Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1 Теория сигналов и линейные цепи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

110

Втаблице5стр.1вкомпактной116)( формеедставленысвойства преобразованийЛапласа.

5.Интегрирование2.9 изображения

Нетрудпоказать,чтоинтегрированиюизобра			t .
делениеориг	иналапараметр		t .
	∞				s(t )
	L−	∫S (z )dz		=	s(t )	.
	L−	∫S (z )dz		=		.
					t
	p

Однако,применятьэтоправиломожнолишьтомслучае,еслиориг
наломявляетсянетолькофункция	s(t ),ноифункция
lim	s(t )	≠ ∞.
lim	t	≠ ∞.
t →+0	t

жениясоответствует

(5.27)

и-

s(t ) ,т.е. t

5.Свертка2.10оригиналов

∞ t

L+[s (t ) s (t )]=

s (τ )s (t −τ )dτe− pt dt =

∫∫ 1

∞

0 0

s (t −τ )e− pt dtdτ =S

s (τ )e− pτ dτ ,

∫

s (τ )

∫

( p)

∫

S2 ( p)e− pτ

S1( p) при t → ∞

L+ [s1(t ) s2 (t )]= L+[s2 (t ) s1(t )]= S1( p)S2 ( p).

(5.28)

5.Свертка2.11ориг,одинкоторыхзналовявляетсяпроизво

дной

Полагая

s1(t ) = s(t ),

s2 (t ) = hʹ(t ),получим

∞ t

L+[s(t ) hʹ(t )]= ∫∫s(τ )hʹ(t −τ )dτe− pt dt =

0 0

t∞

=∫s(τ )∫hʹ(t −τ )e− pt dtdτ =S ( p)[pH ( p) − h(0)].

0	0
	[pH ( p) − h(0)]e− pτ
Дифференцисворачиваемыхаодногоиз игиналовие		h(t ) приво-

диткследующимпреобравобластизо:браженийваниям

111

	L+[s(t ) hʹ(t )]= pH ( p)S ( p) − h(0)S ( p),где		h(0) = lim	h(t ).	(5.29)
			t →+0		(5.29)
Выполнивдиффе		ренцироввтор, гаиналаониейдм	t →+0
Выполнивдиффе		ренцироввтор, гаиналаониейдм
	L+ [sʹ(t) h(t)]= pH( p)S( p) − s(0)H( p) ,где		s(0) = lim	s(t ) .	(5.30)
			t →+0		(5.30)
			t →+0
Обращаемвниманиенаодинслагаемыековые			pH ( p)S ( p) ввыраж е-
ниях(5.(529)и,учитываякоммута.30) свер,получимчетыреивностьки
формыз	аписиназываемые, формуламиДюамеля:
		t

L−[pH ( p)S ( p)]=

5.Предельные2.12соотнош ния

h(0)s(t ) + ∫s(τ )hʹ(t −τ )dτ ,

0 t

h(0)s(t ) + ∫s(t −τ )hʹ(τ )dτ ,

0 t

s(0)h(t ) + ∫sʹ(τ )h(t −τ )dτ ,

0 t

s(0)h(t ) + ∫sʹ(t −τ )h(τ )dτ .

ʹ				L	+	[	]	= pH( p) − h(0).
Если h(t ) и h (t )−оригиналы,то				L		hʹ(t)		= pH( p) − h(0).
Применяядляанализаизобпражений						p → ∞ свойство(5пол.14),
lim + [hʹ(t)] = lim[pH ( p) − h(0)] = 0. Откуследаует
p→∞	p→∞
	lim pH ( p) = lim h(t);
	p→∞			t →+0
Переходякпределупри			p → 0, найдем
		∞
		∫ hʹ(t)e− pt dt = lim[pH ( p) − h(0)],
	lim	∫ hʹ(t)e− pt dt = lim[pH ( p) − h(0)],
lim L[hʹ(t)] =	p→0	0				p→0
p→0	∞
	∫ hʹ(t) lim e− pt dt = lim[h(t) − h(0)].
			p→0			t→∞
	0
Сравниваяпрачастивыражения(5нетруд.33),установить
	lim pH ( p) = lim h(t ).
	p→0			t →∞

(5.31)

учим

(5.32)

(5.33)

(5.34)

112

5Обратное.3 преобразованиеЛапласа
Впроцессепереходаот образованийФукпреобразованиямье
Лапласабыло	получесоотдляобратношепреобразовнЛапласиеого. ания				c+ j∞
				1	c+ j∞
		s(t ) = L−[S ( p)]=		1	∫S ( p)e pt dp.
		s(t ) = L−[S ( p)]=		2πj	∫S ( p)e pt dp.
				2πj	c− j∞
					c− j∞
Спомощьюэтогоинтрезадачугршвосстановленияютлаоригинала
s(t ) поизвестномуизображению			S ( p) .Напракприотысканииикеориг			и-
наловобращаютсяктаблицам,связывающимор изображениягиналы,
например,ктаблице5стр.3130)Либо(модел.ориигиналзрумеютщихся
функций.Дляэтогостараютсяпреобразоватьподынтегральноевыражение
так,чтоможнобыиспользоватьужеизвес					тныеинтегралы.Самый	с-
пространенныйпуть		– этопредставлениеизображения			S ( p) ввидеряда

∞

S ( p) = ∑S n ( p),

n=0

сходящегвнекотполуплоскостиройся

Re( p) > c0

1)Рассмотримпервыйслучай

− разлппонижающимжениес

∞

S ( p) =

+ ........

+ ........ = ∑

pn+1

n=0 pn+1

Еслиформальновыполнереходк и,тополучимтьгиналуряд

s(t ) = a σ (t ) +

σ (t ) +

t2σ (t ) + ...... +

an−1

n−1

∞

σ (t ) +

σ (t ) + ....... = ∑

σ (t )

(n −1)!

n=0

Сопоставляячленырядов(5и.(535)между.36)собойииспользуясво стводиффеоригинаенцирования лов,получимвыражениедляопределения n−слагаемогоряда(5.36)

−

∞

[S(p)]= ∑

σ (t)

n=0

−

d n

(ane

lim

) =

n! p→0

dpn

ann! t nσ (t ).

2)Рассмотримвторойслучай

− разложениеизображения

тепеням p

(5.35)

(5.36)

й-

(5.37)

(5.38)

S ( p) начас т-

ныедроби.

113

Изображение S ( p) предробноставляет

-рациональнуюфункцию

вида

+ a p2

A( p)

+ a p

+ ........ + a

S ( p)

(5.39)

B( p)

b0 + b1 p + a2 p2 + ........ + bn pn

Причем,степеньполинома

B( p)

большестепполиномани

A( p),

т.е. n > m .

Полином B( p) имееткорни

p1, p2 ,...., pi

какпростые,такикратные

(илиможносказать,чтоизображение

S ( p)

имеетполюкрапроистые

т-

ные)Рассмотрим. случайпростыхкорней.

A( p)

S ( p) =

( p − p )( p − p ).......( p − p )

(5.40)

An−1

+ ...... +

p − p

n−1

где p1, p2 ,...., pn - простыекорни

B( p);

A1, A2 ,... , An - наборко, стантазыв

аемыхвычетами.

Изобра(5можно.40)поставитьениюответствиеоригинал

s(t ) = A1e p1tσ(t ) + A2e p2tσ(t ) + ..... + Ane pntσ(t ) .

(5.41)

Извыражения(5м.40)ожнопределитьлюбойизкоэффициентов

An .

Умножаяправуюилевуючасти(5наскобку.40)

( p − pn )ипереходяк

пределупри

p → pn ,получим

lim

[S ( p)( p − p

)]=

lim

p − pn

+ A

p − pn

+ ..... + A

+ ....

p→ p

p − p

2 p − p

A( p)

= S ( p)( p − p )

( p − p )

(5.42)

p= pn

B( p)

p= pn

Нетруднопоказать,чтоум скобкуожение(

p ,аименно:

p − pn )эквивалентно

дифференцированиюзнаменателяпо

An =

A( p)

p = pn

(5.43)

Bʹ( p)

Сопоставляячленырядов(5и.(540)между.41)собойиучитывая(5.42),

получимвыражениедляопределения

n−слагаемогоряда(5.40).

−

lim

[

−

pt ]

(5.44)

p − p

p→ p

Учитывая(5преобразуем.43),(5к.44)

виду

114

L−

A( p)

e pt σ (t )

ʹ( p)

p = pn

− pn B

3)Рассмотримтретийслучай

− разложениеизобск кортнымиий

S( p) =

H1( p)

( p − p )k1

( p − p

)k2 .......( p − p

)kn

A3 ( p)

A1( p)

A2 ( p)

+ ....... +

( p − p )k1

( p − p

)k2

( p − p

)k3

Проводярассуждения,аналогичныепредыдущим,такжеучитывая, чтодифференцированиеизобп кажуводл тй менателя,получимд юбосларядагаемого(5.46)

An ( p) . ( p − pn )kn

ичениюстепенизн

(5.45)

ями.

