Современные технологии и системы автоматизированного измерения на СВЧ

1) Как и при любом аппаратурном измерении, функции S(ω) и ϕS (ω) находятся с ошибками (случайными и систематическими), меры которых сами являются функциями частоты

Частотные функции мер ошибок зависят как от специфических свойств спектральных оценок [2.1], так и структуры спектроанализатора и его обработки сигналов. Если первым зависимостям посвящены многочисленные работы (в основном, на общетеоретическом уровне), то исследование вторых представляет обширное поле для деятельности, частично освоенное на частном, утилитарном уровне.

2) Если представление сигнала во временной области получается обратным преобра-

зависимостями с частотными функциями мер ошибок спектральных оценок (плюс ошибки численного расчета обратного преобразования Фурье).

Параллельный и последовательный анализ

Для целей аппаратного спектрального анализа необходим спектральный прибор, реагирующий на частоту колебаний. Поиск рабочих физических эффектов для создания спектральных приборов шел с 17 века, когда было открыто и начало использоваться спектральное разложение света призмой. Тем не менее, и в середине двадцатого века можно было всего лишь констатировать, что «в основе действия спектральных приборов лежит одно из следующих явлений: интерференция, преломление при наличии дисперсии, резонанс» [2.2]. В радиотехнике, в том числе на СВЧ давно победили методы спектрального анализа с помощью резонанса, то есть с использованием резонаторов.

Существует две принципиальные возможности аппаратного спектрального анализа с помощью резонаторов. Первый способ состоит в применении набора резонаторов, настроенных на различные частоты и подвергающихся одновременно воздействию исследуемого колебания; этот способ называется одновременным (параллельным) анализом. Второй способ предполагает применение одного резонатора с переменной настройкой (модификацию этого способа мы рассмотрим ниже); этот способ называется последовательным анализом.

На первый взгляд, параллельный анализ имеет ряд преимуществ перед последовательным. Во-первых, кажется очевидным, что параллельный анализ более быстрый, т.к. скорость перестройки резонатора в последовательном анализе ограничена искажениями, создаваемыми переходными процессами. Во-вторых, последовательный анализ кажется малопригодным при быстро протекающих, быстро изменяющихся, нестационарных процессах. В-третьих, кажутся трудными и малоэффективными процессы калибровки считывания настройки резонатора в каждый момент времени.

Однако, логика технического прогресса в данной области привела к почти полной победе последовательного анализа, по крайней мере, в универсальных спектроанализаторах (правда, после некоторой модификации), оставившего параллельному анализу только исключительные, редкие ситуации: спонтанные, непрогнозируемые, неповторяющиеся СВЧ-«вспышки» и т.п. Решающими факторами этой «победы» оказались гибкость, автоматизируемость и точность анализа.

Упомянутая модификация последовательного анализа состоит в том, что вместо плавной управляемой перестройки резонатора используется управляемый сдвиг спектра самого сигнала во времени. Это стало возможным благодаря применению супергетеродинирования, в результате которого селективные функции отделены от функций перестройки и выполняются на постоянной промежуточной частоте, что обеспечивает возможность прецизионного регулирования параметров частотной селекции (полосы, крутизны среза и т.п.). В технике спектрального анализа супер-

211

гетеродинный принцип сыграл столь же революционную роль, как и вообще в технике перестраиваемого приема сигналов.

На самом деле, техническое совершенствование как параллельного, так и последовательного анализа не является стратегической целью построения совершенного спектроанализатора будущего, именно потому, что эти методы опосредованы свойствами резонансной системы. Чтобы понять, к чему следует стремиться в аппаратном анализе сигнала, как ни парадоксально, необходимо отказаться от первого же утверждения, с которого мы начали данное изложение: что «… необходим спектральный прибор …». Действительно, как будет показано ниже, спектральный прибор, будь то резонатор или другая система, принципиально вносит свои искажения в получаемый продукт, отличающийся от желаемого спектра сигнала; более того, эти искажения бывает трудно учесть.

