Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Том 1. Поляризация плоских электромагнитных волн и её преобразования

Поскольку отношение двух комплексных чисел d22 / d11 есть комплексное

есть произведение модулей сомножителей, а аргумент есть сумма аргументов

поляризационного отношения:

матрицы Джонса прибора изменяются, то точка POUT опишет некоторую траекторию на сфере.

Необходимо отметить, что в ряде случаев элементы d12 и d21 обращаются в нуль одновременно, что отвечает представлению матрицы Джонса в

собственной системе координат. При этом POUT d22 / d11 PINP и

преобразование (3.36) сводится к простому повороту с растяжением (сжатием).

Физически такое преобразование реализуется при помощи фазосдвигающего устройства, собственный базис которого совпадает с опорной системой координат.

В общем случае, если ни один из элементов матрицы Джонса не равен нулю, дробно-линейное преобразование (3.35) может быть записано

следующим образом:

Первое и третье из отображений (3.38) сводятся к растяжению (сжатию) с

поворотом и сдвигу. Выясним смысл второго преобразования:

симметричными относительно этой окружности. Теперь остаётся построить

1)инверсия относительно единичной окружности, при которой аргумент не изменяется, а модуль изменяется на обратную величину;

2)отражение относительно действительной оси, при которой модуль не изменяется, а аргумент меняет знак.

Используя изложенное, можно в соответствии с выражениями (3.38)

произвести геометрические построения, описывающие переход от

поляризационного отношения входной волны к поляризационному

отношению выходной волны POUT .

Завершая изложение вопросов геометрических построений, связанных с дробно-линейным преобразованием, укажем, что ранее рассмотренную

операцию вида P 1/ P , которая используется при определении

геометрического представления пары ортогональных поляризаций, не следует отожествлять с изложенной выше последовательностью операций. При определении поляризации, ортогональной к некоторой заданной, вначале проводят инверсию относительно единичной окружности, определяя точку,

отвечающую величине 1/ P , а затем завершают построение инверсией

213

относительно начала координат с целью построения точки, отвечающей

величине 1/ P .

Отметим, теперь, что дробно-линейное преобразование обладает рядом

некоторых специфических свойств, использование которых является весьма полезным в задачах построения и визуализации преобразований поляризации простыми приборами.

Первым из таких свойств является так называемое круговое свойство. Это свойство заключается в том, что произвольное дробно-линейное

преобразование (в случае det[d jl ] 0 ) отображает любую окружность на плоскости комплексного переменного PINP в окружность на плоскости POUT .

Это свойство можно сформулировать и по-другому: произвольное дробно-

линейное преобразование отображает любую окружность плоскости в

окружность плоскости POUT . При рассмотрении, проводимом на комплексной плоскости, прямые линии считаются окружностями бесконечного радиуса.

Свойство отображения "окружность в окружность", представляет собой чрезвычайно важную особенность дробно-линейных преобразований.

Рассмотрим это свойство применительно к кривым постоянного азимута и постоянной эллиптичности (рис.3.5). Здесь сплошные кривые отвечают эллипсам поляризации, имеющим постоянный азимут, а штриховые -

постоянную эллиптичность (декартова комплексная плоскость).

Если эллипс поляризации волны на входе простого прибора имеет постоянный

214

Рис.3.5

Произведём для примера геометрические построения, отвечающие

нескольким простейшим преобразованиям, совершаемым над волнами,

изображающие точки которых лежат на окружности постоянного азимута.

построить изображение любой точки, лежащей на окружности. Произведём построение для четырёх точек (две точки, изображающие исходные круговые поляризации, определяемые пересечением окружности Ro с осью ImP0 и две точки, изображающие линейные поляризации входной волны, определяемые пересечениями окружности Ro с осью Re P0 ) и одной произвольной точки С,

лежащей на окружности Ro (рис.3.6).

215

Если теперь провести через любые из трёх полученных после преобразования точек окружность, то можно наглядно убедиться в том, что, действительно, все точки, изображающие поляризации преобразованных входных волн,

отвечающих окружности Ro, лежат на окружности R1.

