Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
231
Возникаетвопросопределениянаилучшихоценок 0 и 1 . Можно предложить бесчисленное множество пар оценок, которые позволяют «отфильтровать» определяемый каждой парой гармонический сигнал
0 sin 2 1t . Два таких сигнала показаны на рис. 4. Какому из них отдатьпредпочтение?
5 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
17.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
35 |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
|
0 |
||||||||||
|
|
Рис. 4. Варианты сглаживания экспериментальных данных |
|
||||||||
Методнаименьшихквадратов(МНК) предложилв1795 г. КарлФридрихГауссв18 летприрешениизадачиоценкипараметроворбиткометна основеданных, полученныхоптическим телескопом, которые, конечно, содержалиошибкинаблюдений.
АлгоритмформированияоценокпоМНКстроитсяследующимобразом. Допустим, есть некоторые оценки 0 и 1 . Тогда, получив сигнал y(t) , можно в каждый момент времени t i определить разность
(невязку) n(ti ) y(ti ) 0 sin(2 1ti ) . Видно, чтовразличныемоментывремениневязкабудетиметьразныезнакиивеличину. Однаковажно учесть все имеющиеся невязки, причем их знак одинаково важен при подбореоценок. Таким образом, целесообразнообразовать суммуквадратов невязок по всем моментам времени от i 1 до i N . В качестве же наилучших оценок следует предложить те, при которых указанная вышесумма будет иметь наименьшеезначение. Итак, целевая функция дляМНКимеетвид
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
J ( 0 , 1) n |
|
(ti ) yi |
0 sin(2 1ti ) |
. |
(8) |
||||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
ОценкипараметровпоМНКдолжныобеспечиватьцелевойфункции
(8) минимальноезначение, тоесть
232
|
|
|
arg |
min |
|
|
|
|
(9) |
|
|
0МНК |
, |
J ( |
0 |
, ) . |
|||||
|
1МНК |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
0 , 1 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в выражении (8) при поступлении сигнала
y(ti ), i 1,...,n все величины yi и ti будут известны. Значение целевой функции зависит от того, какими будут выбраны оценки 0 и 1. По существу определение оценок по МНК сводится к задаче поиска координатточкиминимумафункции(8). Вданномпримере— этофункция двух аргументов. В простейшем случае, когда модель (7) является линейнойфункциейнеизвестныхпараметров, целеваяфункция(8) будет квадратичной. Поиск экстремума квадратичной функции после вычисленияпроизводнойсводится крешениюодногоили системылинейных уравнений. Такимобразом, длялинейныхмоделейзадачаимеетаналитическое решение (см. п. 4.2.3).
Следуетобратитьвниманиенато, чтовнашихрассужденияхобоценкахМНКнигденеупоминалисьвероятностныесвойствапомехи, которая аддитивно (в виде слагаемого) входит в состав наблюдаемого сигнала y(t) . Вероятностные свойства оценок МНК, конечно же, зависят от свойств помехи. Оценки неизвестных параметров по МНК при некоторыхсвойствахпомехиявляютсястрогооптимальными. Этивопросыследует изучить в подразд. 4.2–4.4.
Приизучениистатистическойтеорииоценокследуетпонятьинайти ответынаследующиевопросы.
1.Почему оценки неизвестных параметров сигналов являются случайнымивеличинами?
2.Какиепараметрыхарактеризуюткачествооценок?
3.Каковсмысл байесовскогокритерия оптимальности?
4.Как определяется байесовская оценка при квадратичной функции потерь?
5.Чтоестьфункцияправдоподобиявыборки?
6.Какова взаимосвязь байесовских и максимально правдоподобных оценокпараметрасигнала?
7.Чтоесть невязка вметоденаименьшихквадратов ив чемособенностьэтогометодапосравнению сдругими?
8.Каковобщийвидцелевойфункциивметоденаименьшихквадратов?
9.Какимобразомвэкспериментеможнонайтисреднееисреднеквадратическоезначениеоценки? Чтоозначаетпонятие«несмещеннаяоценка параметра»?