Стратегическая цель развития аппаратного анализа спектра должна основываться на непосредственной записи сигнала и выполнении численного преобразования Фурье от него (здесь мы для простоты обсуждения предполагаем детерминированный сигнал; спектральный анализ случайного сигнала будет рассмотрен позже). На языке сегодняшней цифровой техники сказанное означает оцифровку сигнала уже на сверхвысоких частотах и выполнение быстрого преобразо- вания Фурье (БПФ) от него. Достижение этой цели сдерживается лишь недостаточной скоростью АЦП. Например, приняв достаточным период отсчетов в 6 градусов фазы, потребуем 60 отсчетов на периоде синусоиды, что на частоте fs сигнала требует скорости АЦП 60 fs отсчетов в секунду

(о/с). При частоте fs =1 ГГц это означает 6 ×1010 о/с, при частоте 10 ГГц – 6 ×1011 о/с и т.д. Ясно,

что применительно к интересующему нас диапазону СВЧ такие скорости лежат далеко за пределами возможностей современных АЦП. Этот вывод не изменится, если мы ограничимся всего лишь 20 отсчетами на периоде синусоиды. Более того, достижение скоростей в 1011 – 1012 о/c и более, по-видимому, потребует изменений структурных элементов АЦП на технологическом уровне. В настоящее время оцифровка сигнала (с последующей цифровой обработкой) производится лишь в тракте последней промежуточной частоты, так что предыдущие аналоговые элементы фильтрации вносят свою лепту в искажения получаемой спектральной характеристики.

Текущий спектр

Пусть бесконечный по длительности сигнал воспринимается спектроанализатором по мере поступления и обрабатывается в реальном или почти реальном времени. В этих условиях вычисление прямого преобразования Фурье в бесконечных пределах невозможно по двум причинам:

во-первых, сигнал f (t) поступает на систему обработки лишь с некоторого конечного момента времени t0 ; во-вторых, он известен (поступал) лишь до текущего момента t . Приняв момент t0

за начало отсчета времени, мы констатируем, что в качестве спектральной характеристики сигнала вынуждены взять функцию частоты, задаваемую усеченным интегралом Фурье:

t

St (ω;t) = ∫ f (τ ) e−iω τ dτ .

0

Функция частоты St (ω;t) , параметрически зависящая от времени t , называется текущим спек-

тром сигнала f (t) .

Введение этого понятия учитывает один из важнейших аспектов реального измерения и уточняет цель аппаратного спектрального анализа сигнала: этой целью не может быть получение «истинного» спектра S (ω) ; максимум, на что можно рассчитывать, это текущий спектр St (ω;t) .

В связи с этим возникает ряд вопросов: при каких условиях и в каком смысле текущий спектр St (ω;t) сходится при t → ∞ к «истинному» спектру S (ω) ? Какова скорость этой сходимости?

Какова оценка ошибки текущего спектра St (ω;t) - S (ω) как функции времени? Рассмотрение

этих вопросов увело бы нас далеко в сторону от цели данной главы. Рассмотрим лишь простой пример.

212

то есть на каждой частоте ω мгновенный спектр равен приращению текущего спектра на интервале времени длиной T , предшествующем моменту наблюдения t . Предполагая, что функция текущего спектра St (ω, t) дифференцируема по аргументу t , при малых T можно это прираще-

ние выразить так:

Эту же приближенную формулу можно было получить сразу дифференцированием интеграла по параметру t в определении мгновенного спектра.

