Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
21
Применениесигнала сКИМвсистемахпередачи информации предполагаетдискретизацию полезногосообщения (t) какповремени так и поуровню (рис. 1.2,г). Изменение характера сообщения выполняется в аналого-цифровом преобразователе. В итоге возможные значения сообщенияобразуют конечный набор (множество) величин.
Вкаждомпериодеимпульсной поднесущей П(t), взаданныемоменты времени формируется импульсный код, соответствующий значению сообщения в данный момент времени. В простейшем случае кодовые комбинации образуются в виде систематическогодвоичногокода. В современныхцифровыхсистемахпередачиинформацииширокоприменяются псевдослучайные последовательности (ПСП) импульсов. Состояние ПСП (конкретная реализация) на некотором текущем интервале времени также зависит от значения сообщения. Количество различных состоянийПСП, те. . числоотличающихсядруготдругареализацийсчетно, конечно и должно обеспечить кодирование всех возможных значений сообщения (t). Существуют различныетипы ПСП. Широкое при- менениеполучилиПСПввидеМ-последовательностей, чтообусловлено простотойихформирования[2].
В случае, когда поднесущая П(t) является непрерывной функцией, впервойступениобычноприменяютодинизтрехосновныхвидовмодуляции: амплитудную(АМ), частотную(ЧМ) илифазовую(ФМ).
Рассмотрим теперь виды модуляции вовторой ступени — при образовании непосредственноВЧ-сигнала s(t, (t)).
ВовторойступенимодуляцииприформированииВЧ-сигналаs(t, (t)) сиспользованиемимпульснойподнесущей П(t), имеющейлюбуюизтрех типовмодуляции (АИМ, ВИМ, ШИМ) обычноприменяютАМ, ЧМили ФМ. ВРТСпередачиинформации, например, находятприменениесигналыАИМ — ЧМ, ВИМ — АМ, ШИМ — ЧМ.
Формирование переносчика информации s(t, (t)) на основе поднесущей с КИМ осуществляется путем манипуляции (скачкообразного изменения) амплитуды, частоты или фазы несущего сигнала (1.1). При этомвозможнысигналысамплитуднойманипуляцией ( АМн ), счастотнойманипуляцией ( ЧМн ) илисфазовойманипуляцией( ФМн ). Сигналы с ФМн называют обычно сигналами с фазокодовой модуляцией (ФКМ). На рис. 1.5,б показан ВЧ-сигнал с КИМ и двухуровневой (0 или ) ФМн несущейвовторойступенимодуляции (сигналсФКМ); на рис.1.5,в — ВЧ-сигнал с двумя ступенями модуляции типа ШИМ— АМ.
22
Вовторойступенимодуляциивслучаеприменениясигналовснепрерывной поднесущей П(t) также, как правило, реализуют один из трех типовмодуляции— АМ, ЧМилиФМ. Вчастности, вРТС применяются комбинации ЧМ — ФМ, АМ — ЧМи др.
При проектировании РТС передачи информации возникает задача выбора наиболее подходящего метода модуляции. В РТС извлечения информации, где процессмодуляции ВЧ-сигнала сообщением происходит вне системы, данная задача сводится к выбору целесообразной формыизлучаемого (зондирующего) сигнала. Рядважнейших ТТХРТС зависит от свойств сигнала s(t, (t)). Рассмотрим эти свойства.
1.3. Свойства радиосигнала как переносчика сообщения
1.3.1. Функция различия сигналов
ПрилюбыхспособахформированияВЧ-радиосигнала s(t, ), используемых в РТС различного назначения, предполагается, что сообщение(t) содержится в каком-либо параметре сигнала x(t). Характер взаимосвязи x(t) f (t) зависит от типа РТС и способа ее построения. В системах связи вид этой функции определен способом модуляции имодуляционнойхарактеристикойпередатчика.
Наприемной сторонеканалараспространениярадиоволн (РРВ) принятый радиосигналподлежитобработке— происходитизмерениепараметра x(t) — и витогеопределяетсяпереданноесообщение (t). Впростейшем случае информативным является один параметр сигнала, напримерамплитуда, частота, фазаиливременноеположение. Существуют идругиетипыРТС, вкоторыхинформативнымимогутбытьодновремен- нонесколькопараметровВЧ-сигнала.
