Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Том 1. Поляризация плоских электромагнитных волн и её преобразования

направление вращения). Точка нулевой эллиптичности в пределы изменения не входит, так как для линейных поляризации направление вращения не определено.

Проведённый анализ объясняет природу удвоения угла эллиптичности и

что означает левое направление вращения эллипса поляризации, изображаемого

на поляризационной сфере, лежат на полуокружности SPS1 N . Таким образом,

точка PS1 изображает эллиптическую поляризацию, азимут которой ортогонален азимуту эллипса, отвечающего точке PS при противоположном направлении вращения поляризации.

Отсюда следует, что диаметрально противоположные точки на сфере представляют собой пары ортогональных поляризаций.

Рассмотрим теперь связь осей Х1, Х2, Х3 рассматриваемого координатного пространства со значениями параметров Стокса, отвечающих каждой точке P RL

круговой комплексной плоскости. Для этого воспользуемся соотношениями

(1.68) и круговым поляризационным соотношением (1.65):

PRL tg / 4 exp j2 tg / 4 cos 2 jtg / 4 sin 2 .

Тогда, в соответствии с (1.68):

Сместим сферу вниз на расстояние, равное её радиусу так, чтобы центр сферы совпал с началом системы координат Х1, Х2, Х3. При этом координаты Х1

и Х2 (см. выражения (1.70а,б)) не изменятся, а третья координата примет вид:

Сравнивая выражения (1.70а), (1.70б) и (1.70г) с параметрами Стокса (1.24),

нетрудно видеть, что параметры Стокса связаны с величинами Х1, Х2, Х3'

соотношениями:

единичного диаметра (сферы Римана), к сфере единичного диаметра,

смещённой вниз вдоль оси Х3 на величину 1. Именно эта сфера и является так называемой сферой Пуанкаре [4,13,14,15,16].

При этом прямоугольные координаты каждой точки PS на поверхности сферы Пуанкаре определяются величинами (1.71), представляющими собой параметры Стокса S1, S2 , S3 волны, изображаемой точкой PS . Набор параметров

S1 , S2 , S3 , отнесённых к координатным осям Х1, Х2, Х3 образует ортогональное трёхмерное подпространство Стокса {1, S1, S2 , S3}.

Таким образом, использование стереографической проекции и преобразование координат позволяет реализовать переход от представления состояний поляризации точками круговой комплексной плоскости к представлению этих состояний точками, лежащими на поверхности сферы Пуанкаре.

82

определяют единственное комплексное число, которое однозначно описывает поляризационный эллипс [14]. Из результатов подраздела 1.4 следует, что соотношение (1.72) является обобщением соответствующих выражений для

плоскость, каждая точка которой отвечает некоторому состоянию поляризации,

представленному в ортогональном эллиптическом поляризационном базисе

(U ,V ) .

Из результатов подраздела 1.4 следует, что различные представления на комплексной плоскости, которые получаются при изменении поляризационного

записать как

относится к классу конформных преобразований [18]. Подробно это преобразование и его свойства будут рассмотрено в главе III. Из выражения

(1.76) следует, что оно связывает две комплексные величины P XY и PUV ,

представленные на двух различных комплексных плоскостях. Одно из главных свойств конформного преобразования (это будет показано в главе III) состоит в

том, что окружности на комплексной плоскости одной из переменных

(например P XY ) отображаются в окружности на комплексной плоскости второй

переменной (в данном случае PUV ). При этом прямая линия рассматривается как окружность бесконечного радиуса. Кроме того, конформное преобразование сохраняет величину и знак угла между пересекающимися кривыми. Таким образом, ортогональные семейства линий постоянного азимута и постоянной эллиптичности сохраняют свои ортогональные свойства при преобразовании от любой из комплексных плоскостей к другой комплексной

плоскости (X ,Y) (R, L); ( X ,Y ) (U ,V ); (R, L) (U ,V ); (U ,V ) (U1 ,V1 ) и

т.д.

