Методология системотехнического проектирования электронных и радиоэлектронных средств (в двух частях)

которые, как отмечалось выше, могут быть непрерывными или дискретными, детерминированными или случайными. Подобным же образом должна быть указана об-

ласть Dвых допустимых выходных сигналов.

Математической моделью системы называют совокупность системного оператора Т и двух областей допустимых сигналов Dвх, Dвых .

Классификацию систем проводят на основании существенных свойств их математических моделей.

Стационарные и нестационарные системы. Принято говорить, что система стационарна, если её выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. ЕслиТ –оператор стационарной системы, тоизравенства (3.4) следует, что

(3.5)

при любом значении t0 . Стационарные системы называют также системами спосто-

янными во времени параметрами.

Если же свойства системы не инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой).

Линейные и нелинейные системы. Важнейший принцип классификации систем основан на том, что различные системы по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Если оператор системы таков, что справедливы равенства

где α – произвольное число, то система называется линейной. Условия (3.6) выражают фундаментальный принцип суперпозиции.

Если условия (3.6) не выполняются, то говорят, что система является нелинейной.

Пример 1.Некоторая система производит обработку входного сигнала

Непосредственной проверкой убеждаемся, что условия (3.6) выполняются. Таким образом, данная система линейна.

Пример 2. Некоторая система работает как идеальный квадратор в соответствии с алгоритмом uвых t uвх2 t .

Подав на вход сумму двух сигналов uвх1 uвх2 , на выходе получим

uвых uвх2 1 2uвх1uвх2 uвх2 2 .

Наличие перекрестного слагаемого 2uвх1uвх2 указывает на то, что дан-

ная система нелинейна.

340

Строго говоря, все физические системы, с которыми имеет дело радиотехника, в той или иной степени нелинейны. Однако существует много систем, которые весьма точно описываются линейными моделями. Так, практически всегда можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, конденсаторов и некоторых индуктивных элементов.

Нелинейные радиотехнические устройства и системы содержат обычно полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие вольт-амперные характеристики (ВАХ) сложного вида.

Теория нелинейных систем оказывается, как правило, довольно сложной. Далеко не все результаты могут быть получены аналитическим путем. Однако именно с помощью нелинейных элементов осуществляются важнейшие преобразования радиотехнических сигналов.

Таким образом, линейные и нелинейные системы осуществляют в ЭРЭС следующие процессы [24]:

–линейные (линейное усиление и фильтрацию, дифференцирование, интегрирование, задержку сигнала), не сопровождающиеся трансформацией спектров (появлением на выходе цепи гармонических составляющих сигнала с частотами, отсутствующими на входе) и реализуемые в линейных цепях;

–нелинейные (модуляцию, детектирование, преобразование, умножение и деление частоты, нелинейное усиление, ограничение, генерирование колебаний и т.п.), сопровождающиеся трансформацией спектров и реализуемые лишь в нелинейных или параметрических цепях.

Сосредоточенные и распределенные системы. Другой критерий классифика-

ции радиотехнических систем основан на сопоставлении физических размеров системы и рабочей длины волны, процесса, с которым эта система работает.

В процессе проектирования ЭРЭС необходимо принимать во внимание соотношение линейных геометрических размеров самой системы l или составляющих её частей и элементов с длинами волн электромагнитных процессов, протекающих в данной ТС, в связи с чем токи и напряжения в ней являются функциями не только времени, но и пространственных координат [24].

Если выполняется условие l , то проектировщик имеет дело с сосредоточенными системами. В сосредоточенной электрической цепи всегда можно выделить физические области с преимущественной локализацией энергии электрического поля (конденсаторы) и магнитного поля (индуктивные элементы). Свойства сосредоточенных цепей слабо зависят от конфигурации соединительных проводников, поэтому для описания таких цепей принято использовать их абстрактные мо-

дели, называемые принципиальными схемами.