Кроме пояснения смысла мгновенного спектра, формула дает полезный рецепт для приближенной оценки верхней грани скорости изменения текущего спектра нестационарного сигнала на каждой частоте ω . Действительно, с одной стороны, из этого равенства следует:

∂St » ST ;

¶t T

с другой стороны, записав комплексный текущий спектр в виде

St (ω, t) = St (ω, t) eϕt (ω ,t )

и дифференцируя по t , получаем:

Взвешенный мгновенный спектр

Вернемся к определению мгновенного спектра. Данное выше определение было названо частной конструкцией. Более общее определение мгновенного спектра [2.2, 2.3] связано с конструкцией, в которой в интеграл Фурье вводится скользящая (связанная с текущим временем) весовая функция:

∞

Sr (ω, t) = ∫ r(τ - t) f (τ )e−iωτ dτ ;

−∞

получилась свертка функций r(t) и f (t)e−iω t . Такая конструкция имеет два достоинства: она удобна как в аналитических преобразованиях, так и в учете искажающего спектральный анализ действия реальных цепей. Назовем такую конструкцию взвешенным мгновенным спектром.

То что Sr (ω, t) – более общая конструкция мгновенного спектра, чем ST (ω, t) , видно из то-

го, что последняя есть частный случай первой при r(t) = H (t + T ) − H (t) , где

214

Важный частный пример весовой функции [2.3]:

r(t) = eα t H (−t), − ∞ < t < ∞ .

Эта функция учитывает прошлое процесса с весом, экспоненциально убывающим по мере удаления от момента наблюдения. Заметим, что H (−t) – обращенный единичный скачок:

1, при t ≤ 0. H (−t) =

0, при t > 0.

Такая весовая функция отражает влияние на спектральный анализ реальных цепей с однорелаксационным затуханием, например, резонансных фильтров первого порядка; параметр α учитывает скорость затухания.

Плотности мощности

Было бы привлекательно построить такую спектральную характеристику, которая служила бы временной плотностью некой интегральной характеристики, от которой она получалась бы дифференцированием по времени. Осуществлению этой идеи мешает комплексный характер «истинного» спектра и текущего спектра. Наиболее просто и удобно реализовать эту идею, взяв за основу не текущий спектр, и не амплитудный текущий спектр, а спектр мощности сигнала. Как показано в главе 6, спектральной характеристикой случайного процесса является спектраль-

ная плотность мощности (энергетический спектр), по определению являющийся средней мощ-

ностью на единицу полосы процесса. Аппаратную оценку этой характеристики дает величина, пропорциональная квадрату амплитудного спектра, полученного достаточно долгим усреднением по реализации процесса, то есть квадрату модуля текущего спектра. Замечательно, что эта оценка сохраняет свой смысл спектральной плотности мощности (но уже без добавления слова «средней») и для детерминированного сигнала. Удобно, что эта функция частоты не только действительна, но и всюду неотрицательна, а также связана простым интегральным соотношением с мощностью сигнала.

Итак, пусть по-прежнему St (ω;t) – текущий (комплексный) спектр сигнала, St (ω, t) – те-

гетическим спектром ( K – коэффициент с размерностью сек-1). Смысл Ft (ω, t) раскрывается равенством:

∞

1 ∫ F (ω, t) dω = f 2 (t) = P (t)

2π −∞ t t

(в правой части – мгновенная мощность сигнала). Оно означает, что Ft (ω, t) это спектральная плотность мгновенной мощности – мощность на единицу (циклической) частоты.

Полезно и поучительно контролировать размерности рассматриваемых величин. Пусть сигнал и все связанные с ним величины приведены к сопротивлению в 1 Ом, в такой системе мощность равна квадрату напряжения. Тогда размерности: [ f (t)] =В; [St ]=В/Гц; [Ft ] =В2/Гц=Вт/Гц.

Следуя Пейджу [2.4], введем такую всюду неотрицательную функцию частоты ω и времени t ρ (ω, t) (с размерностью Вт), что

t

∫ ρ (ω,τ ) dτ = Ft (ω, t) .

−∞

Дифференцируя это равенство по t , получаем:

ρ (ω, t) = ∂ F (ω, t) , ∂t t

215

а интегрируя его по ω , имеем

откуда следует, что ρ (ω, t) суть спектрально-временная плотность мощности сигнала.

