Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Том 1. Поляризация плоских электромагнитных волн и её преобразования

Прибор, характеризуемый матрицей Джонса (3.26) называется идеальным линейным поляризатором (проектором). Такой прибор полностью пропускает или полностью гасит (поглощает) падающую линейно-поляризованную волну в зависимости от того, параллельна или перпендикулярна к оси пропускания ориентация электрического вектора этой волны.

Матрицу Джонса поляризатора, ось пропускания которого ориентирована по оси OY, можно получить путём рассуждений, проведённых выше. В случае произвольной ориентации собственных осей поляризатора относительно опорного базиса следует воспользоваться процедурой определения вида матрицы Джонса при повороте системы координат, рассмотренной в предыдущем параграфе:

нетрудно получить частные случаи матрицы Джонса поляризатора, ось

Рассмотрим теперь структуру волны, прошедшей через линейный поляризатор,

Будем считать, что входной вектор Джонса задан в системе координат ХОY , а

ось пропускания поляризатора ориентирована под углом относительно оси

OХ.

Пусть на входе поляризатора задана линейно-поляризованная волна единичной

Проводя несложные тригонометрические преобразования, запишем выходной вектор Джонса в наиболее удобной форме, позволяющей установить смысл воздействия поляризатора на падающую линейно-поляризованную волну:

Из данного выражения следует, что волна на выходе поляризатора поляризована линейно по оси пропускания поляризатора и имеет амплитуду,

определяемую косинусом разности азимутов входной и выходном волн. Таким образом, амплитуда выходной волны (выходного вектора) есть не что иное, как проекция входного вектора на ось пропускания поляризатора. Отсюда следует,

что линейный поляризатор осуществляет операцию проецирования входной волны на ось пропускания. Поэтому поляризатор называют проектором, а

отвечающую ему матрицу Джонса - проекционным оператором. Проекционные операторы изучаются в математике и обладают рядом свойств, которым полностью удовлетворяет матрица Джонса линейного поляризатора.

В частности, детерминант проекционного оператора равен нулю, что свидетельствует о принадлежности его к классу вырожденных операторов.

Кроме того, при возведении проекционного оператора в квадрат его вид не

Вслучае если на входе поляризатора имеется эллиптически-

поляризованная волна, то, как сейчас будет показано, выходная волна поляризована линейно по оси пропускания, но амплитуда её зависит не только от разностей азимутов, но и от величины угла эллиптичности входной волны.

Запишем вектор Джонса входной волны единичной амплитуды через угол эллиптичности и азимут эллипса поляризации:

202

Тогда, произведя операции перемножения и простейшие преобразования,

получим

поляризованной волны.

Из выражения (3.29) следует, что при наличии на входе поляризатора эллиптически поляризованной волны выходная волна поляризована линейно по оси пропускания поляризатора, а её амплитуда определяется как углом

эллиптичности, так и азимутом эллипса поляризации волны на входе.

В случае если волна на входе поляризована по кругу, то, в силу неопределённости её азимута, выражением (3.29) пользоваться неудобно.

Поэтому целесообразно эффект на выходе поляризатора для волны круговой

поляризации определить в виде

Таким образом, в случае, если входная волна поляризована по кругу, то амплитуда выходной волны уменьшается в 2 раз независимо от ориентации поляризатора.

Технически линейные поляризаторы сантиметрового диапазона волн представляют собой прямоугольные волноводы. При этом ось пропускания ориентирована перпендикулярно к широкой стенке волновода. В метровом диапазоне поляризатором является линейный вибратор.

Итак, анализ дихроичного прибора, обладающего линейными

203

собственными поляризациями, показал, что в предельном случае этот прибор является линейным поляризатором, пропускающий без потерь волну,

поляризованную по оси пропускания и поглощающий волну, поляризованную по оси гашения.

Если собственные поляризации дихроичного прибора являются эллиптическими, то в идеальном случае такой прибор будет представлять собой эллиптический поляризатор, пропускающий без потерь волну, эллипс поляризации которой отвечает собственной поляризации оси пропускания и поглощающий волну, отвечающую оси гашения. Поскольку собственный базис ортогонален, состояния поляризации пропускаемой и поглощаемой волн также ортогональны. Поскольку эллиптическое состояние поляризации является наиболее общим, то следует ожидать, что частными случаями эллиптического поляризатора будут линейный и круговой поляризаторы.

Проведём анализ матрицы Джонса идеального эллиптического поляризатора, считая, что азимут большой полуоси эллипса поляризации,

отвечающего оси пропускания, ориентирован по орту ОХ опорной системы координат. Тогда матрица Джонса в собственном базисе поляризатора,

который, естественно, является эллиптическим, имеет вид

В случае если азимут эллипса поляризации оси пропускания ориентирован по орту OY опорной системы координат, то матрица Джонса записывается как

Форма матриц (3.31а,б) свидетельствует о том, что из вектора Джонса любой волны, заданной в эллиптическом базисе, на выходе поляризатора имеется только та эллиптически-поляризованная проекция, которая отвечает соответствующей оси пропускания:

204

Целесообразно было бы определить матрицу Джонса поляризатора таким образом, чтобы она имела вид, удобный для использования в любом базисе.

Проделаем это следующим образом:

Преобразуем оператор (3.31а) в соответствии с правилом преобразования матрицы Джонса при переходе из эллиптического базиса в линейный:

где L и L 1 есть унитарные матрицы прямого и обратного перехода от линейного поляризационного базиса к эллиптическому базису.

