Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Том 1. Поляризация плоских электромагнитных волн и её преобразования

матрицей которой является эрмитова (2х2) матрица когерентности Bjl (0)

плоской квазимонохроматической волны, определенная в совпадающие моменты времени.

Введем теперь понятие разложения закона интерференции на основе разложения матрицы когерентности Bjl (0) .

Разложением закона интерференции назовем запись эрмитовой формы

(2.78), соответствующей этому закону, в виде суммы независимых слагаемых,

каждое из которых представляет собой самостоятельный закон интерференции.

Число слагаемых эрмитовых форм при этом определяется видом разложения матрицы когерентности. Рассмотрим разложение закона интерференции для случая представление матрицы когерентности ее общей формой (2.70).

Подставляя (2.70) в эрмитову форму (2.78), получим

Каждое из слагаемых выражения (2.79) имеет смысл самостоятельного закона интерференции. Анализируя свойства слагаемых этого разложения, нетрудно видеть, что вклад первого слагаемого в общую интенсивность равен

131

и не зависит от угла ориентации поляризатора. Из выражения (2.80) следует,

В случае выполнения условия (2.85) абсолютные экстремумы величин (2.84)

определяются как

Видность, равная единице, наблюдается в законах интерференции полностью когерентных волн, что в данном случае имеет смысл полной поляризованности волны, отвечающей закону интерференции (2.81). Таким образом, второе слагаемое в разложении (2.79) закона интерференции частично поляризованной волны отвечает полностью поляризованной составляющей этой волны.

откуда следует, что интенсивность полностью поляризованной волны при ориентации поляризатора, совпадающей с ориентацией вектора волны,

передается на выход без изменения.

Поскольку тот же поляризатор передает на выход только половину мощности неполяризованной составляющей исследуемой волны независимо от

представляет собой отношение интенсивности полностью поляризованной составляющей к полной интенсивности волны, т. е. степень поляризации плоской квазимонохроматической волны. Подставляя в (2.89) выражение (2.63)

для собственных значений A1; A2 , получим уже известное нам выражение для степени поляризации, представленное через инварианты матрицы когерентности || Bjl ||

2.5 Разложение матрицы когерентности с использованием системы

матриц Паули.

Представление матрицы когерентности частично-поляризованной волны в виде суммы матриц, отвечающих ее абсолютно неполяризованной и полностью поляризованной составляющим, не является единственно возможной формой разложения.

Весьма эффективным для анализа частично поляризованных волн является разложение матриц когерентности с использованием полной системы линейно-независимых матриц Паули, дополненной единичной матрицей:

Алгебра этих матриц определяется следующими соотношениями [15]:

Если определить след первого матричного соотношения и воспользоваться третьим соотношением, то можно показать, что

раскрывающих коэффициентов при разложении матрицы когерентности частично-поляризованной волны по системе матриц Паули.

Обратная операция, проведенная с использованием выражения (2.92) дает представление матрицы когерентности через параметры Стокса:

Рассмотрим теперь некоторые математические аспекты связи между параметрами Стокса и матрицами Паули.

Параметры Стокса частично-поляризованной волны могут быть записаны в виде

и представляют собой средние значения некоторых эрмитовых операторов,

описывающих изменения поляризации волны, производимые измерительным прибором. Эрмитовость операторов обусловлена требованием действительности наблюдаемых в эксперименте величин, а собственные векторы эрмитовых операторов, отвечающих некоторым физическим приборам,

описывают частные состояния поляризации, которые пропускаются этим прибором без изменений. Из изложенного следует два вывода:

-возможно определение среднего значения эрмитова оператора (любой из матриц Паули) в виде некоторой действительной величины;

-возможно установление соответствия между эрмитовыми операторами Паули и некоторыми реальными физическими приборами.

Рассмотрим первый из этих выводов.

Математическое представление (2.92) соответствует оценке среднего значения оператора (матрицы Паули) путем проецирования матрицы когерентности на орты матричного базиса, образованного из матриц Паули. Однако возможен и другой подход:

Запишем соотношения (2.97) в виде

136

Нетрудно видеть, что после раскрытия векторно-матричных произведений в

(2.98) будет получены соотношения (2.97). Соотношения типа (2.98)

представляют собой так называемые средние значения эрмитовых операторов.