Можно пойти дальше в образовании плотностей мощности. Пусть сигнал снимается с апертуры W . Тогда можно ввести такую всюду неотрицательную функцию частоты ω , точки на апертуре r и времени t φ (ω, r, t) , что

∫∫φ (ω, r, t) dr = ρ (ω, t) .

W

Какой спектр измеряет конкретный спектроанализатор?

Теперь, после рассмотрения различных спектральных характеристик, возникает вопрос: какую из них измеряет спектроанализатор? Конечно, точный и подробный ответ на этот вопрос возможен только после определения структуры СА, но принципиальную часть ответа возможно сформулировать уже сейчас.

Забегая вперед, будем иметь в виду СА последовательного типа (см. 2.1.2), с переносом спектра с помощью супергетеродинирования, гетеродин которого (первый, если их больше одного) суть синтезатор частоты (СЧ), последовательно генерирующий сетку частот с устанавливаемыми оператором или по умолчанию диапазоном и шагом перестройки.

Обозначим:

fmin , fmax – минимальная и максимальная частоты перестройки СЧ;

f – шаг перестройки СЧ;

N = ( fmax - fmin ) / Df – число частотных подынтервалов;

fk = fmin + k × Df , k = 0,1, 2,..., N – частотные точки;

tпер = tтех + tуст – время перестройки СЧ на следующую частотную точку;

tтех – технической время перестройки СЧ;

tуст – длительность переходных процессов при перестройке СЧ (время установления);

216

tразв = tточ ×(N +1) + tпер.раз – время, затрачиваемое на одну развертку частоты;

tпер.раз – время переключения на следующую развертку частоты.

находит оценку усеченного мгновенного спектра

tk +tст

S (ω, tk ;tст ) = S (ω, tk ;tст ) eiϕ (ω ,tk ;tст ) = ∫ f (τ ) e−iωτ dτ , 2π fk ≤ ω < 2π fk +1

tk

участка спектра шириной f . Если это скалярный СА, то он выдает в качестве результата лишь оценку амплитудного спектра:

S (ω, tk ;tст ) = A2 (ω, tk ;tст ) + B2 (ω, tk ;tст ) ,

где

Если же это векторный СА, то он выдает в качестве результата оценку комплексного спектра, скорее всего, в виде двух характеристик: амплитудного спектра S (ω, tk ;tст ) и фазового спектра

ϕ(ω, tk ;tст ) = arctg [B(ω, tk ;tст )/A(ω, tk ;tст )] .

Определим скважность спектрального анализа как отношение времени, затрачиваемого на одну развертку, к времени «стояния» на одной частотной точке:

Обычно N >> 1 и составляет несколько десятков или сотен, поэтому последним слагаемым справа можно пренебречь; если второе слагаемое в скобках много меньше единицы, то QCA » N +1 .

Итак, СА последовательного анализа измеряет мгновенный усеченный амплитудный спектр (или амплитудный и фазовый спектры) по графику, в котором:

–разные участки спектра разнесены по времени: минимально – на tточ tст , максимально –

на Ntточ Ntст ;

–анализ каждого участка спектра повторяется установленное оператором или по умолчанию число раз со скважностью N +1 .

Искажающее действие реального фильтра

Спектральный прибор принципиально вносит свои искажения в оценку спектра сигнала. На этом этапе изложения нет смысла проводить глубокий анализ этих искажений; мы ограничимся

217

простой демонстрацией присутствия искажений. Пусть на вход фильтра ПЧ с импульсной харак-

Если же для реального полосового фильтра с потерями с центральной частотой ω0 принять

fα (t) = eα (t −tk ) f (t) . В более общем случае реального полосового фильтра с центральной частотой

