Методология системотехнического проектирования электронных и радиоэлектронных средств (в двух частях)

Параметрами и свойствами, с помощью которых описывается любой процесс внутри ЭРЭС, являются:

–энергия (Дж);

–мощность (Вт);

–форма процесса;

–амплитуда (В, А);

–фаза (градусы, с);

–спектр, спектральный состав (Гц);

–период (с);

–частота процесса (Гц);

–длительность импульса, длительность процесса (с);

–динамический диапазон процесса (дБ, разы);

–природа процесса.

Для внешних условий (условий среды) к указанным выше параметрам добавляются параметры электромагнитной волны (ЭМВ):

–состояние поляризации ЭМВ (ориентация плоскости поляризации, вид поляризации, направление вращения вектора напряженности ЭМВ);

–степень поляризованности ЭМВ (полностью поляризованная волна (ППВ), частично поляризованная волна (ЧПВ), неполяризованная волна (НПВ));

–пространственный спектр ЭМВ (м);

–форма фронта ЭМВ;

–вектор направления фронта ЭМВ.

Классификация способов представления процессов. Для того чтобы сделать процессы объектами теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания или, говоря языком современной науки, создать математическую модель исследуемого процесса [39].

Создание такой модели – первый существенный шаг на пути систематического изучения свойств явления. Прежде всего математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электромагнитного поля и т.д.

Существенная сторона абстрактного метода, базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать именнотесвойства сигналов, которыеобъективноявляются определяющеважными. При этом игнорируется большое число второстепенных признаков.

Например, в подавляющем большинстве случаев крайне затруднительно подобрать точные функциональные зависимости, которые соответствовали бы электрическим колебаниям, наблюдаемым экспериментально. Поэтому исследователь, руководствуясь всей совокупностью доступных ему сведений, выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации

330

наилучшим и самым простым образом описывают физический процесс. Итак, выбор модели – процесс в значительной степени творческий.

Модель детерминированного сигнала – математическое описание сигнала в форме, наиболее пригодной для исследования процессов его преобразования в конкретной радиотехнической системе (устройстве, узле, цепи) [24]. Отыскание модели детерминированного сигнала есть задача аппроксимации сигнала f t функцией

f t t,C1,C2,...,Ci ,

состоящая в определении вида функции f t и подборе значений коэффициентов

Ci , минимизирующих ошибку аппроксимации

f t f t f t

(или её количественную оценку f t , f 2 t ). Наиболее распространена

аппроксимация рядами по упорядоченным и особенно по ортогональным системам функций t , т.е. суммой

N

f t Ci i t

i 0

счётного множества ортогональных колебаний i t (ортогональные разложения).

Возможно также представление сигнала несчетным множеством (интегральной суммой) элементарных колебаний (обратными преобразованиями Фурье или Лапласа, сверткой с -функцией и т.п.). Ниже приведем краткие сведения о функциях, системах функций и методах, наиболее часто используемых для моделирования как сигналов, так и любых других функциональных зависимостей f t произвольного

аргумента x(спектров, амплитудно-частотныхи фазочастотныххарактеристик(АЧХ и ФЧХ) цепей и т.п.).

Процессы используются для исследования систем посредством анализа их временных характеристик. Под временными характеристиками в общем случаепонимается графическое изображение процесса изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход какого-либо типового воздействия.

Некоторые системы могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Так как дифференциальное уравнение системы тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при заданных начальных условиях, то временная характеристика изображает решение дифференциального уравнения для принятого типового воздействия и, следовательно, полностью характеризует динамические свойства системы.

Временные характеристики могут быть получены не только путем решения дифференциального уравнения, но и экспериментально. Поэтому возможность

331

определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, так как в этом случае не требуется выводить и решать дифференциальное уравнение [37].

В качестветиповыхвоздействий наиболееширокое применениенаходят единич-

ное ступенчатое и единичное импульсное воздействия.