233
7.4.2. Структура программы и задание на работу
КонтрольнаяработавыполняетсянаПЭВМсиспользованиемпакета MathСad (версиянениже2001). Листингпрограммыприведенвп. 7.4.3. Она состоит из 4 разделов, которые отмечены синим цветом. Содержание заданий по работе изложено в листинге программы, содержащем семьфрагментовФ. 1–Ф. 7. Выполнениезаданийпредполагаетвнесение дополненийв программув местах, отмеченных желтымцветом, гденет операторов MathСad. В работе рассмотрена простейшая модель сигнала (1) — входной сигнал y(t) состоит из прямых наблюдений полезного сигнала S(t, ) .
При выполнении заданий следует в меню Math установить пошаговый режим выполнения программы. Затем установить курсор на оператор rnorm( ) в разделе 3 программы и, нажимая несколько раз на клавишуF9, наблюдатьреализацииоценокпараметров, оценокихвероятностных характеристик, а также функции правдоподобия на рис. 2 и рис. 3.
Длявыполненияработынеобходимоследующее.
1.Изучитьосновыстатистическойтеорииоценокнеизвестныхпараметров сигнала при наличии помех (подразд. 4.1–4.4 и п. 7.4.1).
2.ПовторитьприемыобработкиданныхспомощьюпакетаMathСad, которыебылииспользованы в лабораторнойработе 1.
3.Изучить текст программы и освоить используемые в ней обозначения.
4.Выполнитьзадания, указанныевлистингепрограммы.
5.Порезультатамнаблюденийсделатьвыводы, приэтомследуетобратитьособоевниманиеназависимостьвероятностныххарактеристикоценокивидафункцииправдоподобияотобъемавыборки.
234
7.4.3. Листинг программы
235
236
237
238
239
240
Литература
1.Березин Л.В. Теория и проектирование радиосистем / Л.В. Березин, В.А. Вейцель. — М. : Сов. радио, 1977.
2.Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов / Л.Е. Варакин. — М. : Сов. радио, 1970.
3.ДюгеД. Теоретическаяиприкладнаястатистика / Д. Дюге. — М. :
Наука, 1972.
4.Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений / Б.Ф. Жданюк. — М. : Сов. радио, 1978.
5.ИвченкоГ.И. Математическаястатистика/ Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. — М. : Высшая школа, 1984.
6.Кук Ч. Радиолокационные сигналы. Теория и применение / Ч. Кук, М. Бернфельд. — М. : Сов. радио, 1971.
7.Радиотехнические системы / под ред. Ю.М. Казаринова. — М. : Высшая школа, 1990.
8.СлокаВ.К. Вопросыобработкирадиолокационныхсигналов/ В.К. Слока. — М. : Сов. радио, 1970.
9.ТихоновВ.И. Оптимальныйприемсигналов/ В.И. Тихонов. — М.
:Радио и связь, 1983.
10.ТихоновВИ. . Нелинейнаяфильтрацияиквазикогерентныйприем сигналов / В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. — М. : Сов. радио, 1975.
11.ТихоновВИ. . Нелинейныепреобразованияслучайныхпроцессов/ В.И. Тихонов. — М. : Радио и связь, 1986.
12.Теоретическиеосновырадиолокации / подред. Я.Д. Ширмана. — М. : Сов. радио, 1970.
13.Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов / К. Хелстром. — М. : ИЛ, 1963.
14.ШахтаринБИ. . Случайныепроцессыврадиотехнике/ БИ. . Шахтарин. — М. : ГелиосАРВ, 2006.
15.Пугачев В.С. Теория случайных функций / В.С. Пугачев. — М. :
ФМЛ, 1962.
16.ТихоновВИ. . Статистическийанализисинтезрадиотехническихустройствисистем/ ВИ. . Тихонов, ВН. . Харисов. — М. : Радиоисвязь, 1961.
17.Тихонов В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. — М. : Сов. радио, 1977.
18.Плис АИ. . MathCad 2000: математический практикум для экономистовиинженеров/ АИ. . Плис, Н.А. Сливина. – М. : Финансыистати-
стика, 2000. – 655 с.