Поскольку в канале РРВ или непосредственно в РТС возникают различного рода помехи, результат измерений всегда содержит ошибку, которая искажает сообщение. Степень искажения сообщения помехой зависит от уровня помехи и, что более важно, от способа модуляции ВЧ-сигнала.
Рассмотрим с математической точки зрения вопрос сравнения двух радиосигналов по устойчивости передаваемых ими сообщений к иска- жениюиз-запомех. ПустьнавходприемногоустройстваРТСпоступает искаженный помехой сигнал y(t,x0), где x0 — постоянный во времени
23
параметр, соответствующий сообщению 0 . Напомним, что в случае
аддитивной помехи y(t, 0 ) s(t, 0 ) + n(t).
Очевидно, чтовозможностьполучениянавходеприемниказначения сообщения, отличающегося (вследствие влияния помех) от 0 , будет темменьше, чемсильнееотличаютсяобразцысигнала s(t,x) друготдруга при двух различных значениях сообщения — 0 и произвольного . Таким образом, качествосигнала как переносчика информации определяетсястепеньюразличияфункций s(t, x0 ) и s(t,x). Посуществу, необходимо иметь величину, которая зависит от «расстояния» между двумя функциями. Напомним, чтовлинейномn-мерномпространствевекторов в качестве меры различия векторов а и b часто используют длину d разностноговектора d a – b. Введемкоординатноепредставлениевекторов: а ai ; b bi ; d di , где переменные с индексами являютсякоординатамисоответствующеговектора. Длинавектора а вn-мер- номвекторномпространствеопределяетсясоотношением
|
n |
2 . |
|
a |
ai |
(1.3) |
|
|
i 1 |
|
|
Тогдамераразличия d, равнаядлиневектора d, имеетвид
|
n |
bi )2 . |
|
d |
(ai |
(1.4) |
|
|
i 1 |
|
|
Введеманалогичноепосодержаниюпонятиедлясигналов. Будемрассматривать функции на конечном интервале времени (0;Т). Последовательностьотсчетовфункции s( ti , x) si , взятыхвмоментывремени ti , с интервалом дискретизации t T/n, где n — число отсчетов, можно рассматривать как n-мерный вектор s si . Таким образом, при дискретном представлении функций s(t, x0 ) и s(t, x) вкачестве мерыих различияцелесообразноиспользоватьвеличину, равную
n |
|
[s(ti , x0 ) s(ti , x)]2. |
(1.5) |
i 1
Очевидно, чтовеличина(1.5) изменяетсянетолькоприразличииформ сигналов, но и в случае, когда они отличаются только масштабом, т.е. s(t,x) k s(t, x0 ). Дляисключениявлияниямасштабногомножителя
24
k намеруразличияформсигналовпронормируемвеличину(1.5) наквадрат модуля одногоиз векторов. В результате получим отношение следующеговида:
n |
|
|
s(ti , x0 ) s(ti , x) 2 |
|
|
i 1 |
. |
(1.6) |
n
s2 (ti , x0 )
i 1
Запишем выражение (1.6) в непрерывной форме. Будем считать, что количествоточекотсчетанеограниченнорастет, те. . онисближаются. При этомсоответствующиесуммыпереходятвинтегралы. Витогевкачестве мерыразличиясигналов s(t, x0 ) и s(t, x) получимвеличину
|
1 |
T |
|
|
(x, x0 ) |
s(t, x0 ) s(t, x) 2 dt, |
(1.7) |
||
E |
||||
|
s |
0 |
|
|
где |
|
|
||
|
|
T |
|
|
Es (x0 ) s2 (t, x0 )dt — |
(1.8) |
|||
|
|
0 |
|
|
энергиясигналапрификсированномзначенииинформативногопараметраx0, cоответствующегосообщению 0 . Присравнениивыражений(1.3) и(1.8) видно, чтодлинавектора, изображающегосигнал, равнаквадратномукорню из егоэнергии. В практических задачах мера различия, определенная по (1.7), обычноявляется функцией разности x (x0 – x).
Функцияразличия ( x) принимаеттолькоположительныезначения, проходит при x 0 через нуль и возрастает (иногда немонотонно) с увеличениемабсолютногозначенияаргумента x. Быстроевозрастание( x) с увеличением x показывает, чтодаже малое изменение параметра x вобразцесигналаприводиткрезкомуувеличениюмерыразличия . Следовательно, это различие легко обнаружить и труднее исказитьпомехой. Сигналысбыстронарастающейфункциейразличия ( x) могут обеспечить передачу сообщений с меньшими искажениями. Таким образом, повидуэтой функции можносудить окачестве используемого сигнала s(t,x) как переносчика сообщения.