Рассмотрим еще один пример, связанный с построением отображения

фазосдвигающим устройством при рассмотрении в его собственном базисе.

Поскольку в данном случае вектор Джонса на выходе устройства определяется как

дополнительный фазовый сдвиг между ортогональными составляющими,

вносимый фазосдвигающим устройством. Таким образом, данное преобразование сводится к простому повороту (Рис.3.7).

Рис.3.7

Задав три точки на некоторой окружности Ro, можно убедиться в том, что после

преобразования [18]. Если в выражении (3.35) разделить числитель и знаменатель на любой из элементов матрицы Джонса, то, как можно увидеть,

дробно-линейное преобразование определяется всего тремя комплексными

Это обстоятельство позволяет осуществить следующую операцию: если на

преобразования (элементы матрицы Джонса). Искомая операция при конечных

Применительно к простым приборам это свойство можно сформулировать следующим образом: если известен отклик простого прибора на три различные поляризации падающей волны, то его отклик на все другие поляризации полностью определён. Кроме того, всегда можно найти элементы преобразования, которое отображает состояние поляризации падающих волн из круговой области на плоскости P в заданную круговую область на плоскости

P1 . При этом выражение (3.40) обеспечивает необходимое отображение, если заданы три точки на каждой из окружностей, ограничивающих эти области. По сути дела, изложенное свидетельствует о возможности синтеза простого

прибора, осуществляющего необходимое нам преобразование поляризации.

Возможна и ещё одна трактовка этого свойства, связанная с определением характеристик радиолокационного объекта, в случае, если этот объект можно считать простым прибором, характеризуемым некоторой матрицей Джонса. Если облучить объект последовательно тремя

радиолокационным объектом, т.е. определить его поляризационные параметры.

преобразований поляризации простыми приборами. Это свойство заключается в том, что дробно-линейное преобразование всегда имеет две фиксированные

(инвариантные) точки P01 и P02 , которые при определённых условиях могут совпадать.

Применительно к простым приборам это свойство трактуется следующим образом: каждый простой прибор имеет две собственные поляризации (т.е.

поляризации, которые не изменяются при прохождении через этот прибор),

218

которые соответствуют двум инвариантным точкам дробно-линейного преобразования. Математическое определение поляризационного отношения для входных волн, отвечающих собственным поляризациям, можно ввести на основе общей записи (3.35) дробно-линейного преобразования, используя условие неизменности состояния поляризации на выходе прибора по сравнению с состоянием поляризации на входе. Это условие можно записать в

корни, которого и представляют собой поляризационные отношения для собственных поляризаций:

структуры сигналов будем использовать взаимосвязь представлений поляризации на комплексной плоскости и на поляризационной сфере. Удобство

использования поляризационной сферы по сравнению с комплексной

плоскостью заключается в том, что на ней можно отобразить поведение функций на всей комплексной плоскости, включая точку на бесконечности.

Принимая точку сферы, диаметрально противоположную точки касания плоскости и сферы за центр стереографической проекции, можно спроецировать все точки комплексной плоскости на сферу. Точка касания и противоположная ей точка образуют поляризационный базис. (Напомним, что при введении понятия поляризационной сферы была использована круговая комплексная плоскость. Последнее обусловило тот факт, что полюса сферы отвечают круговым поляризациям левого и правого направления вращения.)

Рассмотрим простой пример, демонстрирующий представление

преобразований поляризации на сфере.

Зададим поляризационную сферу единичного диаметра, полярная ось которой

ориентирована вертикально (рис.3.8). Из результатов Главы 1 следует, что уравнения стереографической проекции, связывающие точки, лежащие на поверхности сферы единичного диаметра, с точками комплексной плоскости,

касающейся сферы, без особых трудностей трансформируются в модифицированные уравнения стереографической проекции, связывающие комплексную плоскость и сферу Пуанкаре. Поэтому, все рассуждения,

проведенные для случая использования поляризационной сферы единичного диаметра, будут справедливы и для сферы Пуанкаре.