Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
201
Дискретные значения фазы врадианах: |
i |
|
x i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W |
|
1 |
e |
2 |
|
(1) |
e |
2 |
|
pnorm a cos |
|
0 1 |
|
|
|
|
|||||
|
2 a cos |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
||
|
|
2 180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
202
7.3.Лабораторная работа 3. Оптимальное обнаружение полезного сигнала на фоне шума
7.3.1. Теоретическая часть
Цель работы: исследованиепроцессов при согласованной фильтрацииполезногосигналаспростойисложноймодуляциейнафонебелого гауссовского шума; анализ характеристик обнаружения в оптимальном приемнике.
Основные положения статистической теории оптимального обнаружения
Постановка задачи, критерий обнаружения и алгоритм обра-
ботки. Сигналнавходеприемника-обнаружителянаинтервале t (0;T ) представимввиде
y(t) F s(t);n(t) , |
(1) |
где — случайная (постоянная на интервале наблюдения) величина со значениями 0 и 1; s(t) — полезный сигнал, форма которого в общем случае полностью не известна приемнику; n(t) — случайная помеха (шум); F s(t);n(t) — оператор, определяющийспособвзаимодействия полезного сигнала и шума при образовании входного сигнала приемника.
Проблема обнаружения полезного сигнала состоит в том, что при-
емник, получив сигнал y(t), должен принять решение о величине .
Посколькувходной сигнал y(t) содержит шум, тообнаружениеполезногосигнала, вособенностиесли онпоуровнюсравнимсшумом, является непростой задачей. Приемник, как впрочем и человек, в подобной ситуацииможетдопускатьошибки. Интуитивноясно, чтооптимальный приемниквсреднемдолжендаватьменьшеошибок. Вматематическом планенеобходимо найти формулы (алгоритм), по которым работает оптимальный приемник, те. . следует в явном виде записать выражение длясигналанавыходеприемника. Взадачах проектированиянеобходи-
мо определить структурную и функциональную схему такого прием-
ника, чтобыегоможнобылосоздатьииспользоватьприрешениизадачи обнаружения. Такойприемникнеобходимврадиолокационныхсистемах для обнаружения объектов, системах охранной сигнализации и др.
203
В системах цифровой связи фактически имеет место та же самая задача — задачаразличениядвухситуаций (сигналов): передача «1» ипередача «0» (см. подразд. 3.6).
Методрешенияподобныхзадачдаетстатистическаятеорияпроверки гипотез. Выражение(1) задаетматематическую(статистическую) модель входного сигнала. Очевидно, можно предполагать, что на входе прием- ника случайно могут сложиться две взаимоисключающие ситуации
(гипотезы): нулеваягипотеза H0 — параметр 0, то есть во входном сигналенетполезногосигнала s(t), ипротивоположная(альтернативная) гипотеза H1 — параметр 1, когда входной сигнал содержит полезный сигнал s(t). На выходе приемника-обнаружителя (после выполне-
ния действий над входным сигналом) также возможны две ситуации
(два решения): нулевое решение H 0 — приемник выдал результат об
отсутствииполезногосигнала s(t) вовходномсигнале y(t), иальтерна-
тивное решение H1 , при котором на выходе приемника формируется результатоналичиисигнала s(t) вовходномсигнале y(t).
Конечно, вероятностные свойства сигнала y(t) для t (0;T ) должны различаться в зависимости от того, содержится или нет в нем полезный сигнал s(t). В противном случаезадача обнаружения теряет смысл. В байесовской теории обнаружения статистические свойства входного сигнала для двух гипотез H0 и H1 должны быть известны. При дискретном отборе данных на интервале (0;T) эти свойства определены заданием n-мерных условных ПРВ: W (y / H0 ) и W (y / H1) . Предполагается, что до получения сигнала y приемнику известны вероятности появления на входе каждой ситуации, то есть P(H0 ) p0 и
P(H1) p1 — априорныевероятности гипотез.