Похарактерувлиянияпараметра x навеличинуэнергиисигнала Es всеметодымодуляции, используемыевРТС, можноотнестикдвумгруп-
25
пам. Кпервой (неэнергетической) относятсяметоды, при которыхэнергия сигнала не зависит от величины модулируемогопараметра x. В эту группувходитбольшаячастьпрактическииспользуемыхрадиосигналов, при формировании которых впоследней ступени модуляции не используется АМ, а также ряд сигналовс АМ в последней ступени, например: ВИМ — АМ. Ко второй группе (энергетической) относятся методы модуляции, прикоторыхэнергиясигнала Es зависитотинформативногопараметра x. К ним относятся сигналы АМ, АИМ — АМ, ШИМ — АМи др.
Посколькуприиспользовании неэнергетическихметодовмодуляции энергия сигнала Es и, соответственно, длина вектора сигнала в (1.8) не зависят от параметра x, то, очевидно, его изменение влечет только поворотвекторасигнала. Такимобразом, вслучаенеэнергетическихметодовмодуляцииконцысигнальныхвекторов, соответствующихразным значениямпараметра x, лежатнаповерхностиn-мернойсферырадиуса 
Es . В цифровыхрадиосистемах передачи информации (РСПИ) дискретномумножествузначений параметра x и связанномус нимсообщению , соответствуетконечноемножествоизолированныхточекнасфере (сигнальныхвекторов).
Длянеэнергетическоймодуляциивыражениефункцииразличия ( x) запишем виной форме. Раскрываяквадрат в выражении (1.7), с учетом (1.8) получим
( x) 2 1 q( x) , |
(1.9) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
q( x) |
E |
|
|
s(t, x ) s(t, x)dt . |
(1.10) |
|
|
|
|||
|
|
s 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Зависимость q( x) в теории РТС носит название сигнальной функ-
ции. Из (1.10) следует, что модуль сигнальной функции не превышает единицы, т.е. |q( x)| 1. Быстроеспаданиефункции q( x) сувеличением x x0 – x обусловлено таким поворотом сигнального вектора s si приизменениипараметраотзначения x0 к x, прикоторомрезкоувеличиваетсярасстояниемеждусигналами. Вэтомслучаеприращениевекторасигналавследствиедобавлениякнемувекторапомехиприведеткменьшейошибкеприизмерениипараметра x.
Существуют сигналы, для которых функция q( x) уменьшается немонотонно и имеет выбросы, сравнимые по уровню с единицей. Это
26
означает, что при некоторых значениях параметра x и, следовательно, сообщения , концы сигнальных векторов, находящиеся на n-мерной сфере сближаются в пространстве. Применение ВЧ-сигналов, сигнальная функция которых обладает подобным свойством, связано с опасностьюпоявлениябольших(аномальных) ошибокдажепридействиисравнительномалыхпомех.
В некоторых типах РТС радиосигнал содержит одновременно m различныхсообщений, тоестьсообщениеявляетсявекторнойфункцией(t) 1(t), 2 (t), , m (t) . В этом случае возникает задача совместногоизмерениянесколькихпараметроврадиосигнала. Очевидно, чтопри m 2 сигнальная функция для неэнергетического способа модуляции принимаетследующийвид:
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
q(x |
, |
0 |
, x, ) |
E |
|
|
s(t, x , |
0 |
)s(t, x, )dt , |
(1.11) |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
s 0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x0 , 0 , x, — значения двух модулируемых параметров радиосигнала, соответствующие двум значениям векторногосообщения 0 и . Частов практических задачах числопеременных уменьшается додвух:x x0 x и 0 , т.е. функция (1.11) зависит фактически от разностиаргументов.
ДляРТСпередачи иизвлеченияинформации важнымявляетсячастный случай, когда полезное сообщение, являясь двумерным, содержится вовременном положении сигнала и в сдвиге егочастотногоспектра. ВРЛ- и РН-системахэтосоответствуетрежимуодновременногоопреде- ления дальности и скорости объекта путем совместного измерения времени задержки и допплеровского смещения частоты радиосигнала в месте приема. В системах мобильной радиосвязи подобная задача связанаснеобходимостьювременнойсинхронизацииприемникаприодновременном слежении за изменением несущей частоты радиосигнала, возникающим при взаимном перемещении пунктов передачи и приема. Рассмотрим свойства сигнальной функции (1.10) в этом частном и важномвинженерной практикеслучае.
