Физика

5.29.Пылинка с массой 2 мг и зарядом 10 мкКл, движется в вакууме под действием однородного магнитного поля в плоскости, перпендикулярной к линиям индукции поля. Магнитная индукция равна 0,4 Тл. Найти в СИ ускорение пылинки, если она движется равномерно по окружности со скоростью 0,2 м/с.

5.30.Альфа-частица влетает в однородное магнитное поле со скоростью

1000 км/с под углом 30 к линиям индукции поля. Найти в СИ величину магнитной индукции, если на альфа-частицу в магнитном поле действует сила Лоренца, равная 0,32 пН.

5.31.Определить в СИ ток в проволочной катушке, если энергия магнитного поля этого тока в катушке равна 6 Дж, а созданный при этом магнитный поток, пронизывающий катушку, равен 3 Вб.

5.32.На частицу с зарядом 40 пКл, которая движется в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции со скоростью 50 км/с, действует сила Лоренца 0,4 мкН. Найти в СИ длину прямолинейного проводника с током 6 А, помещённого в это же поле перпендикулярно линиям индукции, если на него действует сила Ампера 0,3 Н.

5.33.Сила Лоренца 3,6 мкН действует на частицу с зарядом 60 пКл, которая движется в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции со скоростью 150 км/с. Найти в СИ силу тока в прямом проводнике длиной 0,2 м, помещённом в это же магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, если на него действует сила Ампера 0,8 Н.

5.34.При уменьшении силы тока в проволочной катушке с 6 А до 4 А произошло уменьшение энергии магнитного поля на 2 Дж. Определить, на сколько вебер уменьшилась величина магнитного потока, пронизывающего катушку.

5.35.Найти в СИ силу тока, энергия магнитного поля которого в проволочной катушке равна 12,5 Дж, если известно, что при равномерном уменьшении тока со скоростью 2 А/с в катушке возникает э.д.с. самоиндукции 0,5 В.

5.36.При равномерном изменении тока в проволочной катушке со скоростью 2 А/с возникает э.д.с. индукции, равная 4 В. Определить в СИ силу тока, который необходимо пропустить через эту катушку, чтобы создать пронизывающий её магнитный поток 1 Вб.

5.37.При равномерном уменьшении тока в проволочной катушке от 12 А до 8 А за 2 секунды возникает э.д.с. самоиндукции 0,8 В. Определить в СИ энергию магнитного поля в этой катушке при токе 3 А.

5.38.На частицу с зарядом 1 нКл, которая движется в однородном постоянном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца 2 мкН. Определить в км/с скорость частицы, если известно, что на проводник длиной 0,2 м и с током 8 А, расположенный в этом же поле под углом

30 к линиям индукции, действует сила Ампера 0,4 мН.

5.39. Из тонкой проволоки длиной 12 м выполнена катушка индуктивности с круглым поперечным сечением площадью 3,14 см2. Витки в катушке намотаны в один слой. Катушку поместили в однородное магнитное поле так, что её ось параллельна линиям индукции. При нарастании магнитной индукции со скоростью 0,2 Тл в секунду, в катушке возникает э.д.с. индукции. Определить в СИ этуэ.д.с.

181

Задачи 6 класса трудности

6.1. Катушка с током 0,5 А и площадью поперечного сечения 100 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 2 Тл. Ось катушки перпендикулярна линиям индукции поля. Найти число витков катушки, если в магнитном поле на катушку с током действует момент сил 0,3 Н м.

6.2. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл находится катушка с площадью поперечного сечения 0,01 м2. Катушка содержит 15 витков, а её ось параллельна линиям магнитной индукции. Определить в СИ среднюю э.д.с. индукции, возникающую в катушке при её повороте вокруг оси, перпендикулярной к линиям индукции, на угол 90 за 0,5 с.

6.3.Прямой проводник с током 0,49 А находится в однородном магнитном поле. Проводник и пронизывающие его линии магнитной индукции взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. При какой величине магнитной индукции проводник будет висеть не падая? Масса единицы длины проводника 10 г/м. Ответ дать в СИ.