Определение оптимального алгоритма принятия решения (правила обработки) связано с введением количественного критерия оптималь-
ности. В байесовой теории критерий оптимальности вводится следующимобразом. Для каждойситуации, вкоторой случайноможетоказаться приемник-обнаружитель, назначается число Cij — относительный штраф(платазаитогработы). Витогеимеемчетыревозможныеслучайновозникающиевприемникеситуациисосвоейплатойза «работу»:
1) правильноеобнаружение — событие (H1H1) ; плата (штраф) C11 ;
вероятностьштрафа 1 ;
P(H H1)
2) пропусксигнала— событие ; плата C ; вероятностьштра-
(H 0H1) 01
фа ( ) ;
P H 0 H1
204
3) правильное не обнаружение — событие |
|
0 H0 ) ; плата C0 0 ; |
|
(H |
|||
|
|
|
|
вероятностьштрафа P(H 0H0 ) ; |
|
|
|
4) ложная тревога — событие |
|
C10 ; вероятность |
|
(H1H0 ) ; плата |
|||
|
|
|
|
штрафа P(H1H0 ) . |
|
|
|
Критерием оптимальности является средний риск (средний штраф) R — среднийпоансамблювсехвозможныхсигналовнавходеприемника. Таким образом, получаем
|
|
|
|
R M C C10 P(H1H |
0 ) C00 P(H1H0 ) |
|
|
|
|
|
(2) |
C01P(H 0 H1) |
C11P(H1H1). |
||
Приработеоптимальныйприемникобеспечиваетнаименьшуювели- чинуриска R. Вобщемвидеалгоритмработыоптимальногоприемникаopt (y) предусматривает вычисление отношения правдоподобия L(y) (3.37) ипринятиерешенияпослесравненияполученнойвеличиныотношения спороговым уровнем 0. Аналитически оптимальный алгоритм записывают в общем виде следующим образом: приемник формирует решение
, если
H1
или
H 0 , если
opt
opt
( y) L( y) W ( y / H1) 0 , W ( y / H0 )
(3)
( y) L( y) W ( y / H1) 0 , W ( y / H0 )
где 0 |
p0 (C10 C0 0 )/ p1(C01 C11) — оптимальный порог. Подроб- |
ный вывод этогорезультатаприведен в подразд. 3.4.
Оптимальный алгоритм обнаружения для случая аддитивной смеси полностью известного полезного сигнала с белым гауссо-
вым шумом. Для данногоконкретногослучая выражение (1) принимаетвид
y(t) s(t) n(t), |
(4) |
где n(t) — аддитивный белый гауссовский шум. Таким образом, если, то входной сигнал
y(t) s(t) n(t), |
(5) |
в противном случае и тогда |
|
y(t) n(t). |
(6) |
205
Выражения(5) и (6) утверждают, чтоприсутствиевовходномсигнале y(t) полностью известного полезногосигнала s(t) приводит лишь к изменению(вкаждыймоментвремени) среднегозначениявходногосигнала. Таким образом, n-мерные гауссовские условные ПРВ W (y / H0 ) и W (y / H1), соответствующиедвумгипотезам H0 и H1 , отличаются средними значениями. В явном виде эти ПРВ приведены в (3.43), где s0i 0 . Послеихподстановкив(3) ивыполненияпростыхалгебраических преобразований получаем выражение для сигнала на выходе оптимальногоприемника. Витогеалгоритмпринятиярешения(алгоритмобнаружения) принимаетследующийвид(3.48), (3.49):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 T |
|
H1 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
ln L y(t) z |
|
|
y(t) s(t) dt |
|
ZП |
, |
(7) |
|
|
|
|||||
N0 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
H 0 |
|
|
|
где ZП ln( 0 ) Es / N0 — модифицированный порог; Es |
— энергия |
||||||
сигнала; N0 — спектральнаяплотностьсреднеймощностишума. Выражение (7) содержит операцию интегрирования произведения
двух функций, которая характерна для вычисления корреляционной функции (1.11), (1.15а). Поэтойпричинеприемноеустройство, реализующееалгоритмобнаруженияввиде(7), называютприемникомкорреляционноготипа. Структурнаясхемаприемника-обнаружителякорреляци- онноготипапоказананарисунке.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
Интегратор |
z |
||||||||
|
|
|
|
Пороговое |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
устройство |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Устройство |
|||||||||||
|
|
Генератор |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
опорного |
|
синхрони- |
|
|||||||
|
|
|
сигнала |
|
зации |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приемник-обнаружитель корреляционного типа
Устройствосинхронизацииобеспечиваетработугенератораопорного сигнала на том интервале времени, где ожидается полезный сигнал.
Сравнение с порогом также происходит в момент окончания сигнала.
206
Здесьследуетпомнить, чторассматриваетсязадачаобнаруженияполностью известногосигнала, тоесть моменты времениначала и окончания полезного сигнала известны. Приемнику неизвестен лишь сам факт наличия или отсутствия полезного сигнала на ожидаемом интервале времени.
