Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Том 1. Поляризация плоских электромагнитных волн и её преобразования

Физический смысл унитарного преобразования состоит в сохранении полной энергии анализируемой волны при переходе от одного базиса к другому.

Необходимо обратить внимание на тот факт, что матрица перехода от базисных круговых поляризаций к линейным построена из ортонормальных векторов Джонса (1.38), представляющих круговые поляризации. Нетрудно видеть, что, если имеется только одна из круговых поляризаций ( eL , или eR ), то для случая единичной интенсивности волны

Умножив выражения (1.42) слева на матрицу, обратную матрице (1.40) (а из условия (1.41) следует, что матрица, обратная к некоторой унитарной матрице есть эрмитово сопряженная матрица), получим:

Выражения (1.43) описывают преобразование, которое придает базисным круговым поляризациям типовой вид. Эти соотношения описывают переход от представления базисных круговых поляризаций в линейном базисе к их описанию единичными круговыми векторами Джонса.

Тогда волна с произвольным состоянием поляризации, заданная своими проекциями в линейном базисе, может быть преобразована в круговой базис

51

умножением вектора Джонса этой волны на матрицу перехода (1.44а). Так,

например, вектор Джонса (1.28) эллиптического состояния поляризации при переходе в круговой базис определяется как:

Элементы вектора (1.45) представляют собой проекции эллиптически поляризованной волны на единичные орты кругового поляризационного базиса. Таким образом, определена форма матрицы перехода от синфазного поляризационного базиса «горизонтальная поляризация – вертикальная поляризация» к синфазному круговому поляризационному базису «левый круг

– правый круг». Рассмотрим теперь общий случай поляризационного базиса – эллиптический базис, поскольку предельными случаями этого базиса являются как линейный так и круговой поляризационные базисы.

1.4.3. Эллиптический поляризационный базис.

Анализ разложения эллиптически поляризационной волны в круговом ортогональном базисе показал, что единичными ортами этого базиса служат

ортогональные круговые поляризации с противоположным направлением

вращения. Линейный поляризационный базис характеризуется только

пространственной ортогональностью единичных ортов. Линейная поляризация представляет собой предельный случай эллиптической поляризации при обращении в нуль малой полуоси, а получающийся при этом линейно поляризованный вектор поля ориентирован вдоль большой полуоси исходного эллипса. Если мысленно построить ортогональный линейный базис и предположить, что его единичные орты получены путем «сжатия» двух эллипсов в направлении их малых полуосей, то становится очевидным, что два ортогональных в пространстве эллипса должны иметь взаимно-

перпендикулярные большие полуоси.

52

Однако интуитивно ясно, что пространственной ортогональности полуосей двух эллипсов недостаточно для того, чтобы векторы Джонса,

отвечающие этим эллипсам, были ортогональны в «поляризационном» смысле.

Действительно, если припомнить, что круговой поляризационный базис образован ортогональными круговыми поляризациями левого и правого направления вращения, а сами эти поляризации есть второе предельное состояние эллипса поляризации (при равенстве его полуосей), то становится ясным, что ортогональный эллиптический поляризационный базис должен быть образован двумя эллиптически поляризованными волнами единичной интенсивности, большие полуоси эллипсов поляризации которых перпендикулярны, а направления обхода эллипсов (направления вращения векторов электрического поля) противоположны (см. Рис.1.8).

Условие ортогональности векторов Джонса, отвечающих эллиптически

противоположный, что означает изменение направления вращения электрического вектора . Тогда

Таким образом, пара векторов Джонса, образующих эллиптический поляризационный базис, (в линейном представлении этих векторов) имеет вид

53

и удовлетворяет условию ортогональности e1 e2 0 .

Рис.1.8

Базисные векторы не только ортогональны, но также ортонормальны, так как

где единицы означает единичные «эллиптические» векторы Джонса. Подобная форма уже использовалась, при определении понятия кругового поляризационного базиса.

Для перехода от линейного поляризационного базиса к эллиптическому поляризационному базису необходимо построить матрицы перехода,,

аналогичные матрицам преобразования (1.40) и (1.44), которые связывают

54

линейный и круговой поляризационные базисы. Упомянутые матрицы были построены с использованием ортогональных векторов, отвечающих ортам кругового базиса. Аналогичным путем могут быть построены единичные орты эллиптического поляризационного базиса.