Единичное ступенчатое воздействие в аналитической записи выглядит так:

0 при t < 0,

1 t

1 при t > 0.

При t 0 значение единичного ступенчатого воздействия не определено. Нормированным импульсным воздействием считается единичный импульс,

т.е. импульс, у которого произведение длительности на величину равно единице: g1t1 g2t2 g3t3 1,

где величина t1 достаточно мала.

Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю, является единичная импульсная функция (функция Дирака или -функция), для которой имеют место следующие соотношения:

0 при t 0,

t при t = 0,

причем

t dt 1.

Легко видеть, что

t d 1 t .

dt

Радиосигнал – высокочастотный и узкополосный (в относительном смысле) сигнал

a t A t cos нt t A0 A t cos нt н t ,

несущий сообщение в колебаниях приращений одного или нескольких своих пара-

ющими сигналами (УС). Благодаря относительным высокочастотности и узкополосности радиосигналыэффективноизлучаютсяантеннами конструктивноприемлемых размеров, распространяются в пространстве в виде волн соответствующей физической природы, не искажаются частотно-зависимыми элементами каналов передачи, обеспечиваютвозможность многоканальной связи счастотным разделением каналов

[24].

Несущее колебание – гармоническое ВЧ-колебание Aн cos нt н , параметры которого модулируются при формировании радиосигнала. Несущая частота –

332

частота н несущего колебания. Управляющий сигнал – модулирующий сигнал,

пропорционально которому изменяется параметр радиосигнала.

Модуляция – процесс управления любым параметром несущего колебания по закону передаваемого сообщения, а также результат этого процесса, т.е. свойство радиосигнала, состоящее в изменениях его параметра. Модуляция может быть как полезной (формирование радиосигнала), так и вредной, сопутствующей (искажение радиосигнала в избирательных цепях).

В зависимости от параметра, модулируемого по закону УС, различают амплитудную, фазовую и частотную модуляции (АМ, ФМ,ЧМ) и соответствующие им виды радиосигналов. ФМ и ЧМ объединяют общим термином угловая модуляция. Также применяется поляризационная модуляция, т.е. модуляция вида поляризации электромагнитных волн. Манипуляция – разновидность импульсной модуляции – дискретная модуляция, отличающаяся квантованностью значений модулируемого параметра и дискретностью промежутков времени между их сменами.

Спектральный (гармонический) анализ периодических сигналов (ПС) – разло-

жение их на счетное множество гармонических колебаний (гармоник) с кратными частотами; описание и исследование свойств ПС в частотной области с помощью частотныхраспределений (спектров)амплитуд, фази мощностей этихгармоник[24]. Цель спектрального анализа периодических сигналов – представление (аппроксимация) ПС суммой гармоник – ориентирована на использование принципа суперпозиции и метода комплексных амплитуд для отыскания отклика линейной цепи на сложный ПС. Спектральный анализ ПС осуществляется разложением его в тригонометрический или комплексный (экспоненциальный)ряд Фурьепосоответствующим формулам. Приведем формулу тригонометрического ряда Фурье:

где Т – период сигнала; 2 T – его частота.

333

Отыскание коэффициентов ряда Фурье является спектральным анализом ПС, суммирование ряда Фурье (восстановление ПС по его спектру) – спектральным синтезом. Оба ряда аппроксимируют с нулевой среднеквадратической ошибкой любой физически возможный сигнал f t на конечном интервале времени t0,t1 . Однако вследствие кратности частот гармоник суммы рядов Фурье периодичны с периодом t1 t0 , что дает возможность распространить аппроксимацию ПС на интервал

, . Для этого достаточно выбрать интервал ортогональности t1 t0 так, чтобы

он был равен периоду Т аппроксимируемого ПС. Ряды Фурье инвариантны к выбору начала отсчета времени, поэтому его можно выбирать произвольно, исходя из удоб-

ства записи и интегрирования ПС (например, интегрировать в пределах 0,T или

T2,T2 ).

(СПА) и спектральных плотностей энергии (СПЭ).