6.4.В однородном магнитном поле с индукцией 0,49 Тл находится проводник. Проводник и пронизывающие его линии магнитной индукции взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. При какой силе тока проводник будет висеть не падая? Масса единицы длины проводника 5 г/м. Ответ дать в СИ.

6.5.Катушка из 100 витков находится в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Ось катушки параллельна линиям магнитной индукции. При

повороте катушки вокруг оси, перпендикулярной к линиям индукции, на 90 за 0,2 с в катушке возникает э.д.с. индукции, среднее значение которой 0,5 В. Найти в СИ площадь поперечного сечения катушки.

6.6.Прямоугольная проволочная рамка площадью 40 см2 и с сопротивлением 0,1 Ом помещена в однородное магнитное поле с индукцией 0,3 Тл. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции поля. Найти в мА среднее значение силы тока, возникающего в рамке, если её за 0,2 с растянуть в линию, взяв за противоположные вершины.

6.7.Катушка с площадью поперечного сечения 30 см2 помещена в однород-

ное магнитное поле. Ось катушки составляет угол 60 с линиями индукции поля. Найти число витков катушки, если при равномерном изменении магнитной индукции от 0,2 Тл до нуля за 0,1 с в катушке возникает э.д.с. индукции 0,3 В.

6.8.Рамка площадью 300 см2 и с сопротивлением 2 Ом помещена в однородное магнитное поле. Плоскость рамки находится под углом 30 к вектору магнитной индукции. Определить в мА силу индукционного тока, возникающего в рамке при равномерном изменении магнитной индукции от 0,3 Тл до 0,1 Тл

втечение 3 с.

6.9.Катушка из 40 витков помещена в однородное магнитное поле с индукцией В. Площадь поперечного сечения катушки 50 см2, её ось параллельна линиям индукции. При повороте катушки вокруг оси, перпендикулярной лини-

ям индукции, на 90 за 0,2 с в ней возникает э.д.с. индукции со средним значением 0,1 В. Найти в СИ величину В.

182

6.10.В пространстве, где существуют одновременно однородные и постоянные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля, перпендикулярно к векторам E и B по прямолинейной траектории равномерно движется электрон. Найти в СИ модуль индукции магнитного поля, если напряжённость электрического поля 5 кВ/м, а скорость электрона равна 50 км/с.

6.11.Протон движется равномерно и прямолинейно в пространстве, где существуют одновременно однородные и постоянные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля, перпендикулярно к векторам E и B. Найти

вСИ скорость протона, если напряжённость электрического поля равна 8 В/м, а индукция магнитного поля 40 мТл.

6.12.Определить в мс период вращения заряженной частицы, влетевшей в

однородное постоянное магнитное поле с индукцией 3,14 мТл перпендикулярно к линиям B. Заряд частицы 5 нКл, масса частицы 1 10–14 кг.

6.13.Найти в СИ скорость электрона, который движется в пространстве, где существуют постоянные и однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля, перпендикулярно к этим полям. Известно, что электрон движется равномерно и прямолинейно, напряжённость электрического поля равна 50 В/м, а индукция магнитного поля равна 0,16 Тл.

6.14.Сила тока в катушке индуктивности в течение 0,1 секунды равномерно изменялась от 12 А до 4 А. При этом энергия магнитного поля, создаваемого катушкой, уменьшилась на 2 Дж. Определить в СИ среднее значение э.д.с. самоиндукции, возникшей в катушке при снижении тока.

Задачи 7 класса трудности

7.1.В однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл находится плоский виток площадью 100 см2. Плоскость витка перпендикулярна к линиям магнитной индукции. Сопротивление витка 0,2 Ом. Какой заряд протечёт по витку при исчезновении магнитного поля за время, равное 0,1 с? Ответ дать в мКл.

7.2.Плоский виток площадью 0,1 м2 находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к линиям магнитной индукции. При исчезновении магнитного поля за 0,15 с по витку протекает заряд 0,1 Кл. Найти в СИ сопротивление витка.

