Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Голографические фотонные структуры в фотополимерных материалах

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

10.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

111

а)

б)

Рисунок 3.6

Трансформация во времени пространственной модуляции связана с изменением соотношению амплитуд пространственных гармоник профиля, что особенно выражено для b=0.25 (рис.3.6 а). Отметим, что синусоидальный вид профиля на начальной стадии формирования на рис..3.6 (а) связано с отставанием формирования второй гармоники от первой. С течением времени амплитуда второй гармоники возрастает, что приводит к отличию вида профиля от синусоидального рис. 3.6 (а). Из рис. 3.6 (б) видно, что для области b>1, как и для ПГДС, вклад высших гармоник является пренебрежимо малым, а

огибающая профиля ДС повторяет профиль суммы первой и нулевой гармоник,

рассчитанный в пункте 3.1.2.

3.1.4 Многоволновое смешение на высших пространственных гармониках

В данном параграфе разрабатывается модель формирования дополнительной дифракционной решетки (ДДР) в результате многоволнового смешения. В основу рассмотрения положены кинетические уравнения для концентрации мономера М и показателя преломления n (2.11),(2.12).

Механизм формирования ДДР на высших пространственных гармониках в общем является аналогичным рассмотренному для ПГДР. Основные отличия связанны с тем, что в симметричной геометрии формируются две ДДР на каждой высшей пространственной гармонике с векторами равными K1 и две с

112

нулевым вектором решетки, как это видно из векторной диаграммы,

представленной на рис.1(а).

В несимметричной геометрии на каждой высшей гармонике, происходит формирование в общем случае четырех ДДР (рис.3.8б) с векторами Kj0=k0-kj,

Kj1=k1-ki, K0j=kj′-k0, K1j=k1-kj′.

x			x	k·n
k·n				k·n	θ0
θ1		θ0	y	θ1	θ0
			y	θ2	y
				θ2
k1′		k0′	K02	k2′	k0′
k2′		k2′′	K02	k1′	k0′
k2′				K20
K02	K1			K20
K02	K1	K′02	K21	K2
K2		-K2		K1

Рисунок 3.7

	k·n	θ0
	θ1	θ0	y
	θ2	-θ2	y
	k1 k2	k2′	K02
	k1 k2	k0	K02
		K1
	K2	-K2	K12
K02		K20
K02	K21	K02
	K21	K02

Рисунок 3.8

Процедура получения решения для ДДР в общем полностью соответствует описанной в пункте 2.1.7 для ПГДР, поэтому подробные пояснения будет опущены в данном пункте.

Как и для ПГДР, принимая во внимание малость амплитуд ДДР, можно пренебречь их взаимовлиянием и влиянием на пространственные гармоники решетки. Интерференционная картина в ФПМ может быть записана в виде:

113

E E *

1 + me -i×K1r +

e-iK

20 r +

1 2

e-iK 21r +

I (r ) = I

I 0

(3.10)

E E ′*

e-iK 02 r +

e-iK12 r + .... + c.c.

0 2

1 2

I 0

=I0+I1,

Ij=|E |2,

j=0,1;

m = 2

×(e ×e

)/(I 0

+ I 1 )

где

I 0 I 1

контраст

интерференционной картины; K1=|K1|, K1=k0-k1–

вектор решетки,

r-радиус-

вектор, Ej – амплитуды,

kj - волновые вектора и ej –

вектора поляризации

падающих записывающих волн.

Общее решение задачи будем искать в виде:

	N	−iK	r	+ M120 (r,t)e	−iK 20 r + M121 (r,t)e
	∑ M j (r,t)e	j		+ M120 (r,t)e	−iK 20 r + M121 (r,t)e
M = 0.5 j = 0
	+ M102 (r,t)e−iK 02 r + M112 (r,t)e−iK12 r + c.c.
	+ M102 (r,t)e−iK 02 r + M112 (r,t)e−iK12 r + c.c.