Рассмотрим теперь связь между обобщенной комплексной плоскостью и

поляризационной сферой. Прежде всего напомним, что поляризационная сфера

(сфера Пуанкаре) была получена преобразованием координат и изменением

масштаба из сферы Римана, связанной с круговой комплексной плоскостью P RL

(см. подраздел 1.7). Поскольку это есть традиционное представление поляризационной сферы, оно будет для нас неизменным. Но в вопросах,

связанных со стереографической проекцией, будет рассматриваться сферу Римана единичного диаметра. Если эта сфера расположена так, как это было указано в подразделе 1.7, т.е. касается своим южным полюсом начала

поляризация) есть центр стереографической проекции, связывающей точки поверхности сферы Римана с точками комплексной плоскости.

Построим теперь декартову комплексную плоскость EY / EX ,

касающуюся сферы Римана в точке, отображающей горизонтальную линейную

поляризацию EX , а диаметрально противоположную точку EY (вертикальная линейная поляризация), будем рассматривать как центр новой стереографической проекции (Рис.1.16 ). Тогда каждую точку PS на сфере можно спроецировать в точку на новой (декартовой) касательной плоскости.

При этом будет получено представление поляризации, отвечающей каждой точке сферы, на декартовой комплексной плоскости P XY . В частности,

северный и южный полюсы сферы (правая и левая круговая поляризации

сферы Римана, отвечающие линиям постоянного азимута, будут отображены на

линии постоянного азимута плоскости P XY , а широтные линии сферы,

отвечающие линиям постоянной эллиптичности, будут отображены на линии постоянной эллиптичности плоскости P XY .

Рассмотренный процесс стереографического соответствия декартовой

соответствию сферы Римана и обобщенной комплексной плоскости PUV ,

базисными состояниями которой является произвольная пара ортогональных эллиптических поляризаций U ,V .

+J Im P XY

Re P XY

86

+1

отвечающей первому базисному состоянию U . В данном случае центром стереографической проекции будет диаметрально противоположная к точке U

точка V , отвечающая ортогональному базисному состоянию V . В соответствии

геометрическая иллюстрация к данной стереографической проекции является весьма сложной и привести её здесь не представляется возможным.

1.9. Разложение произвольного состояния поляризации в ортогональном базисе и понятие близости состояний поляризации при представлении на комплексной плоскости.

87

поляризационного базиса. При этом обобщенная комплексная плоскость PUV

связана стереографической проекцией с поляризационной сферой, ось которой

(N–S) вертикально ориентирована в пространстве. Однако геометрическое

отображение связи точек поляризационной сферы и обобщенной комплексной

плоскости (в частности – соответствие линий постоянного азимута и постоянной эллиптичности) будет весьма сложным. Поэтому, во избежание

усложнения картины отображения, в данном подразделе используется

подробно рассмотренная стереографическая проекция сферы Римана на круговую комплексную плоскость.

Рассмотрим три точки на круговой комплексной плоскости (Рис.1.17). Из них две точки P, PORT изображают ортогональные состояния поляризации единичных ортов некоторого эллиптического поляризационного базиса, а

третья точка P1 изображает некоторое произвольное состояние поляризации.

Произвольное состояние поляризации P1 , обладающие единичной интенсивностью I, может быть разложено в ортогональном эллиптическом базисе P, PORT на две составляющие с поляризациями P и PORT ,

интенсивности которых представляют собой доли I1 и I2 полной интенсивности

I.

Im PRL

P

Каждое из этих расстояний определяется евклидовой метрикой на множестве чисел комплексной плоскости [18], в которой под расстоянием между точками

определим расстояния

Подставляя выражение (1.80а) в первое из соотношений (1.77) и учитывая, что

Доля интенсивности, отвечающая орту PORT , ортогональному к орту P ,

определяется подстановкой выражения (1.80а) во второе из соотношений (1.77):

Рассмотрим теперь интерпретацию выражений (1.81a,б), предложенную Р.

Аззамом и Н. Башара [14]. Указанные авторы ввели понятие меры «близости»

Величина N была названа ими «функция близости» [14]. При этом было показано, что функция близости обладает следующими свойствами: