Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах

228

определенныхпреобразованийнадвходнымсигналом. Результатомэтих преобразований является оценка параметра (y) . С математической точки зрения выражение (y) определяет правило (алгоритм) обработкиданныхвприемнике-измерителе.

Поскольку y(t) содержит шум и является случайным, то и оценка

дисперсию, которая характеризует рассеяние (вариацию) оценки относительно ее среднего значения. Ясно, что качество оценки связано со свойствамиошибки ( ) случайнойвеличины. Среднеезначение

значениюпараметра, тооценка называется несмещенной, в этомслучае

Вбайесовскойтеорииоценоккачествооценкиопределяетсясредним байесовским риском R, который является средним значением функции потерь C( ) , определяющей «стоимость» ошибки, поскольку за ошибки приходится «расплачиваться». Чем больше ошибка , тем выше ее стоимость. На практике часто используют квадратичную функцию по- терь, тоесть C( ) 2 . В этомслучаесредний риск R сучетом (2) принимаетвид

квадратичнойфункциипотерьравендисперсииошибки.

Оптимальные байесовские оценки. Желание найти оптимальную байесовскую оценку связано с необходимостью минимизации среднего риска R. Следует отметить одну особенность байесовской теории оценок. Она состоит в том, что полезный параметр , оставаясь неизвест- ным, полагается случайным. Подробно этот вопрос рассмотрен в под-

разд. 4.2.

Известно, чтовыражение для оптимальной байесовской оценки при квадратичнойфункциипотерьимеетвид

229

где W ( / y) — условная ПРВ параметра после получения конкрет-

ного сигнала y, которую называют апостериорной плотностью рас-

пределения параметра. Эту плотность приемник-измеритель должен вычислять на основе имеющейся информации о характере полезного сигнала, вероятностных свойствах помехи и полезного параметра.

Выражение (4) является средним значением параметра по распределениювероятностей W ( / y) .

Содержательный смыслбайесовской оптимальной оценки (4) состоит в следующем. Приемник, получив сигнал y, рассчитывает вероятности всех возможных значений параметра , который в данном конкретном случае не известен. В качестве наилучшей оценки Б (y) приемникаформируетсреднееарифметическоезначение, нонепростое, а взвешенное, в котором каждое ожидаемое значение учитывается с коэффициентом, равным вероятности его появления при конкретном входномсигнале y.

Вполнеразумновыбратьвкачествеоценкизначениепараметра, которому соответствует наибольшая вероятность. Такой стратегии также соответствует минимальный байесовский риск, но функция стоимости ошибоквэтомслучаеоказываетсяпростойфункциейпотерь. Онаравна нулютольковблизи 0, затем скачкомвозрастаети остаетсяпостояннойприлюбыхвеличинахошибки.

До получения сигнала y приемник-измеритель должен знать ПРВ

W ( ) — априорную плотность вероятностей параметра. Во многих техническихзадачахтакойподходоправдан. Действительно, еслипоканалусшумом передаются сообщенияв видебукв русскогоалфавита, то вполнеоправдано, учитываяспецификутекста, сообщитьприемникуеще дополученияконкретногосигнала y вероятностиналичиявпереданном сигнале каждой буквы. Интуитивно ясно, что приемник, в котором при обработкепоступившегосигналаэта информацияучитывается, должен даватьменьшеошибок. Примаксимальнойаприорнойнеопределенности можнозадатьравномерноераспределениевероятностейпараметра.

Оценки максимального правдоподобия. В соответствии с форму-

лойБайесаапостериорнуюПРВ W ( / y) параметра можнозаписать в виде

230

Характерзависимостиправойчасти(5) отпеременной определяется произведениемфункцийвчислителе.

Максимизации апостериорной вероятности (5) равносильно максимизации (по ) произведения W ( )Wy (y / ) . Очень часто априорная ПРВ W ( ) имеет слабо выраженный максимум или не зависит от , например, всезначенияпараметрааприориравновероятны. Такимобразом, вся«ответственность» заналичиемаксимумауапостериорногораспределениявероятностейпоаргументу приходитсянафункцию L( )

Wy (y / ) . Этуфункциюназываютфункциейправдоподобиявыборки.

Соответственнооценки, определенныепоправилу

называют максимально правдоподобными оценками. Для того, чтобы получить явное выражение для расчета оценки Б (y) или МП(y) необходимо иметь математическую модель сигнала y в виде явных

выраженийдляПРВ W ( / y) и Wy (y / ) .

Оценки параметров по методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов фактически определяет способ сглаживания наблюдаемых данных (сигнала). Прямого отношения к вероятностным построениямоннеимеет.

Рассмотрим пример. Предположим, что на вход измерителя поступает хаотический сигнал, показанный на рис. 7.4. Допустим, есть все основания считать, что математическая модель наблюдаемого сигнала имеетвид

где n(t) — помеха; и — неизвестныеамплитуда и частота полезногогармоническогосигнала. Следует отметить, чтообоснованиематематической модели является самостоятельной задачей и ее вид связан сконкретнойфизическойзадачей.

Приемник-измеритель «незнает» истинных значений и , в его распоряжении математическая модель вида (7) и фактический сигнал (наблюдения) y(t) наконечноминтервалевремени.