		N	−iK	r	+ n120 (r,t)e	−iK 20 r + n121 (r,t)e
n = nst		∑n j (r,t)e	j		+ n120 (r,t)e	−iK 20 r + n121 (r,t)e
n = nst	+ 0.5 j =0
		+ n102 (r,t)e−iK 02 r + n112 (r,t)e−iK12 r + c.c.
		+ n102 (r,t)e−iK 02 r + n112 (r,t)e−iK12 r + c.c.

−iK 21r

. (3.11)

где Mj, nj – амплитуды гармоник концентрации мономера и показателя преломления основной решетки, M20, M21, M02, M12, n20, n21, n02, n12 – амплитуды первых гармоник концентрации мономера и показателя преломления ДДР.

Принимая во внимание малость амплитуд ДДР, можно пренебречь их влиянием на гармоники основной решетки и разделить рассматриваемую задачу на две части. Это позволяет в первой части найти решение для пространственных гармоник основной решетки и, используя его, решить задачу формирования ДДР.

ДДР формируются в результате интерференции падающих записывающих волн с волнами, дифрагированными на высших пространственных гармониках основной решетки. Принимая во внимание малость дифрагированных волн, можно не учитывать изменения падающих записывающих волн и ограничить рассмотрение дифрагированными волнами на рассматриваемой высшей пространственной гармонике El, E′l

∂El∂y∂El′∂y

= iG	(E n (τ)e		−i K0 l y + E n		(τ)e	−i K0 l y + E nl 0		(τ, y) + E nl1		(τ, y))
l	0	l	1	l −1		0	1	1	1
= iG	(E n (τ)e		−i K0′ l y + E n		(τ)e	−i K0′ l y + E n0l		(τ, y) + E n1l		(τ, y)),
l	0	l	1	l −1		0	1	1	1

114

(3.12)

где Gl=π/(λcosθl), λ - длина волны света в ФПМ, nl(τ) - l-тая гармоника n,

определенная в решении для основной решетки с учетом αd≈0 (l>1), n1j(τ,у) –

первая гармоника j-той ДДР показателя преломления n, индекс j=l0, l1, 0l, 1l –

соответствует рассматриваемой ДДР с волновым вектором Kj, формируемой одной из записывающих волн и волной, дифрагированной на l-той

пространственной гармонике ОГДР, K0l=| K0l| – модуль вектора фазовой расстройки (см. рис.3.8), τ=t/Tm – относительное время, Tm=1/(K12Dm) – время

диффузии, Dm - коэффициент диффузии, K1=|K1|.

Учитывая малость амплитуд ДДР, можно пренебречь их взаимовлиянием. Используя методику из подраздела 3.1.3 [64,65], где кинетические уравнения записи дополняются дифракционным уравнением в приближении заданного поля и без учета поглощения, запишем интегро-

дифференциальные кинетические уравнения записи для ДДР с вектором Kl1:

∂

l 0

E E* (τ, y)

l 0

(τ, y) = −rl 0 M1

(τ, y) −

2kM 0 (τ)

+ M1

(τ, y)

∂τ

+ E2

(3.13)

∂

M 0 (τ)

E0 El* (τ, y)

M1l 0 (τ, y)

nl 0 (τ, y) = δn

− δn r 2

∂τ

p b

E 2

+ E 2

i l 0

где El(τ,y) - определяется решением системы

(3.12) в приближении

заданного поля и учетом |n1l1|<|nl-1|; М0(τ) –

нулевая гармоника M, определенная

в решении для основной решетки выражениями с учетом αd≈0; M1l0(τ,y), –

первая гармоника дополнительной решетки концентрации мономера с вектором

Kl0, rl0=Kl0/K1, Kl0=|Kl0|.