7.3.Катушка состоящая из 200 витков и с сопротивлением 0,5 Ом помещена в однородное магнитное поле. Площадь поперечного сечения катушки

100 см2. Ось катушки под углом 60 к вектору магнитной индукции. Найти в СИ силу индукционного тока, возникающего в катушке при равномерном изменении магнитной индукции от 0,4 Тл до 0,1 Тл в течение 2 с.

7.4.Катушка с площадью поперечного сечения 300 см2 и сопротивлением 0,15 Ом находится в однородном магнитном поле. Ось катушки параллельна линиям индукции поля. При равномерном изменении магнитной индукции от 0,2 Тл до нуля в течение 4 секунд в катушке возникает индукционный ток 0,4 А. Определить число витков в катушке.

7.5.Протон под действием однородного магнитного поля с индукцией 0,1 мТл равномерно вращается по окружности радиусом 5 см. Определить в мс

период вращения, считая удельный заряд протона равным 1 108 Кл/кг.

183

7.6. В однородном магнитном поле с индукцией В находится плоский виток площадью 50 см2. Угол между плоскостью витка и линиями индукции поля равен 30 . Сопротивление витка 0,05 Ом. При исчезновении магнитного поля за 0,1 с по витку протекает заряд 0,2 Кл. Определить в СИ величину В.

7.7.Катушка из 20 витков и с сопротивлением 0,2 Ом помещена в однородное магнитное поле. Её ось параллельна линиям магнитной индукции. При равномерном изменении магнитной индукции от 30 мТл до нуля за 0,5 с в катушке возникает индукционный ток 0,6 А. Найти в СИ площадь поперечного сечения катушки.

7.8.Альфа-частица под действием однородного магнитного поля равномерно вращается по окружности радиусом 3 см. Период вращения 0,628 мс. Определить в мТл величину магнитной индукции поля. Удельный заряд альфа-

частицы считать равным 0,5 108 Кл/кг.

7.9. Проволочная рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции поля. Рамку поворачивают вокруг оси, перпендикулярной к линиям индукции, на 90 . При этом по ней протекает заряд 30 мКл. Найти в СИ площадь рамки, если её сопротивление 0,5 Ом.

7.10. Катушка, имеющая 10 витков, площадь поперечного сечения 50 см2 и сопротивление 0,141 Ом, помещена в однородное магнитное поле. Ось катушки составляет угол 45 с линиями магнитной индукции. При равномерном изменении магнитной индукции от 0,2 Тл до нуля за время t в катушке возникает индукционный ток 0,5 А. Найти в СИ величину t.

7.11.В длинном цилиндрическом стержне диаметром 0,2 м создаётся однородное магнитное поле с индукцией, равномерно прирастающей за 0,25 секунды на 7,5 Тл. Вектор индукции параллелен оси стержня. В результате возникает вихревое электрическое поле. Определить в СИ напряжённость этого поля на поверхности стержня.

7.12.В некотором процессе, происходившем в течение времени , сила тока в катушке индуктивности равномерно изменялась. В результате энергия магнитного поля, создаваемого катушкой, уменьшилась на 0,35 Дж, а магнитный поток через поперечное сечение катушки уменьшился на 0,14 Вб. Определить в СИ среднюю силу тока, протекавшего в катушке в данном процессе.

7.13.В однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл расположена короткая катушка, содержащая 80 витков и обладающая сопротивлением 0,2 Ом. Витки намотаны в один слой, и каждый из них имеет форму квадрата со стороной 10 см. Линии индукции параллельны плоскостям витков. Катушку закоро-

тили и за время t повернули так, что плоскости витков стали перпендикулярными к линиям индукции. В процессе поворота в катушке протекал индукционный ток, и выделилась энергия 3,2 мДж. Считая индукционный ток постоянным, определить в СИ величину t.