В радиотехнике сосредоточенные системы широко применяют вплоть до рабочих частот в несколько сотен мегагерц. Анализ и расчет сосредоточенных радиотехнических систем проводят с помощью законов Кирхгофа.

Примерами таких систем являются транзисторный усилитель звуковых частот (УЗЧ), интегральная микросхема операционного усилителя.

341

Линейные геометрические размеры электронных компонентов принципиальной электрической схемы УЗЧ во много раз меньше длин волн процессов, соответствующих диапазону звуковых частот (20 Гц – 20 кГц).

Если выполняется обратное условие, т.е. l , то проектировщик имеет дело с распределенными системами. В данном случае начинает работать скин-эффект,

когда токопроводящие структуры и линии превращаются в излучатели электромагнитных волн.

Другими словами, на частотах в несколько тысяч мегагерц, т.е. в сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне, физические размеры большинства устройств оказываются сравнимыми с длиной волны передаваемых колебаний, так что становится необходимым учет конечного времени распространения сигнала. Обычные электрические цепи в этом диапазоне уже не могут использоваться и на смену им приходят

системы с распределенными параметрами (или волновые системы). Так, вместо соединительных проводников применяются отрезки металлических труб – волноводы, вместоколебательныхLC-контуров –ихраспределенныеаналоги, называемые объёмными резонаторами.

Другими примерами распределенных систем являются длинные линии, ферритовые вентили, антенны, антенные переключатели и т.д.

Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных стацио-

нарных систем. Справедливость принципа суперпозиции открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такиесистемы. Способ динамическогопредставления[39] позволяет представлятьсигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удается тем или иным способом найти реакциюна выходе, возникающую под воздействием элементарногоимпульса на входе, то окончательным этапом решения задачи является суммирование таких реакций.

Анализ основан на временном представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преобразования элементарных гармонических сигналов.

Импульсная характеристика. Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. Поопределению импульсной характеристикой системы называется функция h t , являющаяся откликом системы на входной сигнал δ t .

Это означает, что функция h t удовлетворяет уравнению

h t =Tδ t .

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на произвольную величину t0 :

342

h t t0 =Tδ t t0 .

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая её дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.

Интеграл Дюамеля. Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Входной сигнал всегда допускает представление в виде

uвх t uвх t d .

Отвечающая ему выходная реакция

uвых t Tuвх t T uвх t d .

Так как интеграл есть предельное значение суммы, то линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования . Поэтому

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Из нее следует, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций – входного сигнала и импульсной характеристики системы.

В более общем случае системы с m входами и n выходами следует ввести парциальные импульсные характеристики hij(t), i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m, каждая из которых отображает сигнал на i-м выходе при подаче на j-й вход дельтафункции. Совокупность функций hij(t) образует матрицу импульсных характеристик

343

Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид

Uвых t Uвх h t d ,

где Uвых – n-мерный вектор; Uвх – m-мерный вектор.

При этом должны выполняться условия физической реализуемости:

1) h(t) = 0 при t < 0, т.е. выходной сигнал не может возникнуть до момента появления импульса на входе;

Переходная характеристика. Переходной характеристикой линейной стацио-

нарной системы g(t) принято называть её выходную реакцию на воздействующий на вход сигнал, описываемый функцией Хевисайда t :

g t T t .

Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига.

Между импульсной и переходной характеристиками существует связь. Так как

t d dt , то

или

t

g t h d .

Частотный коэффициент передачи. Частотным коэффициентом передачи системы называют собственное значение системного оператора Т:

K j h t e j tdt .

Данная формула устанавливает важный факт: частотный коэффициент передачи и импульснаяхарактеристика линейной стационарной системысвязаны междусобой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию K j , можно определить

импульсную характеристику:

344

Мы подошли к важнейшему положению теории линейных стационарных систем – любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью её импульсной или переходной характеристики, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи. Оба подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.

Для линейной системы с m входами и n выходами частотные свойства можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Функция

K j имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармониче-

ский сигнал с известной частотой и комплексной амплитудой Uвх , то комплекс-

ная амплитуда выходного сигнала имеет вид

Uвых K j Uвх .

Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме:

K j K j exp j K .

Обе входящие сюда вещественные функции носят специальные названия:

рактеристика системы.

Частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен удовлетворять критерию Пэли – Винера, т.е. быть таким, чтобы существовал интеграл

ln K j

2 d .

Линейные динамические системы. Линейными динамическими системами принято называть устройства, у которых выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, но и предысторией этого сигнала. Иначе говоря, динамическая система обладает некоторой конечной или бесконечной памятью, от характера которой зависят особенности преобразования входного сигнала.

345

В общем случае речь идет о системах, для которых связь между одномерным входным и выходным сигналами устанавливается с помощью дифференциального уравнения

Именнотакой оказывается динамическая связь междумгновенными значениями входного и выходного сигналов в электрической цепи с сосредоточенными параметрами. Если цепь линейна и стационарна, то все коэффициенты a1, …, an и b1,…,bm являются постоянными вещественными числами. Порядок n этого уравнения при-

нято называть порядком динамической системы.

Спектральный метод. Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал uвх(t), заданный обратным преобразованием Фурье:

uвх t 1 Uвх ej td .

2

Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи K j си-

стемы. Как известно, комплексный сигнал вида exp j t , являясь собственной

функцией системного оператора, создает на выходе элементарную реакцию

K j exp j t . Суммируя эти реакции, находим представление выходного сиг-

нала:

uвых t 1 K j Uвх ej td .

2

Отсюда следует принцип спектральногометода, который заключается в том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

Uвых K j Uвх .

Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой – эффект преобразования сигнала в системе отображается алгебраической операцией умножения.

Следует отметить, что спектральный и временной подходы на основе интеграла Дюамеля полностью эквиваленты друг другу.

Операторный метод. К спектральному методу тесно примыкает широко распространённый операторный метод, базирующийся на представлении входных и выходных сигналов преобразованиями Лапласа.

346

Преобразование Лапласа позволяет путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дифференциальное уравнение

устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе линейной стационарной системы. Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал uвх t 0 при t < 0. Кроме того, исходя из специфики работы РТС,

начальные условия выберем нулевыми: uвых 0 u'вых 0 ... uвых(n 1) 0 0. Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобразование Лапласа.

Обозначим закон соответствия между оригиналами и изображениями следую-

Лапласа от обеих частей исходного дифференциального уравнения, получим

an pn an 1pn 1 ... a1p a0 Uвых p bm pm bm 1pm 1 ... b1p b0 Uвх p .

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов:

K p Uвых p bm pm bm 1pm 1 ... b1p b0 ,

Uвх p an pn an 1pn 1 ... a1p a0

называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи

рассматриваемой системы.

Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа:

1)uвх t Uвх p ;

2)Uвых p K p Uвх p ;

3)Uвых p uвых t .

КоэффициентK p есть результат аналитического продолжения частотного ко-

эффициента передачи K j с мнимой оси j на всю плоскость комплексных ча-

стот p j . Функция K p аналитична на всей плоскости p, за исключением

конечного числа точек p1, p2, …, pn, являющихся корнями знаменателя в формуле

K p . Данные точки, т.е. корни уравнения

347

an pn an 1pn 1 ... a1p a0 0,

называют полюсами передаточной функции K p , а корни уравнения

bmpm bm 1pm 1 ... b1p b0 0

называют нулями данной передаточной функции.

Методы описания дискретных систем. Вкратце остановимся на методах опи-

сания дискретных систем.

Дискретной называется система, в структуре которой содержится хотя бы один элемент, выходной сигнал которого является дискретным [37].

Процесс преобразованиянепрерывногосигнала в дискретный называютквантованием сигнала. Различают три способа квантования: по уровню, по времени и смешанное (и по уровню, и по времени).