Для решения (3.13) используем интегральное преобразование Лапласа по пространственной координате у

115

1l 0 (t, p) = -rl20 M1l 0

(t, p) -

M1l 0 (t, p) +

¶t

n1l 0 (t, p)

+ 2i

M 0 (t)

+ H (t, p)

1+ m0

(3.14)

¶ l 0

2 M1l 0 (t, p)

M1l 0 (r, t)

(t, p) = -dni rl 0

+ dn p

¶t

M n

M 0 (t)

n1l 0 (t, p)

- 2i

+ H (t, p)

b M n

1+ m0

где

введены

обозначения

H(τ,p)=L{H(τ,y)}=

d − y

= L

(t)

∫

{n (t) +

(t)}e−i K 0l

y′dy¢

F = r 2

, F = -

2iGl kdn p

, m = E 2

2 .

0 l −1

1 l 0

1+ m

0 1

Учитывая, что функция n1l0(t,у) является медленно меняющейся по сравнению с

M0×exp(-F1×τ) [64,65], и используя начальное условие М1l0(τ=0)=0 и теорему о

среднем

для

определенного интеграла

∫ j(x) f (x)dx = j(x)∫ f (x)dx , где

a ≤ ξ ≤ b ,

получим следующее решение для первого уравнения из (3.14):

F eF1τ

nl 0 (t, p)

F eF1τ τ

M1l 0 (t, p) = -

∫ M 0 (t¢)e− F1τ′

dt¢ -

∫ H (t¢, p)e− F1τ′ dt¢.

(3.15)

dnp

Подставляя полученное решение (3.15) во второе уравнение из (3.14) и

используя

обратное

интегральное

преобразование

Лапласа

по

пространственной координате у, решение для n1l0(t,y) запишем в виде:

nl 0 (t, y) = F2

d − y

∫

Q(t¢, y) +

∫Q(t¢, y¢) × H0

(t¢, t, y - y¢) dt¢

(3.16)

τ H (t¢, y)

H (t, y)

Q( , y)

C r 2

eF1τ

e− F1τ′

d ¢

где

∫

Cn=dni/dnp,

n l 0

M n

t -

M n

H 0 (t¢, t, y) = 1+

∫

R(t¢¢)dt¢¢×J1 2

F2 (d -

y) ∫ R(t¢¢)dt¢¢ ,

d - y

τ′

×eF1τ

(t¢)

− F1τ′ dt¢ -

(t)

R(t) =

C r 2 -

∫

l 0

M n

116

H (τ, y) = M 0 (τ)d − y (nl (τ) + m0 nl−1 (τ))e−i K0l y′dy′, J1(x) – функция Бесселя.

∫

Таким образом, выражение (3.16) определяет временную динамику пространственного распределения амплитуды ДДР с вектором решетки Kl0,

образованной записывающими волнами и дифрагированной на l-той пространственной гармонике ОГДР. Из решения видно, что ДДР в отличии от гармоник основной решетки имеет пространственно неоднородные распределения амплитуды и фазы вдоль глубины решетки даже в отсутствии поглощения.

Проведя аналогичную процедуру решения для ДДР с вектором решетки

Kl1 можно получить следующие решения:

τ	d − y
n1l1 (t, y) = F2 ∫ Q(t¢, y) +	∫Q(t¢, y¢) × H0	(t¢, t, y - y¢) dt¢ ,	(3.17)
	0
0	0

	F	m	τ

где H 0 (t¢, t, y) = 1+	2	0	∫	R(t¢¢)dt¢¢×J1 2 F2 m0 (d -
	d - y
			τ′

y) ∫

τ′

t¢¢ t¢¢ , H(τ,y) полностью

R( )d

совпадает с приведенным в (3.16), а Q(τ,y) и R(τ,y) совпадают с приведенными в

(3.16) с точностью до замены rl0 на rl1=Kl1/K1.

Проведя аналогичную процедуру решения для ДДР с вектором решетки

Kl1 можно получить следующие решения:

n1l1 (t, y) = F2

∫

Q(t¢, y) + ∫Q(t¢, y¢) × H

0 (t¢, t, y - y¢) dt¢ ,

(3.18)

где

H 0 (t¢, t, y) = 1+

∫

R(t¢¢)dt¢¢×J1

2 F2 m0

y ∫

R(t¢¢)dt¢¢

, H(τ,y)

полностью

τ′

совпадает с приведенным в (3.16), а Q(τ,y) и R(τ,y) совпадают с приведенными в

(3.16) с точностью до замены rl0 на rl1=Kl1/K1.