Таким образом, параметры Стокса частично-поляризованной волны есть не что иное, как средние значения операторов Паули.

Используя запись матрицы когерентности в форме (2.96), найдем выражение для степени поляризации через параметры Стокса. Представление матриц когерентности в виде суммы матриц, отвечающих абсолютно неполяризованной и полностью поляризованной составляющих волны, может быть записано в виде

Учитывая запись (2.96), а также то обстоятельство, что детерминант и след матрицы когерентности, выраженные через параметры Стокса, имеют вид

Нетрудно видеть, что второе матричное слагаемое, отвечающее полностью поляризованной составляющей волны, представляет собой вырожденную матрицу, т. к. ее детерминант равен нулю.

Интенсивность полностью поляризованной составляющей волны определяется

следом второго матричного слагаемого:

137

Следует отметить, что чисто формально выражение (2.102) может быть получено с использованием формы записи (2.96) и выражение (2.35) для степени поляризации, однако анализ, проведенный выше, является более наглядным.

Определим теперь векторы Стокса абсолютно неполяризованной и полностью поляризованной составляющих частично поляризованной волны. Для этого воспользуемся разложением каждого из матричных слагаемых в выражении

(2.101) по системе матриц Паули, дополненной единичной матрицей. Тогда для этих составляющих получим соответственно:

Здесь для краткости использована запись вектора Стокса в виде вектора-строки.

Таким образом, вектор Стокса абсолютно неполяризованный составляющей имеет только элемент S0(1) , равный разности полной интенсивности волны и интенсивности ее полностью поляризованной составляющей. Остальные параметры Стокса равны нулю, поскольку абсолютно неполяризованная волна не обладает каким-либо преимущественным направлением ориентации и преимущественным значением угла эллиптичности ее эллипса поляризации.

Указанные параметры в данном случае изменяются непредсказуемым образом и их средние значения равны нулю.

Напомним (см. Гл. I), что нормированные параметры Стокса полностью поляризованной волны связаны с параметрами ее эллипса поляризации следующим образом:

S1N cos 2 cos 2 ; S2 N cos 2 sin 2 ; S3N sin 2 .

Из изложенного следует, что параметры Стокса S1, S2 , S3 с последующим нормированием их к полной интенсивности волны S0 позволяют установить

138

геометрические параметры эллипса поляризации полностью поляризованной составляющей частично-поляризованной волны.

В заключение подраздела приведем весьма важную теорему [5,8],

известную под названием «Теорема Стокса», позволяющую определить параметры Стокса суммарного потока. В соответствии с этой теоремой параметры Стокса суммы независимых потоков излучения определяются аддитивной суммой параметров Стокса складываемых потоков. Доказательство не представляет труда: предположим, что имеется сумма статистически независимых флуктуирующих частично-поляризованных волн,

распространяющихся в одном направлении. Тогда комплексный вектор суммарной волны есть сумма комплексных векторов слагаемых волн:

Найдем матрицу когерентности волны (2.104), полагая, что слагаемые флуктуирующие волны представляют собой стационарные процессы. Это позволяет заменить условие статистической независимости более слабым условием некоррелированности. Тогда

а после усреднения с учетом некоррелированности слагаемых получим

где || B(jl ) ||- матрица когерентности слагаемых некоррелированных волн.

Разлагая суммарную матрицу когерентности (2.105) по системе матриц Паули,

дополненной единичной матрицей, видим, что:

139

2.6. Преобразование матрицы когерентности и параметров Стокса

при изменении поляризационного базиса.

При анализе поляризационных свойств частично-поляризованных волн,

который был проведен в предыдущих подразделах, использовался только

декартов (линейный) поляризационный базис. Изменение вида

поляризационного базиса не изменит физического смысла анализа и его результатов, но приведет к изменению конкретного представления элементов матриц когерентности и параметров Стокса.

Как будет показано ниже, определяющие значение для измерения

параметров Стокса имеет три вида поляризационных базисов, а именно:

-круговой поляризационный базис L, R , переход в который

осуществляется из линейного опорного поляризационного базиса.

Переход из базиса в базис осуществляется с использованием унитарных операторов перехода, рассмотренных в гл. I. Так, переход из линейного базиса в круговой и обратно осуществляется с использованием операторов