Системотехника. Проектирование радиотехнических систем

При по ступлении на вход кодера каждого инфор мационного символа U i

Вх

Вых

M

мультиплексор Рис. 2.7. Кодирующее устройство сверточного кода в общем виде

М по следовательно считывает за один такт сигналы с выходов всех сумматоров по модулю 2, формируя на выходе m символов V i . Таким образом, при скоро сти входной по следовательно сти В в х бит/ с скоро сть выходной по следовательности со ст авляет Вв ы х =mВв х бит/с.

Для представления связей между ячейками регистра сдвига и сумматорами, использует ся следую щий прием: каждый сумматор

описывает ся порождающим (образующим, формир ующим) полиномом [2]:

Степени полинома соответ ствуют номерам ячеек регистра сдвига (слева направо), с которыми j -й сумматор имеет связь. Например, в радиоканалах подвижной связи стандарт а GSM (Глобальная система подвижной связи)

используются сверточные кодеры с N=5 и порождающими полиномами [2]:

не систематиче ским (неразделимым ). Для систематиче ского кода один из полиномов gj должен быть равен 1 (g j =1).

Тогда на выходе соответ ствующего сумматора мы имеем входн ую информационн ую последовательность , а кодовая последовательность на выходе кодера являет ся разделимой на информаци онные и (добавленные)

проверочные символы. При использовании в декодере алгоритма Витерби предпочтение отдается несистематиче ским кодам.

Каждый информационный символ находится в регистре сдвига в течение

N т актов и влияет на N*m передаваемых символов V i . Величина N

51

называет ся памятью сверточного кода. В общем случае число символов на выходе сверточного кодера, соответ ствующее передаче информационной последовательности длиной L символов со ст авляет [2]:

m – число выходов, то е сть число сумматоров.

На практике чаще все го используют ся коды со скоро стью R=1/2.

Несмот ря на большую избыточно сть сверточные коды очень широко применяются в современных системах передачи данных, благодаря хорошим корректирующим свойствам.

Алгоритмы декодирования сверточных кодов

Классификация алгоритмов декодирования

При оптимальной обработке с целью выне сения решения принятую из канала последовательность символов необходимо сопо ст авить со всеми возможными передаваемыми последовательностями. Так как число возможных последовательно стей длины N двоичного кода равно 2 N , то при больших длинах последовательностей декодер ст ановится недоп устимо сложным (экспоненциальная сложно сть декодирования), а оптимальное декодирование – практиче ски трудно реализуемым. Однако, именно при больших N возможно значител ьное повышение надежно сти передачи, т ак как действие шума усредняет ся на длинной по следовательно сти. Поэтому важной является проблема снижения сложно сти алгоритмов декодирования сверточных кодов .

Изве стны две группы методов декодирования сверточных кодов:

1. Алгебраические методы декодирования

Основаны на использовании алгебраиче ских свойств кодовых последовательностей. В ряде случаев эти методы приводят к про стым реализациям кодека. Такие алгоритмы являют ся неоптимальными , т ак как используемые алгебраически е процедуры декодирования предназначены для исправления конкретных (и не всех ) конфигураций ошибок в канале.

Алгебраиче ские методы отожде ствляют с поэлементным приемом

52

последовательностей, который для кодов с избыточно стью, как изве стно,

дает худшие результ аты, чем «прием в целом ». Наиболее про стым из алгебраиче ских алгоритмов являет ся алгоритм порогового декодирования

сверточных кодов. Этот алгоритм далек от оптимального и поэтому редко использует ся, а использует ся, в первую очередь, в системах с высокой скоро стью передачи информации [3].

2. Вероятностные методы декодирования

Вероятностные методы декодирования значительно ближе к оптимальному «приему в целом », т ак как в этом случае декодер оперирует с величинами , пропорциональными апо стериорным вероятно стям, оценивает и сравнивает вероятности различных гипотез и на этой основе выно сит решения о передаваемых символах.