Решения для ДДР с векторами K0l совпадают с решениями (3.16) для ДДР с векторами K0l с точностью до замены rl0 на r0l=K0l/K1 и

d − y( ) −i K ′ y′ ¢ .

H (t, y) = M 0 (t) ∫ nl −1 (t) + m0 nl (t) e 0 l dy

														117
	Аналогично, решения для ДДР с векторами K1l совпадают с решениями
(3.17) для ДДР с векторами K1l с точностью до замены rl1													на r1l=K1l/K1 и
H (τ, y) = M 0 (τ)d∫− y(nl −1 (τ) + m0 nl (τ))e−i K0′ l y′dy′ .
		0
	На рис.3.9 представлены результаты расчета модуля и аргумента
пространственного профиля решетки							с	волновым		вектором			K20	при Cn=2,
δnp=0.01, θ0=800, θ1=850 (в воздухе), θ2=740, d=85мкм,											K02=71.4.
	Из рис.3.9(а,б) видно, что решетка n120(τ,y) имеет неравномерный
квазипериодический амплитудно-фазовый пространственный профиль.
Наличие фазовой составляющей профиля ДДР приводит к образованию
дополнительного максимума угловой селективности в угловом положении
соответствующем порождающей гармонике ОГДР (рис. 3.9б).
	0,020			b=0.25				1,5				b=0.25
.ед.				b=0.25			рад.					b=0.25
				b=5								b=5
	0,015
, отн	0,015						),
								p
							δn
p	0,010						)/
n	0,010						,y 0,0
(τ,y)/δ							(τ
	0,005						20	1
	0,005						n
20							arg(
1
n
	0,000							-1,5
	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0		0,0	0,2		0,4	0,6	0,8	1,0
		y/d, отн. ед.								y/d, отн. ед.
а)							б)
						Рисунок 3.9

Амплитуда ДДР может быть сравнима с амплитудой порождающей гармоники при малых величинах угла записи (θ0, θ1) и толщины материала (d).

С увеличением d и θ0, θ1 период осцилляции профиля ДДР вдоль у уменьшается, как и амплитуда ДДР. Необходимо отметить, что неоднородность фазового фронта приводит к пространственной неоднородности направления вектора решетки.

Расчеты также показали, что для решетки с вектором K12 амплитудно-

фазовый профиль n112(τ,y) совпадает с приведенными на рис. 3.9 (а,б).

118

Для иллюстрации на рис.3.10 приведем двумерные контурные графики пространственных профилей, как гармоник основной решетки, так и первых гармоник ДДР образованных на второй пространственной гармонике.

|n20(x,y)|

|n2(x,y)|

|n21(x,y)|

		x
	K20
	K21	y
	K2	y
	K2
	K1
		\|n1(x,y)\|

Рисунок 3.10

Необходимо отметить основные особенности пространственных профилей ДДР. Во-первых, профили ДДР имеют двумерное квази периодическое амплитудное распределение, а, во-вторых, неоднородность фазовой составляющей профиля ДДР приводит к повороту вектора решетки и искажению фазового фронта.

3.2 Дифракционные свойства пространственно неоднородных

ОГДР

Рассмотрим процесс считывания ДР произвольно поляризованным

119

монохроматическим световым пучком в пренебрежении остаточным

поглощением ФПМ

Er (t, r) = ∑ ∫ e0i Eri (k0 ) ×exp[i ×(w×t - k0 × r)]dkτ0 + ê.ñ. ,	(3.19)
i= s, p
гдеEri (k0 ) - угловой спектр (УС), kτ0 = k∆θ0 – тангенсальная	компонента

волнового вектора k0, связанная с углом отклонения ∆θ0 плосковолновой компоненты углового спектра от оси пучка k0′.