Разрешающая способность последовательного анализа

На протяжении веков применения спектрального анализа, сначала в оптике, а затем и в радиотехнике, центральным вопросом качества анализа был вопрос разрешающей способности анализа. Выражаясь современным языком, можно сказать, что «… разрешающая способность – важнейшая метрологическая характеристика (спектрального) анализатора» [2.2]. На этом этапе изложения мы лишь наметим общие контуры проблемы. Классический подход к этому вопросу состоит в следующем. В самом общем смысле под разрешающей способностью спектроанализатора понимается его способность разрешить (то есть «видеть» по отдельности) две соседние

218

спектральные линии в сигнале. В общем случае эти линии могут представлять собой локальные максимумы спектра с достаточно глубокими провалами вокруг этих максимумов, то есть иметь разные спектральные амплитуды и разные спектральные ширины. Мы сразу сузим задачу, предположив, что линии имеют бесконечно малую ширину и одинаковые амплитуды. Первое предположение на практике означает, что линии много уже полос фильтров анализатора, оба предположения – что мы хотим оценить предельное разрешение.

Количественной мерой разрешающей способности является наименьший частотный интервал (интервал разрешения) между двумя спектральными линиями, при котором они еще разрешаются спектроанализатором. Чем меньше интервал разрешения, тем лучше разрешающая способность. Но что значит «разрешаются» в точном математическом смысле? Об этом условимся чуть ниже.

Будем, как прежде, иметь в виду последовательный спектральный анализ. Сначала рассмотрим гипотетический СА с плавной перестройкой спектра, в котором дискретизации по частоте нет: спектр входного сигнала плавно (и очень медленно, чтобы результат анализа прямо не зависел от скорости перестройки) сдвигается путем непрерывного изменения частоты гетеродина. Для рассмотрения данной задачи удобно считать, что сдвигается не спектр, а анализирующий фильтр плавно перестраивается, не меняя ни формы АЧХ, ни ее ширины.

Сначала предположим, что в спектре входного сигнала имеется одна спектральная линия с частотой f1 . По мере перестройки фильтра амплитуда выходного сигнала фильтра описывает кривую в функции времени, совпадающую с АЧХ как функцией частоты. При совпадении резонансной частоты фильтра с f1 кривая достигает максимума.

Пусть теперь в спектре входного сигнала имеются две спектральные линии f1 и f2 одина-

ковой интенсивности. В резонаторе фильтра теперь одновременно существуют колебания двух частот и происходят биения с частотой fB = f1 − f2 . Амплитуда сложного выходного колебания теперь не постоянна, а периодична с периодом TB = 1/ fB , повторяя с этим периодом свое наи-

большее значение, равное сумме выходных амплитуд обеих спектральных составляющих. Поскольку перестройка резонатора происходит очень медленно, можно регистрировать эту сумму как амплитуду выходного сигнала. Каждая из выходных амплитуд отдельных линий повторяет одногорбую кривую, рассмотренную выше, максимумы кривых отстоят друг от друга на

fB = f1 − f2 . При достаточно большом fB суммарная кривая имеет провал (локальный минимум)

на средней частоте fS = ( f1 + f2 ) / 2 и «горбы» (локальные максимумы) на частотах f1 и f2 . Если теперь сближать частоты f1 и f2 , то выраженность провала уменьшается, затем исчезает вовсе,

затем в точке fS образуется максимум, а локальные максимумы в точках f1 и f2 исчезают.

Теперь мы готовы дать математическое определение термину «разрешается». Это можно сделать по-разному. Наиболее простое и удобное определение таково: линии разрешаются, если частотное расстояние между ними больше или равно частотному интервалу разрешения, который, в свою очередь, равен такой fB = f1 − f2 , при которой отношение амплитуды y0 в провале

к амплитуде ymax максимумов равно заданному числу:

y0 = q < 1 .

ymax

Это уравнение можно, в принципе, решить относительно fB , если задать АЧХ конкретного фильтра. Например, для простого резонансного контура с добротностью Q , относительная АЧХ которого:

219