротивление: Z H10 = |
|
|
Zc |
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
1− [λ /(2a)]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Zc = μ / ε – характеристическое сопротивление свободной волны в среде с параметрами
ε, μ .
Одноволновая передача в волноводе
Практические соображения передачи сигналов в заданном диапазоне частот диктуют следующую двуединую цель:
а) выбрать наиболее «выгодную» волну;
б) обеспечить условия существования только этой волны (одноволновой передачи).
Что касается первой части задачи, то очевидно, что такой волной является основная волна, т. е. для прямоугольного волновода при a > b – волна H10 . Действительно, эта волна имеет
наибольшую критическую длину волны, равную 2a , и на заданной частоте можно выбрать наименьшие поперечные размеры волновода, обеспечивающие перенос энергии этой волной, по сравнению с другими волнами. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.
Переходим ко второй части задачи. Необходимость условий одноволновой передачи обусловлена, главным образом, тем, что различные типы волн имеют различные фазовые, а следо-
24
вательно, и групповые скорости (модовая дисперсия), поэтому при передаче сигнала двумя или более волнами он приходит в место приема с искажениями, величина и характер которых зависит от вида модуляции, скорости передачи информации и т. п.
Если в качестве единственной волны выбрана основная волна, то одноволновую передачу просто обеспечить: для этого во всем рабочем диапазоне нужно обеспечить неравенства:
λкр2 < λ < λкр1 , |
(13.7.9) |
где λкр1 = 2a – критическая длина волны основной волны H10 |
прямоугольного волновода, λ – |
длина волны в рабочем диапазоне ( λmin , λmax ) волн, λкр2 – критическая длина волны первого высшего типа, т. е. волны с критической длиной, большей, чем у всех других волн, не считая
основной. Поскольку критическая длина волны H20 |
выражается через размер a широкой стен- |
|
ки: |
|
|
λкрH20 |
= a , |
(13.7.10) |
а критическая длина волны H01 – через размер b узкой стенки: |
||
λкрH01 |
= 2b , |
(13.7.11) |
то, в зависимости от соотношения a и b , первым высшим типом может оказаться или та, или другая, и если не конкретизировать это соотношение, для обеспечения одноволновой передачи нужно выполнение двух условий:
λ / 2 < a < λ; b < λ / 2 . |
(13.7.12) |
Отсюда следует, что одноволновая передача обеспечена во всем рабочем диапазоне
λmin < λ < λmax , |
(13.7.13) |
если размеры волновода выбираются исходя из условий:
λmax / 2 < a < λmin и b < λmin / 2 |
(13.7.14) |
На практике, однако, диапазон для выбора a сужают [13.4]:
0.6λmax < a < 0.9λmin , |
(13.7.15) |
чтобы избежать чрезмерного приближения λ к λкр , при котором затухание в волноводе резко увеличивается.
Для заданных размеров волновода полосу частот, в пределах которой сохраняется одноволновая передача, обычно характеризуют коэффициентом широкополосности:
ξ = λкр1 / λкр2 . |
(13.7.16) |
Если принять размеры волновода, исходя из (13.7.14), то теоретически можно добиться отношения крайних частот рабочего диапазона ξраб = fmax / fmin = ξ = 2 . Однако, если воспользоваться
25

суженным условием, например, (13.7.15), реальное значение широкополосности составит
ξраб =1.6 – 1.9.
Допустимая передаваемая мощность
Используя формулы (13.5.1) и (13.7.8), находим выражение средней по периоду передаваемой мощности для основной волны H10 :
|
= |
E02 ab |
|
|
, |
|
|
PH10 |
|
1− [λ /(2a)]2 |
(13.7.17) |
||||
|
|||||||
ср |
|
4Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E0 = (ωμa / π)H0 z – амплитуда электрической напряженности волны H10 . Чтобы выразить
предельную мощность через длину волны, примем b a / 2 , |
a 0.75λ , E0 пред =30 кВ/см, тогда |
|
PH10 |
125λ2 , кВт, |
(13.7.18) |
пред |
|
|
где λ выражена в сантиметрах. Как видим, предельная (и, соответственно, допустимая) мощность быстро падает с уменьшением длины волны. Но даже на самых малых длинах волн, используемых в ВАЦ, допустимая передаваемая мощность волновода на несколько порядков больше той, что обычно используется в ВАЦ. Так, при λ =0.2 см ( f =150 ГГц) предельная мощ-
ность основной волны PпредH10 5 кВт, а допустимая мощность PдопH10 = 0.2PпредH10 1 кВт, в то время как в ВАЦ, в зависимости от вида тестируемого устройства и режима измерения, используется мощность примерно от 10 мВт до нескольких Вт.