7.14. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположена катушка, на которую в один слой намотан одножильный провод. Радиус катушки равен 6 см. При сматывании провода с катушки возникает разность потенциа-

184

лов между концами провода. Определить в СИ эту разность потенциалов, если ось катушки неподвижна и параллельна линиям индукции, а скорость размотки равна 18 м/с.

7.15. Чтобы измерить индукцию однородного магнитного поля, в него вносят катушку, состоящую из 20 витков, подключённую к гальванометру. Этот гальванометр измеряет прошедший через него заряд. Площадь поперечного сечения катушки 3 cм2, сопротивление измерительной цепи 2 Ом. Опыт повторяют многократно, меняя ориентацию катушки. Максимальное показание гальванометра оказалось равным 6 мкКл. Определить в мТл индукцию исследуемого магнитного поля.

185

ТЕМА 9. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 9.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Колебания – это движения (процессы), обладающие свойством повторяемости во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых состояние тела (системы) повторяется через равные промежутки времени.

Период колебаний Т – это наименьший интервал времени, через который повторяются значения величин, характеризующих колебательный процесс. Если за время t совершено N полных колебаний, то время, за которое совершается

Единица измерения частоты – герц: [v] = 1 Гц = 1 с–1.

Гармонические колебания – это колебания, при которых изменение физи-

Здесь x(t) – отклонение (смещение) физической величины от равновесного значения в момент времени t;

А – амплитуда колебаний (наибольшее абсолютное значение величины х); Ф(t) = ωt + φ0 – фаза колебания в момент времени t;

φ0 = Ф(0) – начальная фаза колебания;

ω – циклическая (круговая) частота колебания (скорость изменения фазы во времени).

Фаза колебания может измеряться как в радианах, так и В градусах. Пере-

Если величина х – смещение материальной точки вдоль оси X, то проекции скорости и ускорения на эту ось находятся путем дифференцирования по вре-

Здесь vmax = ωA и амaх = ω2A = ωvmax – амплитуды скорости и ускорения соответственно. Из: второго закона Ньютона следует выражение для проекции

9.2. ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК При смещении подвешенного на пружине тела массы т из положения рав-

новесия на него действует сила упругости, которая возникает при продольной деформации пружины. Проекция этой силы на направление смещения Fx = – kх,

186

где k – коэффициент жесткости пружины. Из (9.7) следует связь жесткости с

циклической частотой ω колебаний маятника:

k = тω2. (9.8)

Период колебаний пружинного маятника находится по формуле

Процесс колебания пружинного, маятника сопровождается периодическим переходом кинетической энергии WК тела в потенциальную WП и обратно, при

Согласно закону сохранения полной механической энергии: полная энергия численно равна потенциальной энергии в момент максимального отклонения тела (WK = 0), или кинетической энергии в момент прохождения телом положения равновесия (WП = 0):

9.3 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити дли-

ной l, совершает гармонические колебания в поле силы тяжести с периодом

где g – ускорение свободного падения в месте нахождения маятника. Формула (9.12) справедлива лишь для случая, когда точка подвеса маятника находится в состоянии статического равновесия относительно Земли. На математический маятник распространяются те же закономерности в поведении энергии, что и для пружинного маятника.

9.4. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Конденсатор емкостью С и катушка индуктивностью L составляют простейший (идеальный) колебательный контур (рис. 9.1, а), в котором с циклической частотой ω происходят свободные гармонические колебания заряда

где qmax, UC max = qmax/C и Imax = ωqmax – амплитуды, соответственно, заряда и напряжения на конденсаторе, а также силы тока в цепи контура.