Пространственная и векторная геометрия процесса считывания представлена на рис.3.11 для двух дифракционных порядков.

	x
	ep
es	E0
es
	N
	θ0	γ	θ2	y
				y
	k2′			θ1
	k2′	k1′		k0′
	E2(d)			k0′
	E2(d)
	E1(d)	d
	E1(d)

а)

				θ1
				θ2	θ0
				θ2	θ0
				θ2
K02		K2	k2	θ1	θ0
K02		K2	P2	k1	k0′
			k2′	k1	k0
			P1	k1′	k0
	K2		P1
	K2
			K1
	N2			K1
	N2		N1		P0
			N1		P0

б)

120

Рисунок 3.11

Световое поле E в области ФПМ в силу дифракции считывающего пучка

Er (3.19) на пространственных гармониках решетки можно записать в виде суммы N+1 световых пучков Ej

) × exp[i ×(w×t - k

× r)]dk

E (t, r) =

∑

∑∑

∫

(r, k

τj

+ ê.ñ. ,

(3.20)

j=0

i=s , p j=0

каждый из которых представлен двумя составляющими вектора напряженности

Ej в соответствующем ортогональном поляризационном базисе, заданном двумя ортами ejp и ejs, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси пучка Ej. Здесь

Eji(r, kj)	– медленно меняющиеся амплитуды плосковолновых составляющих
угловых	спектров компонент Ej×eji, j=0 соответствует проходящему пучку,
j=1..N –	дифрагированному пучку на решетке с Kj= j·K1, причем ejp лежит в

плоскости дифракции XOY, а ej s - перпендикулярен ей (см. рис.3.11).

Напряженность электрического поля E(t,r) в области взаимодействия описывается векторным волновым уравнением, следующим из уравнений

Максвелла

rot rot E(t, r) = -m		e		¶2	[e(t, r) × E (t, r)],		(3.21)
rot rot E(t, r) = -m		e	0 ¶t 2		[e(t, r) × E (t, r)],		(3.21)
	0		0 ¶t 2
где возмущение диэлектрической проницаемости ε представляется в виде
					N
ε(t, r) = ε0 +	ε(t, r) = ε0 + 0.5nst		n0 (t, r) + ∑n j (t, r)eiK j			×r + ê.ñ. ,	(3.22)
					j =1
где e0 = nst2 , nj(y) -	определены		решениями, полученными				ранее при
рассмотрении процесса записи ОГДР.

Подставляя выражения (3.20) и (3.22) в (3.21) и следуя методу медленно-

меняющихся амплитуд (ММА), получим две независимых системы уравнений связанных волн для амплитуд плосковолновых составляющих УС перпендикулярных Еs и тангенсальных Еp компонент поля Е, определяемых с точностью до De/e0 [79]:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.03 Mб3Голографические фотонные структуры в наноструктурированных материалах.-1.pdf
#
05.02.20232.95 Mб3Голографические фотонные структуры в наноструктурированных материалах.-2.pdf
#
05.02.20232.02 Mб5Голографические фотонные структуры в наноструктурированных материалах.-3.pdf
#
05.02.20232.27 Mб3Голографические фотонные структуры в наноструктурированных материалах.-4.pdf
#
05.02.202317.48 Mб4Голографические фотонные структуры в наноструктурированных материалах..pdf
#
05.02.202310.38 Mб8Голографические фотонные структуры в фотополимерных материалах..pdf
#
05.02.2023466.52 Кб5Государственная и муниципальная служба Российской Федерации..pdf
#
05.02.2023787.16 Кб1Государственная и муниципальная служба РФ.-1.pdf
#
05.02.2023787.16 Кб0Государственная и муниципальная служба РФ..pdf
#
05.02.2023695.35 Кб4Государственная и муниципальная служба.-1.pdf
#
05.02.2023760.14 Кб4Государственная и муниципальная служба.-2.pdf