Затухание в прямоугольном волноводе
Хотя выше решение внутренней электродинамической задачи для прямоугольного волновода получено для простоты в предположении отсутствия потерь, в реальном волноводе потери, и следовательно, ослабление при передаче энергии, имеются, в первую очередь, за счет поглощения на стенках. Наименьшие потери имеют место при передаче энергии основной волной
H10 . Из (13.7.8), (13.5.1) можно найти для этой волны [13.1]:
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
αH10 |
= |
2RS |
[1+ |
2b |
( |
)2 ] / |
1− ( |
λ |
)2 . |
(13.7.19) |
||
|
|
|
|
|||||||||
м |
|
bZc |
|
a |
|
2a |
|
2a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом можно вывести формулы для коэффициента ослабления за счет потерь в металле для других типов волн.
Коаксиальная ЛП (коаксиал, основная волна, высшие волны и одноволновый режим, допустимая мощность, затухание, стандартное значение волнового сопротивления)
На практике используется почти исключительно круглая коаксиальная линия, или коаксиал, поперечное сечение которого показано на рис. 13.8.1. Это закрытая продольно-регулярная метал- ло-диэлектрическая двухсвязная ЛП. Пространство между внешним и внутренним проводниками, в котором распространяются волны, может быть заполнено воздухом или другим диэлектриком с параметрами ε и μ . При анализе будем считать, что проводники имеют бесконечную проводимость, а диэлектрик идеальный. Согласно 13.4, при этих условиях и вследствие двухсвязности, в коаксиале, кроме E -волн и H -волн, может распространяться и T -волна. Так как λTкр = ∞ , то в любой линии, в которой может распространяться T -волна, последняя является ос-
новной.
26

Поля в коаксиале
Конструктивно [13.7, 13.8] внутренний проводник коаксиала может быть сплошным, сплетенным из отдельных проволочек или трубчатым; выполнен из меди или биметаллической проволоки. Внешний проводник может быть в виде полой трубы (жесткий коаксиал), либо в виде оплетки из медной проволоки или ленты (гибкий коаксиал). В воздушных коаксиалах конструкция поддерживается с помощью диэлектрических шайб.
13.8.2. Структура T -волны, основной волны коаксиала
Введем цилиндрическую систему координат ( r, ϕ, z ), совместив ось Z с осью внутренне-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
го проводника (рис. 13.8.1). Сначала рассмотрим структуру T -волны. Ее векторы E и |
H пред- |
||||||||||||||||||
ставим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
& |
|
|
|
|
|
|
0 |
(r, ϕ) exp(−ikz), |
& |
& |
|
0 |
(r, ϕ) exp(−ikz) |
(13.8.1) |
|
||||
Em (r, ϕ, z) = E |
|
Hm (r, ϕ, r) = H |
|
|
|||||||||||||||
где векторы E0 (r, ϕ), |
H0 (r, ϕ) не имеют продольных составляющих. Применяя справедливый |
||||||||||||||||||
для T -волны квазистатический принцип (см. 13.4), можно найти комплексные амплитуды элек- |
|||||||||||||||||||
трического и магнитного полей в области r2 < r < r1 |
[13.1]: |
|
|
||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
I 0 Z |
c |
|
& |
|
|
I 0 |
|
|
||
|
Em (r, ϕ, z) = r0 |
2πr |
exp(−ikz), |
Hm (r, ϕ, z) = ϕ0 |
2πr |
exp(−ikz), |
(13.8.2) |
|
|||||||||||
где I 0 |
– |
ток, текущий по внутреннему проводнику; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r0 |
– |
единичный вектор вдоль радиуса; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
– характеристическое сопротивление свободной волны в непоглощающей среде, |
|||||||||||||||
Zc |
|
μ / ε |
|||||||||||||||||
имеющей те же ε, μ , что и диэлектрик данного коаксиала; |
|
|
|||||||||||||||||
k = βT = ω |
|
– коэффициент фазы (волновое число) в той же среде; |
|
|
|||||||||||||||
εμ |
|
|
|||||||||||||||||
ϕ0 |
– |
единичный вектор вдоль касательной к концентрической окружности. |
|
||||||||||||||||
В рамках данной физико-математической модели определить постоянную I 0 |
нельзя; для ее на- |
||||||||||||||||||
хождения требуются дополнительные данные об источнике. |
|
|
|||||||||||||||||
Как видно из (13.8.2), структура поля T -волны в сечении коаксиала соответствует рис. |
|||||||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|||
13.8.1: векторы Em |
электрического поля направлены вдоль радиуса, векторы Hm магнитного |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|

поля направлены по касательным к концентрическим окружностям. Заметим, что модули электрической и магнитной напряженностей поля в точке сечения линии обратно пропорциональны расстоянию r до центра, откуда следует, что передаваемая мощность на единицу площади сечения (плотность потока мощности) убывает к периферии сечения.