Период T свободных электромагнитных колебаний в контуре находится по

Процесс колебаний в контуре сопровождается периодическим переходом энергии WC электрического поля конденсатора в энергию WL магнитного ноля

187

Полная энергия в контуре численно равна максимальной энергии электрического поля в конденсаторе (WL = 0), либо максимальной энергии магнитного

а) б)

Рисунок 9.1 – Колебательный контур: а) простейший (идеальный); б) в цепи переменного тока

9.5.ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Вобщем случае цепь переменного тока представляет собой колебательный контур (рис. 9.1, б), к которому приложено внешнее (вынуждающее) напряжение U(t), изменяющееся во времени по гармоническому закону с циклической частотой Ω:

9.5.1. Цепь с активным сопротивлением

Если цепь переменного тока содержит только лишь активное сопротивление R (С = 0 и L = 0, т.е. конденсатор и катушка отсутствуют), то ток в цепи колеблется в одинаковой фазе с внешним напряжением (9.19):

По своему тепловому действию активная цепь переменного тока эквивалентна цепи постоянного тока, сила которого и напряжение совпадают с действующими значениями (9.23).

9.5.2. Цепь с реактивным сопротивлением

Если цепь переменного тока содержит кроме активного сопротивления также и элементы с реактивным сопротивлением (конденсатор, катушка), то между током в цепи и внешним напряжением (9.19) возникает сдвиг фазы φ:

188

Закон Ома для мгновенных значений теперь неприменим, однако для дей-

где cosφ = R/Z – так называемый коэффициент мощности.

Теплота в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении R:

Резонанс в цепи переменного тока (резкое возрастание тока и напряжения) возникает при равенстве емкостного и индуктивного сопротивлений: ХC = ХL, откуда следует, что резонансная циклическая частота Ωрез вынуждающей ЭДС равна циклической частоте ω свободных колебаний в контуре:

Трансформатор – это система из двух обмоток, которые связаны одним сердечником, предназначенная для повышения или понижения напряжения в цепях переменного тока.

где P1 – мощность, подводимая к первичной обмотке, а Р2 – мощность, отдаваемая потребителю вторичной обмоткой.

9.6. ВОЛНЫ Волны – это изменения (возмущения) состояния вещества или поля, рас-

пространяющиеся в пространстве. Колебательный процесс в упругой среде называется упругими волнами. Распространяющиеся в пространстве колебания электрического и магнитного полей называются электромагнитными волнами. Источником последних может служить колебательный контур.

Длина волны λ – это ее пространственный период, т.е. расстояние между ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе колебания. Для

189

упругих волн можно также говорить, что длина волны – это расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения точек среды. Длина волны связана с периодом колебаний T и скоростью распространения волны v соотношением λ = vТ, откуда следует, что длина волны λ – это путь,

где х – смещение частиц среды от равновесного положения, r – расстояние от источника волны до наблюдателя (пройденный волной путь), k – волновое число, характеризующее набег фазы волны на единицу длины пути. Для волнового

Единица измерения волнового числа [k] = 1 рад/м. Абсолютное значение разности фаз двух колеблющихся в волне точек, находящихся на расстоянии l

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (воздухе) равна скорости света с (см. приложение 1). Соотношения (9.34) и (9.36) сохраняют силу и для электромагнитных волн:

9.7.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Груз, висящий на пружине, оттянули вниз и отпустили. За какое время от начала движения груз пройдет путь, равный половине амплитуды. Период колебаний груза равен 2,4 с? Ответ дать в единицах СИ.

Решение:

Запишем закон смещения груза от положения равновесия при гармонических колебаниях: x(t) = Asin(ωt +φ0). В начальный момент времени t = 0 смещение груза максимально, т.е. х(0) = А. Это означает, что sin(φ0) = 1, откуда определяем начальную фазу колебания: φ0 = π/2. Тогда закон колебания мо-

жет быть преобразован: x(t) = Asin(ωt + π/2) = Acos(ωt). В интересующий нас момент времени смещение груза от положения равновесия x(t) = А/2. Из равенства А/2 = Acos(ωt) следует, что cos(ωt) = 1/2, т.е. ωt = π/3. Учитывая, что циклическая частота ω связана с периодом колебаний Т соотношением ω = 2π/Т, получаем выражение для времени, за которое груз достигнет указанного поло-

2. Полная энергия колебаний груза на пружине равна 0,1 Дж. Определить максимальную силу, действующую на тело в процессе колебаний, если амплитуда колебаний составляет 5 см. Ответ дать в единицах СИ.

Решение:

190