334

Его цель – представление (аппроксимация) НС интегральной суммой микрогармоник – ориентирована на использование принципа суперпозиции и метода комплексных амплитуд для отыскания отклика линейной цепи (ЛЦ) на сложный НС и достигается с помощью преобразований Фурье (ПФ). Прямое ПФ решает задачу спектрального анализа НС (отыскание S ), а обратное преобразование Фурье

(ОПФ) – задачу спектрального синтеза (восстановления сигнала f t по его СПА

S с нулевой среднеквадратической ошибкой). Такимобразом, любой физически

возможный НС можнооднозначнои равноточнопредставитьвовременной и частот-

сплошные (континуальные), чем они принципиально отличаются от дискретных спектров периодических сигналов.

СПА – физическая величина, имеющая смысл удельной (отнесенной к единице

полосы частот) комплексной амплитуды микрогармоник S dC ej с единицей df

измерения (для электрических сигналов) вольт на герц или ампер на герц. СПА – комплексная функция частоты S с тем жефизическим смыслом и размерностью,

представляющая сигнал f t в частотной области и часто (для сокращения) называ-

емая просто спектральной плотностью или спектром сигнала. Общие свойства СПА основаны на ее математическом определении:

S F f t f t e j tdt A jB S ej ,

335

Различают и представляют соответствующими спектрограммами (рисунок 3.26):

амплитудный спектр НС – частотное рас-

пределение модуля СПА S S ;

фазовый спектр НС – частотноераспределе-

ние фазы (аргумента) СПА ; энергети-

ческий спектр НС – частотное распределение спектральной плотности энергий

W S 2 . Если эти спектры представ-

лены в области , , то они называ-

ются математическими спектрами S

аб (см. рисунок 3.26,а), а если в области

где Sф , ф , Wф – физические амплитудный, фазовый спектр и энергети-

ческий спектры соответственно.

Спектральная плотность энергии (СПЭ) сигнала – физическая величина

W dEdf , имеющая смысл удельной (отнесенной к единице полосы частот)

энергии сигнала с единицей измерения джоуль на герц. Частотное распределение СПЭ:

W S S S 2 S2

Энергия сигнала – энергия, выделяемая сигналом на сопротивлении 1 Ом – может быть вычислена как повременному, так и по спектральному представлению, что подтверждается равенством Парсеваля (теоремой энергии)

336

ЭС и автокорреляционная функция связаны между собой преобразованиями

энергетическому спектру невозможно, поскольку отсутствует информация о фазах микрогармоник, но это не уменьшает важность ЭС как характеристики сигнала.

Корреляционный анализ детерминированных сигналов – анализ сигналов во вре-

менной области с целью выявления и оценки их подобия (сходства), основанный на изучении корреляционных функций. Корреляция – соответствие, взаимозависимость, взаимосвязь явлений или процессов, количественная характеристика их подобия. Корреляционная функция – зависимость корреляции двух (в общем случае ком-

и комплексной сопряженности (звездочку) над функциями не ставят. Автокорреляционная функция (АКФ) – корреляционная функция двух одинако-

вых сигналов (сигнала и его копии), определяемая по приведенным выше формулам при условии f1 t f2 t f t .

Взаимно корреляционная функция (ВКФ) – корреляционная функция двух раз-

личных (в отличие от АКФ) сигналов, определяемая по приведенным выше формулам.

Спектры часто встречающихся сигналов с бесконечной энергией приведены в таблице 3.19.

Важное место в анализе и синтезе процессов в ЭРЭС занимают теоремы спектрального анализа (теоремы о спектрах, свойства преобразований Фурье), устанавливающие соответствие между эквивалентными математическими операциями во временной и частотной областях над сигналами и их спектрами. Это мощное средство теоретического спектрального анализа и синтеза, а также выявления и осмысления фундаментальных особенностей и свойств сигналов и цепей.

337

Таблица 3.19 – Спектры часто встречающихся сигналов с бесконечной энергией

338