Алгебраиче ские алгоритмы оперируют с конечным алфавитом входных данных, для получения которых на выходе непрерывного канала необходимо выполнить квантование принимаемого сигнала с шумом . Проце ссы обработки сигналов в решающем устройстве на выходе демодулятора противоположных сигналов показаны на рисунке 2 [3].

Впро стейшем случае производят квантование каждого канального

символа в от счетный момент времени на два уровня (имен уемое, как

«же сткое решение » на выходе демодулятора). При же стком решении число уровней квантования L = 2. При этом же сткое решение предст авлено одним двоичным символом. Это показано на рисунке 2, б ).

При «мягком решении » рисунок 2, г) число уровней квантования L > 2.

При мягком решении выход квантователя более точно описывает величин у от счет а сигнала с помехой , что повышает помехоустойчиво сть декодирования.

Изве стны два о сновных вероятностных алгоритма декодирования сверточных кодов, а также их различные модификации

53

о снованный на принципе динамиче ского программирования, и изве стный как «Алгоритм Витерби ».

Принцип динамиче ского программирования был сформулирован в 1940 г.

Р. Беллманом. С тех пор он нашел широкое прилож ение в теории управления и теории цепей. В 1970 г. динамиче ское программирование, в форме алгоритма декодирования сверточных кодов ( алгоритма Витерби ), было применено А. Витерби к проблемам телекоммуникации [4].

2.2 Алгоритм Витерби находит широкое применение и реализует поиск максимально правдоподобного п ути на кодовой решетке с отбрасыванием части части наименее правдоподобных вариантов п утей на каждом шаге декодирования. Алгоритм Витерби характеризует ся постоянством вычислительной работы, однако сложно сть декодера Витерби растет, как при всех переборных алгоритмах, по экспоненциальному закон у от длины кодового ограничения сверточного кода . Поэтому алгоритм Витерби использует ся для декодирования коротких сверточных кодов [5].

Алгоритм Витерби для декодирования сверточных кодов

Рассмотрим алгоритм Витерби на примере кода со скоро стью Rкод = 1/n.

Со стояние кодера в момент t определяют как набор из w

Решетчат ая диаграмма кода однозначно связывает информационн ую последовательность aL , последовательно сть со стояний кодера wL и

последовательность символов на его выходе b L .

Каждой вет ви bt в канале соответ ствует сигнал, который может быть предст авлен набором координат [2]:

где N – размерно сть про ст ранства сигналов.

55

Доп устим, что в канале действует аддитивная по меха. Тогда поступающая на вход декодера по следовательно сть принимаемого сигнала

Декодирование состоит в п ро слеживании по кодовой решетке п ути с максимальной апо стериорной вероятно стью.

Декодированный п уть можно указать одним из спо собов:

–набором оценок кодовых ветвей S L = (S0 , S1 , ..., S L – 1 ), составляющих

путь;

–по следовательно стью оценок со стояний кодера W L = (w0 , w1 , …., wL – 1 );

–по следовательно стью оценок информационных символов на входе кодера AL = (a0 , a1 , …, aL – 1 ), которые совпадают с первыми символами

оценок со стояний S = (s0 , s1 , …,st - ν + 1 ).

По следовательно сть XL будет декодирована с минимальной вероятно стью ошибки , е сли из всех возможных путей выбрать оценку S L , для которой максимальна апо стериорная вероятность P(S L /XL ). Передачу всех вариантов

декодированию по критерию максимума правдоподобия, когда выбирает ся оценка S L , обе спечивающая выполнение условия P(S L /XL ) = max. В канале без памяти условная вероятно сть P(S L /X L ) пропорциональна произведению условных плотно стей суммы сигнала и помехи [2]:

В гауссовском канале при действии белого шума с одно сторонней спектральной плотностью мощно сти N0 каждый сомножитель э того произведения имеет вид:

t =0 i=0

Выражение которая называет ся метрикой декодированного пути . Метрика пути содержит в каче стве слагаемых метрики ветвей [4]:

i-1

Вгауссовском канале мет рика ветви пропорциональна квадрат у Евклидова расстояния между вектором принимаемой суммы сигнала и помехи Xt и вектором сигнала St , соответ ствующего ветви кода At . В

дискретном канале для оценки расстояний используют мет рику Хемминга .