Прежде всего, необходимо пояснить процесс построения матрицы перехода, позволяющей получить представление эллиптических ортов в линейном базисе. Так, если необходимо получить это представление для первого эллиптического орта

то матрица преобразования должна иметь вид, который обеспечил бы запись вектора Джонса в линейном базисе в виде

Незаполненный столбец матрицы в данном случае ничего не определяет, так как вектор-столбец e1 имеет нулевой нижний элемент. Этот столбец можно заполнить, определяя переход в линейный базис для второго эллиптического единичного орта

является обратной к (1.49) и позволяет осуществить переход от представления в линейном базисе к представлению в эллиптическом базисе.

Конкретная форма матриц преобразования (1.49) и (1.50) определяется углом эллиптичности и азимутом поляризационного эллипса ортов эллиптического базиса. Используя вектор Джонса (1.28) и ортогональный к вектор (1.46) запишем эти матрицы в виде:

Эта матрица описывает преобразование линейно поляризованных волн в эллиптически поляризованные волны; при этом ориентация большой полуоси эллипса совпадает с ориентацией исходной линейной поляризации. Матрица

(1.52) называется оператором эллиптичности [14,15] и будет подробно изучена

56

и представляет собой еще одну форму матрицы перехода от линейного базиса к круговому поляризационному базису [9]. Определив матрицу

обратную к матрице (1.53), нетрудно видеть, что умножение единичных ортов кругового поляризационного базиса на матрицу (1.54) приводит к ортогональным векторам Джонса, заданным в линейном поляризационном базисе

и соответствующим волнам круговой поляризации.

Таким образом, матрицы (1.54) и (1.53) представляют собой унитарные матрицы прямого и обратного перехода между линейным и круговым

поляризационными базисами. Однако эти матрицы отличаются от матриц

прямого и обратного перехода (1.40) и (1.44а), рассмотренными в подразделе

векторы Джонса, отвечающие ортогональным волнам круговой поляризации будут записаны в линейном базисе как

поляризованных по кругу, в линейном базисе принимают вид:

а применение аналогичной операции к первому из пары векторов (1.55а)

Нетрудно видеть, что столбцовая часть этого вектора получена из первого вектора пары (1.55а) переходом (1.51). Перепишем пары векторов (1.55а,б) еще раз:

Из этой записи следует, что абсолютные фазы первой пары отличаются от абсолютной фазы второй пары.

58

модуля детерминанта унитарной матрицы преобразования, а его аргумент может быть произвольным.

Обычная форма перехода от линейного поляризационного базиса,

образованного синфазной парой горизонтальной и вертикальной линейных поляризаций к круговому поляризационному базису «правый круг – левый круг», может быть представлена матрицей вида:

, существует бесконечное множество матриц, описывающих переход от

линейного синфазного базиса в круговой базис. Отличие будет заключаться в

абсолютных временных фазах круговых поляризаций. Рассмотренные матрицы

F и L / 4 соответствуют следующим случаям:

Необходимо указать, что форма матрицы перехода зависит также от выбора направления вращения вектора электрического поля волны круговой поляризации, которая рассматривается как первый единичный орт кругового поляризационного базиса. Именно поэтому выше было указано, что матрица

(1.57) описывает переход из линейного базиса в круговой базис вида «правый круг – левый круг». Если за первый орт кругового базиса принять левую круговую поляризацию, то матрица перехода примет вид:

Для случая 0 матрица (1.58) принимает вид [10]

и соответствует переходу от синфазной пары «горизонтальная поляризация – вертикальная поляризация» в круговой базис вида «левый круг – правый круг».

Выбор конкретной формы матриц перехода будет определяться в дальнейшем как физическим смыслом задачи, так и удобством анализа.

1.5 Поляризационное отношение в линейном базисе и представление

состояний поляризации на декартовой комплексной плоскости.

Использование двухкомпонентного вектора Джонса эллиптически

поляризованной волны единичной интенсивности дает возможность представления состояний поляризации точками на комплексной плоскости.

Такое представление может быть использовано в случае, если опустить

информацию о размере эллипса поляризации и об абсолютной временной фазе эллиптически поляризованной волны. Поскольку эти параметры не определяют геометрию эллипса поляризации.

Вообще говоря, информация об эллипсе поляризации, обладающем углом

эллиптичности и азимутом , может быть получена, если найти отношение

составляющих вектора Джонса в линейном поляризационном базисе (как это было указано в подразделе 1.4.1):

отношением (или комплексным фазором) эллиптически поляризованной волны.