(5.46)

а-

−

A ( p)

d k −1

lim

[S( p)( p − pn ) e

(5.47)

( p − pn )

k −1

(k −1)! p→pn

Выраженявляется(5.47)наиоб,..щимолеевключаетформулы(5.38)

вычетом Re s

и и(5(5.как4ча.45),случаитныеазывается

функции

S ( p)e pt вособойточке

p = p

.Дляопределеоригипоизвестномуалаия

l ,кол и-

изображениюдостнайтисуммуточновычетвовсехточкахвбых

чествокоторыхзависитчислаполюсовкратн(

ыхинекра

тных)

l	l	1		d	k −1
s(t) = ∑ Re si	[S( p)e pt ]= ∑		lim			[S( p)( p − pl )k e pt ].
				dpk −1
i=1	i=1	(k −1)! p→ pl

Втаблице5стр.2118)приведены( формулыДюамелярамулы ложенизображенийя.

5Прим.4 преобразнениеЛапласак общеннымваний функциям

ПрименимпрямпреобразовЛапласк ание	δ − функциямеепр
изводным.Испофильтрующеесвойствозуя	δ − функций,получим:
	∞

L [δ (t )]= ∫δ (t )e− pt dt =1;

∞

L [δ ʹ(t )]= ∫δ ʹ(t )e− pt dt =p ;

∞

L [δ (n) (t )]= ∫δ (n) (t )e− pt dt =pn.

(5.48)

з-

о-

(5.49)

115

Хотелосьбыобратитьвниманиенаполучедельтафуниекци			йиих
производныхрезультатеприменеобратпреобразовнЛапласияого. ания		F ( p) представляетсобойнеправильную
Пустьнекотораяфункция			F ( p) необ-
дробь.Причем,	lim F ( p) = M ( p) (анену),следовательноюиз
ходимовыдцелчасуюить	p→∞	M ( p) путемделенполчиномаслителя

A( p) наполиномзнаменателя		B( p).
	F ( p) = M ( p) + S ( p),

L−[F ( p)]= L−[M ( p)]+ L−[S ( p)].

Еслицелаячасть	M ( p) равнапо			стояннойвеличине	M 0 ,то:
		1	c+ j∞
	L−[M0 ]=	1	∫M0e pt dp = M0δ (t) .
	L−[M0 ]=	2πj	∫M0e pt dp = M0δ (t) .
		2πj	c− j∞
			c− j∞
Еслицелаячасть	M ( p) представляетсобойполиномповышающихся
степеней p ,то:
	M ( p) = M 0 + M1p + M 2 p2 + .......
L− [M ( p)] = M0δ (t) + M1δ ʹ(t) + M 2δ ʹʹ(t) +......
5Анализ.5связимеждупреобразовЛапласаниями
ипр	еобразованиямиФурье

(5.50)

(5.51)

ПреобразованияЛапласаявляютсяобобщениямипреобразований

Фурье,следоваспектральнуюплотельсигналаость	s(t ) можнополучить
изобрпоЛапласужения	S ( p) .

ЕслиизобрпоЛапласужение

лю,илиполюсов,реальнчастькоторыхравнанулюя, оригиналявляется абсолютноинтегрируемойфункцией.Его бытьнайденаизобрпоЛапласужений

S (ω) = S ( p = jω ) (смотритаблицы5.54.5).

Еслиизображенлежащиесодержпо, юсат искусствсместитьихвлзаменойвоннопараметра

тикспектральнойплотности,полагая

спектральнуюплотнонадейств пределувкаждомизнихотдельнопри

S ( p) несодеполюсовравных, жит		у-
спектральнаяплотносможе	p на jω ,т.е.
S ( p) путемзамены	p на jω ,т.е.
намнимойоси,можно
p на p + α .Затемпере		й-
p = jω .Далееразделитьполученную

ительнуюмнимуючастиперейтик

α → 0.

Таблица5.1

– СвойствапреобразовЛапласаний

Преобразованиеригиналов

Преобразованиеизображений

Прямпреобразование

∞

S(p)

Получение

∫ s(t)e− pt dt

Лапласа

изображения

c + j∞

Обратное

Получениеоригинала

s(t )

∫ S(p)e pt dp

преобразование

2πj

c − j∞

Лапласа

Слоригиналовжение

as1(t)+ bs2 (t)

aS1(p)+ bS2 (p)

Сложениеизображений

Изменениеасштаба

комплекснойча

стоты

времени

s(αt)

sʹ(t)

pS(p)− s(0+ )

Умножение

Дифференцирование

sʹʹ(t)

p2S(p)− p s(0+ )− sʹ(0+ )

изображенияна

оригинала

S(p) −

n−k

(k −1)

(0+ )

при

(k −1)

(0+ ) = 0

s(n)(t)

∑ p

k =1

116

	Интегрирование		t			S(p)	Делениеизображения
6	Интегрирование		∫ s(τ )dτ			S(p)	Делениеизображения
6	оригинала		∫ s(τ )dτ			p	на p
	оригинала		0			p	на p
			0