Как показано в 13.4, в T -волне любой ЛП коэффициент фазы bТ , фазовая скорость vф Т ,
длина волны в линии LТ и характеристическое сопротивление ZcТ те же самые, что в свобод-
ной волне, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде без потерь с теми же параметрами ε, μ , что в диэлектрике линии. Поэтому и для коаксиала остаются справедливыми формулы (13.4.3), (13.4.4), (13.4.5), (13.4.6). Что касается волнового сопротивления линии в режиме T -волны, то поскольку в этом режиме поле E0 , H0 в поперечном сечении имеет потенциальный характер, физически существуют ток и напряжение в коаксиале. Комплексная амплитуда тока в центральном проводнике:
I&m = I 0 exp(−ikz) , |
(13.8.3) |
а комплексная амплитуда разности потенциалов между центральным и внешним проводниками:
|
r1 |
I 0 Z |
c |
|
r |
|
& |
& |
|
|
1 |
|
|
Um |
= ∫ Emr dr = |
2p |
|
ln |
r2 |
×exp(-ikz) . |
|
r |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
Теперь волновое сопротивление коаксиала:
|
& |
|
Zc |
|
r1 |
|
|
μr |
|
|
r1 |
|
|
Z = |
Um |
= |
ln |
= 60 |
|
|
ln |
, |
|||||
I& |
2π |
r |
|
r |
|||||||||
в |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
r |
2 |
|
(13.8.4)
(13.8.5)
где mr , er – относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости.
Высшие волны коаксиала и одноволновый режим
Перейдем к E - и H -волнам. В этих случаях квазистатический принцип не действует и необходимо решать уравнения Гельмгольца (13.2.2) в соответствующих граничных условиях.
Зависимость от |
& |
и |
& |
z дается равенствами (13.2.3), поперечные составляющие векторов Em |
Hm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
, а двумерная краевая задача в сечении |
выражаются через продольные составляющие Em z , |
Hm z |
|||||||||||||
линии (13.2.4) в полярных координатах сечения принимает вид: |
||||||||||||||
1 ¶ |
|
¶Em0 z |
|
1 ¶2 Em0 z |
2 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
(r |
|
) + |
|
|
|
|
|
+ g Em z |
= 0 , |
(13.8.6) |
|
r ¶r |
¶r |
r |
2 |
|
¶j |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и аналогичное уравнение для Hm0 z . Эта задача решается методом разделения переменных при надлежащих граничных условиях на внешней поверхности внутреннего проводника и внутренней поверхности внешнего проводника. Решение выражается через функции Бесселя Jm (g r) и
Неймана Nm (g r) m -го порядка и их первые производные.
