Голографические фотонные структуры в фотополимерных материалах

72

Коэффициенты матрицы aj,l(у) показывают вклад полимеризационно-

диффузионного механизма записи. Однако для анализа систем уравнений (2.39)

и (2.40) удобно ввести коэффициенты связи сj,l(у)=aj,l(у)-j2δj,l (δj,l -символ Кронекера), характеризующие связь j-той гармоники с l-той. Отличие коэффициентов связи cj,j(у) от aj,j(у) характеризует вклад диффузии мономера в процесс записи и пропорционально квадрату номера гармоники. Возрастание диффузионного вклада с номером гармоники, отраженное членом j2δj,l ,

обусловлено уменьшением периода и, соответственно, времени диффузии для данной гармоники относительно характерного времени диффузии, принятого для первой гармоники.

Из анализа коэффициентов сj,l качественно можно отметить, что связь j-

той гармоники с (j±1)-ой определяется вторым членом ряда Тейлора (2.16), а с

(j±2)-ой – третьим. Таким образом, количество взаимодействующих между собой гармоник определяется как 2(i-1), где i – количество членов ряда Тейлора в (2.16). Исключение, как видно из матрицы aj,l, составляют только нулевая и первая гармоники, (N-1)-ая и N-тая. С ростом номера гармоники второе слагаемое в коэффициентах сj,l начинает превалировать, поэтому для j>3

формирование гармоники определяется полимеризацией в светлых областях интерференционной картины диффундирующего мономера из темных областей.

Из анализа коэффициентов связи следует, что уменьшение mу приводит к снижению влияния гармоник друг на друга, т.е. к линеаризации процесса формирования решетки, но и к уменьшению амплитуд гармоник. А

уменьшение k относительно k=0.5 (характерная точка) приводит к уменьшению связи j-той гармоники с соседними (j±1)-ой и увеличению связи с самой собой

(j)-ой и с (j±2)-ой, а увеличение k к увеличению связи с j-той, (j±1)-ой и (j±2)-

ой. Но при k=1 пропадает связь гармоник с (j±2)-ми гармониками. То есть при линейной зависимости от интенсивности света процесс фотополимеризации остается нелинейным, ввиду нелинейной зависимости от концентрации мономера. Существенное снижение амплитуд высших пространственных

Таким образом, выражения (2.38), (2.42) - (2.44) представляют общее решение нелинейного диффузионно-полимеризационного процесса формирования голографических дифракционных решеток пропускающего типа в поглощающих фотополимерных средах и определяют кинетику двумерных пространственных профилей концентрации мономера М(τ,x,y) и показателя

преломления n(τ,x,y).

При рассмотрении задачи записи дифракционных решеток в ФПМ с учетом первых трех пространственных гармоник можно получить следующие аналитические выражения для функциональных зависимостей коэффициентов

λj=λj(y) и Аj,l=Аj,l(y) из представленных выше решений:

Для получения наиболее общих результатов численного моделирования

удобно использовать обобщенные параметры Cn=δni/δnp, αd=αd, соотношение

интенсивностей записывающих пучков m0=I12/I02, при этом пространственные

76

Рисунок 2.8– Нормированные амплитуды гармоник от времени записи.

Из рис.2.8 (а) видно, что время формирования второй гармоники при b<1

больше, чем для первой, т.к. b для второй гармоники в 22 раза больше чем для первой вследствие различия времен диффузии для этих гармоник. Из рис.2.8 (а)

видно, что n1(τ) имеет локальный максимум, а затем спадает до стационарного уровня, а |n2(τ)| имеет максимум на стационарном уровне. Как отмечалось ранее, наличие локального максимума с последующим спадом до стационарного значения наблюдается только для характерной области b<0.75

для первой гармоники. Но, так как, время диффузии для второй гармоники в 4

раза меньше, чем для первой, то для нее характерное отношение времени полимеризации ко времени диффузии b2=4b, что обуславливает отсутствие локального максимума для второй гармоники при b=0.25.

Проведенный численный анализ показал, что уменьшение m0 приводит к уменьшению абсолютных значений n1 и n2 без изменения общего вида кривых.

Физической причиной является увеличение доли нулевой гармоники ДС вследствие уменьшения глубины модуляции интерференционной картины записывающего светового поля.

Соотношения амплитуд гармоник и их кинетики отражают самосогласованный характер задачи записи и находятся в качественном согласии с работой [Ошибка! Источник ссылки не найден.], где рассматривается данный вопрос для пространственно однородных решеток, т.е.

без учета поглощения.

Из сравнения данных результатов с расчетами из промежуточного отчета видно, что наличие ЖК в композиционном материале приводит к увеличению амплитуд всех гармоник. Причем при b<1 гармоника n2

увеличилась в 3 раза, а n1 в 2, а для b>1 обе гармоники увеличились в три раза.

В качестве иллюстрации влияния поглощения на вид профиля ДС, на рис.2.9 приведены нормированные пространственные профили n(x,y)/δnp

решеток в ФПМ в трех временных точках. Расчет проведен для k=0.5, b=1,

77

m0=1, Cn=2, αd=2 Неп.

Из рис.2.9 видно, что двумерно неоднородный профиль ДС существенно модифицируется во времени, переходя от спадающего вдоль y (рис.2.9 а) к

возрастающему (рис.2.9 в), что согласуется с результатами моделирования и

выводами из [67].

Рисунок 2.9

Трансформация распределения по х связана с изменением соотношению амплитуд пространственных гармоник профиля. Отметим, что синусоидальный вид профиля на начальной стадии формирования на рис.2.9 (а) говорит о том,

что амплитуда первой гармоники много больше амплитуды второй гармоники,

что связано с различием скоростей формирования первой и второй гармоник

(рис.2.9 а). С течением времени амплитуда второй гармоники возрастает

(рис.2.8 а), что приводит к отличию вида профиля от синусоидального рис.2.9 (б,в).

При увеличении y/d пространственный профиль ДС по x приближается к синусоидальному виду рис.2.9 (б,в), что связано с уменьшением амплитуды второй гармоники по абсолютному значению вдоль у. Это объясняется тем, что для рассматриваемого значения b=1, поглощение приводит к увеличению амплитуды первой гармоники за счет увеличения времени полимеризации и приближения локального by к оптимальному значению, характеризующему достижение максимальной амплитуды гармоники. Для второй гармоники ввиду меньшего времени диффузии значение b уже в начале ДС является близким к