Любая импульсная система реагирует на значения внешнего воздействия только в равноотстоящие друг от друга дискретные моменты времени. Поэтому внешнее воздействиевсегда может быть замененотак называемой решетчатойфункцией, т.е. функцией, значениякоторой в дискретные, равноотстоящиемоменты времени равны значениям какой-либо непрерывной функции, а между этими значениями значения решетчатой функции равны нулю.

Функциональными преобразованиями решетчатых функций являются дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ). Их свойства аналогичны свойствам обычных преобразований Фурье и Лапласа для непрерывных функций. Более широкое распространение вместо ДПЛ получило Z-преобразование, которое по сути является производным преобразованием от ДПЛ и позволяет получать передаточные функции импульсных систем в дробно-рацио- нальной форме [39].

Выводы

Решение задачи синтеза ТС начинается с представления будущей ТС моделью «черного ящика» и внешнего проектирования, т.е. исследования входов и выходов в сочетании с функциональным анализом и синтезом. Для этого необходимо начать с исчерпывающего перечисления всех входов и выходов задуманной системы. Вслед за тем составляется полное техническое описание каждого входа и выхода. Таблица 3.6 содержит контрольный перечень свойств, которые могут понадобиться для такого описания. Некоторые группы входов и выходов могут также требовать коллективного описания, и здесь будет полезна таблица 3.6. Не предполагается, что до завершения этих частей задачи нельзя приступать к проектированию отдельных подсистем; полное описание некоторых входов и выходов может потребоваться лишь на позднейших стадиях планирования и проектирования. Это лишний раз подтверждает рекурсивность проектных процедур.

Перечисление всех входов и выходов со всеми их свойствами делается для того, чтобы по составленным перечням найти преобразователи известных типов для

348

выполнения требуемых функций. Если поиски неудачны, то такие перечни позволяют разбивать систему на все более мелкие подсистемы, пока не станет видно, что данное подмножество входов может быть преобразовано желательным способом.

Типы нужных преобразователей зависят от рода системы и применяемой технологии.

Для описания и представления систем, процессов, сообщений и сигналов имеется много средств и способов, к наиболее важным из которых относятся методы статистической теории связи и радиотехники для описания информационных свойств, ряды и интегралы Фурье для описания некоторых физических свойств, а также математика случайных процессов.

Приведем обобщенный алгоритм представления объекта проектирования моделью «черного ящика»

1.Определите и назовите целевую функцию (назначение) «черного ящика».

2.Определите количество входов «черного ящика».

3.Выделите полезные и вредные входы «черного ящика», среди них выявите главныеи второстепенные, которыми нельзяпренебрегатьв условияхданной задачи.

4.Определите количество выходов «черного ящика».

5.Выделите полезные и вредные выходы «черного ящика», среди них выявите главныеи второстепенные, которыми нельзяпренебрегатьв условияхданной задачи.

6.Проведите классификацию входов «черного ящика».

7.Проведите классификацию выходов «черного ящика».

8.Идентифицируйте природу физических связей «черного ящика» с окружающей средой.

9.Распределите входы и выходы «черного ящика» по категориям основных интерфейсов «ТС1–ТС2», «ТС–Окружающая среда», «ТС–Человек», «Человек–ПО– ТС».

10.Определите физические характеристики входных и выходных процессов «черного ящика», назовите их основные параметры (параметрический базис процессов: физические величины и их единицы измерения) и диапазон возможных значений для условий данной задачи.

11.Определите техническую функцию «черного ящика». Опишите, в чем заключается смысл преобразования главного входа в главный выход с точки зрения преобразования параметров процессов.

12.Соотнесите общие требования технического задания полученными по пунктам 1–11 сведениями. Убедитесь, что в ТЗ отражены требования ко всем характеристикам всех входных и выходных процессов «черного ящика». Если какое-то требованиеупущено, вернитесь на этап составленияТЗ, сформулируйтеи дополните список недостающим требованием.

13.Сформулируйте приблизительный описательный образ взаимодействия «черного ящика» с окружающими условиями, отвечающий на следующие общие вопросы:

а) какое влияние оказывает окружающая среда на «черный ящик»?

349