7	Умножениеинтеграла		− ts(t)			ʹ	Дифференцирование
7	на − t		− ts(t)		S (p)		изображения
	на − t						изображения

				s(t)	∞		Интегрирование
8	Делеоригиналаие	t		s(t)	∫ S(u)du		Интегрирование
8	Делеоригиналаие	t		t	∫ S(u)du		изображения
				t	p		изображения

	Теоремасдвига		s(t −τ )		S(p) e− pτ		Умножение	e− pt
9	Теоремасдвига						изображенияна
9	оригиналавовремени						изображенияна
	оригиналавовремени
									117
10	Умножениеоригинала		s(t)e−αt		S(p +α)		Заменааргумента	р на	117
	Умножениеоригинала						Заменааргумента	р на
	на e−αt						(p + α)
	на e−αt						(p + α)
			t		S1(p) S2 (p)
			∫ s1(τ )s2 (t −τ )dτ		S1(p) S2 (p)
	Сверткадвух		∫ s1(τ )s2 (t −τ )dτ				Умножение
11	Сверткадвух		0				Умножение
11	оригиналов		t				изображений
	оригиналов		t				изображений
			∫ s1(τ −τ )s2 (t)dτ		S1(p) S2 (p)
			0

Таблица5.2

– ФормулыДюамеляифоразложениямулы

+∞

ПрямпреоЛапласебразование

H (p)= ∫ h(t ) e− pt dt

S(p)= ∫ s(t ) e− pt dt

c+ j∞

c + j∞

ОбратноепреобразовЛапласание

h(t) =

∫ H (p) e ptdp

s(t )=

∫ S(p) e pt dp

2πj

c − j∞

Предельныесоотношения

h(0+ ) = lim

pH (p)

h(∞) = lim pH (p)

p→∞

p→0

L−[pS(p)H (p)]= s(0)h(t)+ ∫ sʹ(τ )h(t −τ )dτ

118

L−[pS(p)H (p)]= s(0)h(t)+ ∫ h(τ )sʹ(t −τ )dτ

ФормулыДюамеля

L−[pS(p)H (p)]= s(t)h(0)+ ∫ s(τ )hʹ(t −τ )dτ

L−[pS(p)H (p)]= s(t)h(0)+ ∫ hʹ(τ )s(t −τ )dτ

Формулыразложения:

− A(p)

A(p)

(p −

pk )e

1)случай простыхкорней

= ∑

= ∑ lim

B(p) k =1 Bʹ(p)

k =1 p→ pk B(p)

2)случайкратныхкорней

A(p)

d m−1

A(p)

)m e pt

L−

lim

(p − p

∑

m−1

B(p) k =1(m − 1)! p→ pk dp

B(p)

	119
1) Рассмотримизображениеединискачногока		S1( p) =	1	.И зображение
1) Рассмотримизображениеединискачногока		S1( p) =	p	.И зображение
			p
S1( p) содержитодинполюс	p1,лежнмнимойащийоси	p1 = 0 .Сместимп			о-
люсвлт,.е.рассмотримвоизображение	S 2 ( p) .

S2 ( p) = S1( p + α ) или S2 ( p) = 1 ,где

Опредеспектральнуюимотнпоизображениюсть	p +α

щеннымполюсом.		1
S2	(ω) =
		α + jω

S1( p) = lim S2 ( p).

α →0

S 2 ( p) сосм е-

Разделим S 2 (ω ) надействительнуюмнимуючастиперейдемкпр

е-

делупри α → 0.

S2 (ω ) = Re S (ω ) + j Im S (ω ) =

− j

2 + ω2

α2 + ω

lim Re S (ω ) = lim

0 , ω ≠ 0

,т.к.

2 + ω2

π δ (ω)

, ω = 0

α →0

α →0 α

∞

∫

dω = ∫

= arctg

= π .

2 + ω2

−∞

−∞1

− ∞

lim Im S (ω ) = − lim

= −

2 + ω2

α →0

α →0 α

Такимобразом,спектральнаяплотнисхсигостьединичногоого( ала

скачка)равна:

S (ω) =πδ (ω) − j

=πδ (ω) +

jω

2)Рассмотримизображелинарастающейфункцииоие

L+[tσ (t)]=	1	.Изображениесодержитодинполюс		p1 = 0 скратностьюп	о-
	p2

люса,равной2Сместим. п		олюсвлево.	1
		S2 ( p) =		.
			( p + α )2

Выползаменупеременныхяя			p = jω ,определимспектральнуюпло		т-
ность.Раздспелимктральнуюплотнонадействительнуюмнимуючасти
и, переходякпределупри		α → 0,получим:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]