Из граничных условий для E -волн: |
E0 |
(r , ϕ) = 0, |
E0 |
(r , ϕ) = 0 |
можно вывести уравне- |
|
m z |
1 |
m z |
2 |
|
ние относительно γE [13.1, 13.3]: |
|
|
|
|
|
28
|
|
Jm (γ r2 ) |
= |
Nm (γ r2 ) |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Jm (γ r1 ) |
|
|
Nm (γ r1 ) |
|||||||
а из граничных условий для H -волн – уравнение для γH : |
||||||||||||
|
J ' |
(γ |
r ) |
= |
N ' |
(γ |
r ) |
|||||
|
|
m |
|
2 |
|
|
m |
|
2 |
. |
||
|
J ' |
(γ |
r ) |
|
N ' |
(γ |
r ) |
|||||
|
|
m |
|
1 |
|
|
m |
|
1 |
(13.8.7)
(13.8.8)
Эти уравнения трансцендентны и решаются численными методами. Анализ уравнений (13.8.7), (13.8.8) показывает, что при любом соотношении r1 и r2 первым высшим типом в коаксиале яв-
ляется волна H11 . Критическая длина волны для этого типа зависит от отношения r2 / r1 . Асим-
птотический анализ уравнения (13.8.8) показывает, что при r |
/ r → 0 |
λH11 |
→ 3.41r , а при |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
кр |
|
1 |
r |
/ r → 1 |
λH11 |
→ π(r + r ) . Обычно в качестве независимого от отношения r |
/ r значения кри- |
||||||
2 |
1 |
кр |
1 2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
тической длины волны приближенно принимают последний результат: |
|
|
||||||||
|
|
|
λH11 = π(r + r ) , |
|
|
(13.8.9) |
||||
|
|
|
кр |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
при этом ошибка этого равенства во всем диапазоне отношений r2 / r1 |
не превышает 10%. |
|||||||||
|
Таким образом, поскольку λT |
|
= ∞ , одноволновый режим в коаксиале будет для волн с |
|||||||
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
длиной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ > λH11 |
= π(r + r ) . |
|
|
(13.8.10) |
|||
|
|
|
кр |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Допустимая передаваемая мощность
Средняя за период мощность, переносимая T -волной по коаксиалу найдется как Подставляя сюда первую формулу из (13.8.2), получаем:
|
|
|
PT = |
πE |
2r |
|
|
r |
|
||||
|
|
|
|
0 |
2 |
ln |
1 |
, |
(13.8.12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ср |
|
Zc |
|
|
|
|
r2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
= |
I |
0 Z |
c |
|
|
|
(13.8.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2πr2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
– |
амплитуда напряженности электрического поля на поверхности внутреннего проводника, т. е. |
||||||||||||
наибольшее значение этой амплитуды в сечении линии; |
|||||||||||||
смысл I 0 и Z |
c |
дан в пояснении к (13.8.2). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку электрический пробой зависит от E0 , полезно найти такое соотношение между |
||||||||||||
r |
и r , при котором, при заданной |
PT |
, величина E |
будет минимальной. Это легко сделать с |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
ср |
|
|
|
|
0 |
|
помощью (13.8.12), оптимальное с точки зрения пробоя соотношение между r1 и r2 получается таким: ln(r1 / r2 ) = 0.5 , т. е.
29

r1 = |
e |
×r2 =1.648 ×r2 |
(13.8.14) |
При таком соотношении радиусов получается наибольшее значение предельной мощности, а волновое сопротивление коаксиала, согласно (13.8.5), получается
Zв = 30 |
mr / er |
, Ом. |
(13.8.15) |
Оценку значения предельной мощности волны для коаксиала следует провести для двух случаев [13.1].
1) Если роль диэлектрика выполняет воздух (воздушный коаксиал), тогда пробой возникает при E0 =30 кВ/см, для воздуха Zc = 120p , соотношение радиусов примем оптимальным, т. е. ln(r1 / r2 ) = 0.5 , в результате из (13.8.12) получаем:
Pпред = 3.75 ×103 ×r22 , кВт, |
(13.8.16) |
где r1 – в сантиметрах.
2) Если пространство между центральным и внешним проводниками заполнено полностью или частично диэлектриком, то, во-первых, возникает новый фактор – возможность теплового пробоя диэлектрика, во-вторых, в технологически неизбежных воздушных зазорах, порядка (10 – 100) мкм, между диэлектриком и центральным проводником напряженность электрического поля примерно в er выше, чем в самом диэлектрике. Поэтому во избежание пробоя воз-
душных зазоров следует принять
Pпред = 3.75 ×103 ×r12 / er2 . |
(13.8.17) |
Как аргументировано в 13.5, допустимую мощность следует принимать в несколько раз меньшей, чем предельная, например, Pдоп = (0.2...0.3)Pпред .
Затухание в коаксиале
Потери в коаксиале суть сумма потерь в диэлектрике и в металлических проводниках, так что коэффициент ослабления a = aд + aм . Существуют методы расчета и измерения тех и других потерь. На практике можно пользоваться следующими оценками [13.4]:
|
aд = 27.3 |
|
er |
tgd / l , |
(13.8.18) |
|||
|
|
|
|
(1+ r1 / r2 ) |
, |
|
||
aм |
= |
16.5RS |
er f |
(13.8.19) |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
r1 ln(r1 / r2 ) |
|
где tgδ – тангенс угла диэлектрических потерь;
f – частота колебаний в гигагерцах;
RS – активная часть поверхностного сопротивления проводника.
На волнах короче 10 см суммарный коэффициент ослабления коаксиала столь значителен, что применяют лишь короткие отрезки коаксиала.
Стандартное значение волнового сопротивления
30