Периодиче ская структура решетч атой диаграммы суще ственно упрощает сравнение и выбор путей в соответ ствии с правилами декодирования. Число состояний на решетке ограничено, и два наугад выбранных дост аточно длинных пути имеют, как правило, общие состояния. Отрезки п утей,

входящих в т акие состояния, необходимо сравнить и выбрать п уть с наименьшей метрикой. Такой п уть называет ся выжившим. В соответ ствии с алгоритмом Витерби такое сравнение и отбрасывание от резков п утей производит ся периодиче ски, на каждом шаге декодирования .

Рассмотрим декодирование кода (7;5), символы которого передают ся по

дискретному каналу (см. рисунок 2.7 ) [5] .

Вэтом случае мет рика ветви (МВ) равна расстоянию Хемминга межд у набором символов ( Х( 1 ) Х( 2 ) ) на входе декодера и набором символов (S ( 1 ) S( 2 ) ),

соответ ствующих д анной ветви на решетчатой диаграмме. Если

(Х( 1 ) Х( 2 ) )=(01), то значения МВ для кода (7;5) с решеткой , изображенной на рисунок 3, а) будут равны МВ(00) = 1, МВ(01) = 0, МВ(11) = 1 и МВ(10) = 2 .

57

58

Метрика п ути (МП) есть сум ма мет рик ветвей, образующих некоторый путь на решетчатой диаграмме. Путь конечной длины оканчивает ся в определенном со стоянии. Мет рика со стояния (МС ) равна метрике п ути,

который заканчивается в данном со стоянии.

Шаг декодирования состоит в обработке декод ером принимаемых из

канала данных в интервале между двумя со седними отсчет ами .

На рисунке 3 б ) ...ж) показано развитие проце сса декодирования символов сверточного кода со скоро стью Rкод = 1/2 и длиной кодирующего

(…11,10,00,11,01...) (декодирование с же стким решением). Цифрами около ветвей обозначены метрики ветвей, цифры в кружках обозначают мет рики состояний.

В начальный момент времени полагаем, что декодер находится в

состоянии 00 и исходная метрика этого состояния МС (00) = 0 (рисунок 3 а)).

Если из канала по ступили символы 11, то мет рики ветвей 00 и 11,

выходящих из этого со стояния, будут МВ(00) = 2 и МВ(11) = 0. Это отмечено на первом шаге декодирования. Так как других ветвей , выходящ их

из со стояний 00 и 11, нет, то мет рики этих со стояний принимаются равными метриками входящих ветвей МС (00) = 2 и МС(10) = 2. Аналогичная картина имеет ме сто и на следующем шаге декодирования, когда из канала по ступает пара символов (10). Зде сь МВ(00) = 1, МВ(11) = 1, МВ(10) = 0 и МВ(01) = 2.

Метрики со стояний на этом шаге определяют ся теперь как суммы мет рик

входящих ветвей с метриками предыдущих состояний: МС(00) = 2+1 = 3;

МС(10) = 2+1 =3; МС(01) = 0+0 = 0 и МС(11) = 0+2 = 2.

На этом проце сс развития р ешетчатой диаграммы для данного кода заканчивает ся.

Алгоритм заключается в повторении одного о сновного шага . На каждой из последующих диаграмм рисунок 3 этот шаг изображен подробно. К

началу i-го шага в памяти декодера хранят ся мет рики со стояний,

вычислен ных на предыдущем эт апе:

МСi - 1 (00), МСi - 1 (10), МСi - 1 (01), МСi - 1

(2.28)

По принятым канальным символам производит ся вычисление метрик

60