27
1.3.2.Частотно-временная корреляционная функция сигнала
Допустим, что немодулированный сообщением радиосигнал имеет вид (1.2), s(t) S(t)cos 0t Ф(t) 0 , и является узкополосным. Напомним, чтовэтомслучаефункцииамплитудной S(t) ифазовой Ф(t) модуляции изменяются во времени значительно медленнее, чем cos( 0 t). Длясигналатакоготипахарактерноотношение ( / 0 ) 1, где — ширина спектра сигнала. Обращаясь к выражению (1.11), будем считать, чтопараметр x0 t0 и соответствуетвременномуположению сигнала t0 ; параметр v0 0 , то есть соответствует несущей частоте. Запишем измененные значения параметров x t0 и v 0 . Величина t0 зависитотначалаотсчетавремени. Безпотери общностидальнейшихвыводов, положим t0 0. Отметим, чтовременное положение и частота узкополосного радиосигнала практически не влияютнаегоэнергию. Получимвразвернутойформевыражениефунк-
ции (1.11).
Воспользуемся комплексным представлением сигнала в виде s(t) Re S(t)ei 0t , где S(t) S(t)eiФ(t) — комплекснаяогибающаясигнала. Для записи сигнальной функции в комплексном виде используем
соотношение Re(u)Re(v) 0,5 |
|
|
|
, |
|
|
Re(uv) Re(uv |
) |
где v |
— комплекс- |
|||
носопряженнаявеличина. Всправедливостиприведенногосоотношения для любых комплексных величин можно убедиться непосредственной проверкой.
Врассматриваемомчастномслучаеобозначимсигнальнуюфункцию символом k. Используяформулу(1.11), представимвыражениесигнальнойфункцииввиде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k( , ) |
|
s(t, 0 ) s (t );( 0 |
) dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
iФ(t) |
|
i 0t |
|
|
iФ(t ) i( 0 )(t ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2E |
|
S(t)e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
S(t )e |
|
|
e |
dt + |
|
|||||
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
|
|
iФ(t) |
|
i 0t |
|
|
|
iФ(t ) |
|
i( 0 )(t ) |
|
||||||
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
2E |
s |
S |
(t)e |
|
e |
|
|
|
|
S(t )e |
|
|
e |
|
dt . |
(1.12) |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Приобъединениипоказателейстепенивподынтегральномвыражении первого слагаемого получим сумму вида i Ф(t) Ф(t ) 2 0tt ( 0 ) . Интегрирование по переменной t c учетом свойства узкополосности сигнала и быстроосциллирующих сомножителей cos(2 0t) и sin(2 0t) для первого слагаемого дает результат близкий к нулю. Объединяя показатели степени во втором слагаемом, получим сумму i Ф(t) Ф(t ) t ( 0 ) . Видно, что подынтегральная функция второго слагаемого не содержит высокочастотных знакопеременных сомножителей, зависящих от переменной интегрирования t. Можно полагать, что результат интегрирования в (1.12) фактически определяетвтороеслагаемое, исигнальнаяфункцияимеетвид
k( , ) 1 2Es
T
Re S(t)
0
|
i t |
|
i( 0 |
|
|
dt e |
) |
(1.13) |
|||
S |
(t )e |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вкоординатах ( , ) сигнальнаяфункция(1.13) представляетнекоторуюповерхность, котораявдольоси (при 0) имеетхарактерчастыхзатухающихколебаний спериодом 2 / 0 .
Вычисление интеграла в (1.13) дает функцию двух переменных —и , причемдостаточномедленноизменяющуюсяпо посравнению с cos( 0t). Фактическивыражениевквадратныхскобкахформулы(1.13) выполняетролькомплекснойогибающей, и можнозаписать
|
i( 0 |
) |
, |
k( , ) Re K( , )e |
|
|
гдекомплекснаяогибающая
|
1 |
|
T |
||||
K( , ) |
|
S(t) S (t )ei t dt |
|
K( , ) |
|
ei ( , ) . |
|
|
|
|
|||||
2E |
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
s 0 |
|||||
(1.14)
(1.15)
Модуль K ( , ) K( , ) по существу есть огибающая сигнальной функции (1.14), ( , ) — фаза сигнальной функции.