Тогда матрица Джонса эллиптического поляризатора в линейном базисе

Поскольку поляризационное отношение для эллиптически поляризованной волны, характеризуемой параметрами , , имеет в линейном базисе вид

PXY (S C jC S )(C C jS S ) 1 ,

то элементы матрицы Джонса (3.33) идеального эллиптического поляризатора можно записать, используя поляризационное отношение, характеризующее

205

эллипс поляризации, отвечающий оси пропускания:

Форма записи матрицы Джонса в виде (3.34) является весьма удобной, так как после подстановки в эту форму выражение для поляризационного отношения,

заданного в используемом базисе, необходимый оператор будет найден без особого труда. Так, например, поскольку поляризационное отношение для эллиптически поляризованной волны в круговом базисе имеет вид

то матрица Джонса эллиптического поляризатора (с точностью до постоянного множителя) в круговом базисе записывается как

При этом ось пропускания кругового идеального поляризатора отвечает левой или правой круговой поляризации соответственно.

3.6 Представление преобразований поляризации на комплексной

плоскости.

При решении инженерных задач математический формализм матриц

206

Джонса необходимо сопровождать визуальными геометрическими построениями, иллюстрирующими процессы формирования и преобразования поляризационной структуры радиосигналов. К таким представлениям относится изображение поляризации электромагнитных волн на сфере Пуанкаре и на комплексной плоскости.

Очевидно, что воздействие простого прибора на электромагнитную волну должно, в общем случае, привести к перемещению точки, изображающей поляризацию входной волны на сфере, в положение, соответствующее поляризации выходной волны. Однако, если представление поляризации волны точкой на сфере Пуанкаре может быть построено без особого труда, то процедура, определяющая траекторию перемещения изображающей точки из исходной позиции (входная волна) до конечной (выходная волна) на основе простейших соображений построена быть не может. Конечно, для каждого конкретного прибора, при заданных конкретных параметрах можно, зная входной и выходной векторы Джонса, определить исходную и конечную точки траектории. Но в процессе анализа и проектирования устройств, формирующих и преобразующих поляризацию радиолокационных сигналов, приходится иногда анализировать целый ряд вариантов. При этом желательно владеть не только способом построения конечных точек траектории, но и знать общие законы перемещения изображающей точки.

Эти законы могут быть установлены на основе построения представлений преобразования поляризации на комплексной плоскости, связанной со сферой Пуанкаре стереографической проекцией [18].

Напомним, что уравнения стереографической проекции были определены соотношениями (1.68). Они имеют вид

и взаимно-однозначно связывают точки комплексной плоскости (в данном случае – точки круговой комплексной плоскости) с точками, лежащими на

207

поверхности сферы единичного диаметра (сферы Римана). В Главе 1 было также показано, что переход от сферы Римана к сфере Пуанкаре, имеющей единичный радиус, может быть реализован с использованием уравнений

(1.70a-г). Новые уравнения стереографической проекции, взаимно – однозначно связывающие точки комплексной плоскости с точками, лежащими на поверхности сферы Пуанкаре, имеют вид:

S3

PRE

RL PRL

S1 Re PRL

Рис. 3.3

Рис.3.3 демонстрирует связь между точками круговой комплексной плоскости

P RL с точками, лежащими на поверхности сферы Пуанкаре. По сравнению с Рис.1.14а (см Гл.1), который демонстрирует связь точек комплексной плоскости и сферы Римана, круговая комплексная плоскость на Рис. 3.3 совпадает с экваториальной плоскостью сферы Пуанкаре.

Отображение состояний поляризации точками комплексной плоскости было рассмотрено в Главе 1 с использованием линейного и кругового поляризационных базисов. При этом было показано, что произвольное

208

эллиптическое состояние поляризации, характеризуемое некоторым углом

поляризационного базиса комплексная плоскость может быть декартовой,

круговой или обобщенной.

Возвратимся теперь к вопросам преобразования поляризации плоских волн

простыми приборами.

Если имеется некоторый простой прибор, характеризуемый матрицей

а соответствующее ему комплексное поляризационное отношение определяется как

входного и выходного векторов Джонса соответственно.

Выражение (3.35) связывает поляризационные отношения входной и выходной волн дробно-линейным преобразованием, коэффициентами которого являются элементы матрицы Джонса простого прибора. Отметим сразу же, что выражение (3.35) обратимо. Это выражение позволяет определить параметры эллипса поляризации входной волны при известной поляризации волны на выходе прибора. Обращённое выражение имеет вид:

При рассмотрении дробно-линейного преобразования (3.35) в общем случае

Физический смысл последнего выражения заключается в том, что оно соответствует прибору, отражающему все возможные поляризации входной волны PINP , в единственную поляризацию выходной волны, имеющую поляризационное отношение POUT . Этим свойством обладает идеальный поляризатор (в общем случае - эллиптический), матрица Джонса которого имеет равный нулю детерминант.

В случае отсутствия дихроизма матрицы Джонса простых приборов унитарны, и имеют детерминант, модуль которого равен единице.

Продолжим анализ дробно-линейного преобразования (3.35), считая, что

det[d jl ] 0.

Геометрический смысл соотношения (3.36) заключается в растяжении (сжатии)

с поворотом и сдвигом. Последовательность построений при изображении этого преобразования на декартовой комплексной плоскости сводится к следующим операциям:

Представим, прежде всего, что комплексные плоскости PINP и POUT ,

отвечающие входному и выходному поляризационным отношения, наложены друг на друга так, что их координатные оси совпадают и пусть точка PINP

изображает поляризацию исходной волны (3.36).

210