Следует отметить, что в рассмотренном частном случае, сигнальная функция k( , ) является частотно-временной корреляционной функ-
цией узкополосного сигнала (1.2). Сечение функции k( , 0) k( )
является временной автокорреляционной функцией (АКФ) узкополос-
ногоВЧ-сигнала. Другое главноесечение k( ) k( 0, ) определяет
частотную автокорреляционную функцию ВЧ-сигнала.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
Длявременной АКФиз (1.12) получаемвыражение |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k( ) |
s(t) s(t ) dt |
|
|
|
|
(1.15а) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
или в комплексной форме с учетом (1.13)–(1.15) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k( ) |
|
|
|
|
|
|
(t )dt e |
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
||||
|
2Es |
Re |
S |
(t) S |
|
Re |
K( )e |
|
|
, |
(1.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
K( ) |
|
|
|
S(t) S (t )dt — комплекснаяогибающаяавтокор- |
||||||||||||||
2Es |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
реляционной функции сигнала.
Огибающую K( , ) функции (1.15) в литературе называют функ- циейнеопределенности (ФН). Этоназваниеобъясняетсяоднимзамечательнымсвойствомданнойфункции, котороесостоитввыполненииследующихравенств:
|
1 |
|
|
K 2 ( , )d d 1 . |
|
K( 0, 0) 1; |
|
|
|
(1.16а) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
ПервоеравенствоестьследствиенормировкиФН(1.10) и(1.11). Второе обусловлено тем, что переменные и являются при преобразованииФурьевзаимосвязанными (сопряженными) переменными(доказательстводанногосвойства приведено, например, в [6]).
Напомним(п. 1.3.1), чтовозможностьВЧ-сигналаобеспечитьвысо- куюточностьизмеренияпараметров(вданномслучаеэтовремязадержки и частотный сдвиг ) при наличии помехи зависит от крутизны спадания сигнальной функции (1.10) вблизи точек 0 и 0 .
Однако условие (1.16а) означает, что объем, ограниченный поверхностью K 2 ( , ) , равен 2 . Следовательно, произвольно сжимать функцию K( , ) нельзя. Другимисловами, уменьшениешириныФНпопеременной сцельюувеличенияточностиизмерениявременизадержки сигналаповлечетзасобойеерасширениепопеременной и, какследствие, снижение точности измерения частоты сигнала. В этом состоит сущность известного принципа неопределенности в радиолокации
[2,6,12].
30
Важно отметить, что аппаратная реализация возможности точного измеренияпараметровсигнала должна бытьпонята как потенциальная возможность. Еедостижениесвязаносприменениемособых(оптимальных) способовобработки сигналов, которыемыизучим впоследующих главах. Рассмотримтеперьвопросотом, какиепараметрырадиосигнала определяют характер функции K( , ) в окрестности ее главного максимума.
1.3.3.Ширина функции неопределенности вдоль осей времени и частоты
В инженерной практике важными являются следующие параметры сигнала: энергия, длительность и ширина частотного спектра. В со-
ответствии с выражениями (1.2) и (1.8) запишем выражение энергии узкополосногоВЧ-сигнала, имеющегоконечнуюэнергию:
E |
s |
|
|
s2 |
(t)dt |
|
S2 (t)cos2 |
|
0 |
t Ф(t) |
|
|
|
|
|
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 S2 (t)dt 12 S2 (t)cos 2( 0t Ф(t)) dt .
Значениевторогоинтеграладляреальныхсигналовоказываетсяблизкимкнулютаккакподинтегральноевыражениесодержитбыстроосциллирующий (знакопеременный) множитель. Учтем, что действительная огибающая S(t) S(t) иудовлетворяетизвестномуравенствуПарсева-
ля [2]:
|
|
S(t) |
|
2 |
|
1 |
|
|
G( ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
d , |
||
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где G( ) — спектральная функция (преобразование Фурье) комплекс-
ной огибающей S(t) S(t)eiФ(t) сигнала s(t). Таким образом, энергия сигнала
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Es |
|
|
|
|
S(t) |
|
dt |
|
|
|
G( ) |
|
d , |
(1.17) |
|
2 |
2 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|