Оптимальный приемник-обнаружитель с согласованным филь-
тром. Известно, что сигнал z(t) на выходе произвольного линейного фильтра получается в результате свертки входного сигнала y(t) с импульснойреакцией h(t). Представимсверткуввиде
t |
|
z(t) h(t ) y( ) d . |
(8) |
0 |
|
Если предположить, что h(t) cs(t0 t) ( c const ), то (8) можно переписатьввиде
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
z(t) с |
|
y( )s |
) |
(9) |
|||
|
(t t |
|
d . |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для момента времени t t0 T сигнал на выходе фильтра, имеющегоуказанную вышеимпульсную характеристику, оказываетсяравным
|
|
|
T |
|
z(t) |
|
t T |
с y( ) s( ) d . |
(10) |
|
||||
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
Сравнение(10) и (7) показывает, чтооперациюформированиякорреляционного интеграла в схеме приемника-обнаружителя полностью известного сигнала может выполнить линейный фильтр. Конечно, это непростойфильтр, таккактребуется, чтобыегоимпульснаяреакция
h(t) cs(t0 t) hopt (t) , |
(11) |
где с— коэффициентпропорциональности. Линейныйфильтрсимпуль-
сной реакцией (11) называют оптимальным согласованным фильтром.
По определению импульсная реакция h(t) 0, если t 0 . Следовательно, если полезный сигнал s(t) имеет конечную длительность T, то параметр t0 T . Свойства согласованного фильтра подробно рассмотрены в подразд. 3.2. Следует обратить внимание, что на выходе согласованного фильтра (СФ) в момент окончания полезного сигнала
207
получаетсянаибольшее(извсехвозможныхдругихфильтров) отноше- ние уровня полезного сигнала к шуму. Это отношение по мощности со-
ставляетвеличину
q02 |
2Es |
, |
(12) |
|
|||
|
N0 |
|
|
где Es — полная энергия полезного сигнала; N0 |
— односторонняя |
||
спектральнаяплотностьмощностибелогошуманавходеприемника.
Изучим форму полезного сигнала (сигнальной части zs (t) |
полного |
||||||||||||||||
выходногосигнала z(t)) на выходеСФ. Перепишем (9) в виде |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(t) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y( )s |
(t t |
) |
d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
s |
|
n |
|
|
z(t) c |
|
|
|
|
|
|
(t) z |
(t) , |
(13) |
||||||||
s( ) n( ) s |
(t |
t ) |
d z |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гдесигнальнаячасть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
s |
(t) c |
|
s( )s (t t ) d cE |
k(t t ) |
|
|
(14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
s |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и k( ) — нормированнаявременнаяавтокорреляционнаяфункция(АКФ) полезного сигнала (см. п. 1.3.2).
Таким образом, полезный сигнал на выходе СФ совпадает поформе сформойвременнойАКФполезноговходногосигнала. ВидАКФсигнала s(t) может существенно отличаться от формы самого сигнала s(t). Важным параметром временной АКФ сигнала является ее ширина . Для радиосигналов — это ширина огибающей АКФ. Выполняя лабораторную работу, необходимо усвоить, что величина 1/ F, гдеF — шириначастотногоспектрасигнала. Следуетобратитьвнимание и сравнить форму полезного сигнала на входе и выходе СФ для случая простого одиночного радиоимпульса, радиоимпульса с ФКМ и ЛЧМ. Подробно эти вопросы рассмотрены в подразд. 1.3.
Необходимоотметить, чтовсе соотношения, связанные спреобразо- ваниемсигналовишумавприемнике-обнаружителепредставленывпро- грамме в дискретной форме. Непрерывному сигналу y(t) соответствует дискретная последовательность y(n t) y(n) , где t — временной
208
интервалдискретизациии n — номеротсчета. Интегралсвертки, определяющийсвязьвыходногоивходногосигналоввлинейнойдинамической системе (фильтре), преобразуется в соответствующую сумму по индексу, связанному с переменной интегрирования. Если t n t n иk t k , интегралсверткивдискретнойформеимеетвид
t |
N |
|
|
z(t) h( )y(t ) d z(n) h(k)y(n k) t . |
(15) |
||
0 |
k |
0 |
|
Верхний индекс у знака суммы может быть ограничен числом N. Егозначениеопределяетсядлительностьюимпульснойреакциифильтра. Приэтомправаячастьвыражения(15) соответствуетструктуредискретногофильтратипасконечнойимпульснойхарактеристикой (КИХ). Абсолютнаявеличина t принята равнойединице. Вэтомслучаевременная длительность любой функции определяется количеством дискретных отсчетов.
Разрешениесигналовповременнойзадержке. Задачаразрешения сигналовсостоитвтом, чтоприпоступлениинавходприемника-сигнала
|
y(t) 1s1(t 1) 2s2 (t 2 ) n(t), |
t [t0 ;T ], |
(16) |
где 1 |
и 2 — случайныенезависимыевеличинысозначениями0 и1; |
||
1 и |
2 — временныеположения(задержки) полезныхсигналов. Если |
||
y(t) содержит обаполезныхсигнала инеобходимоих раздельнообнаружить, товозникаетзадачавзаимногоразрешениясигналовприихобнаружении. Очевидно, чторезультатеерешенияпри наличиишума зависит от соотношения уровней сигналов между собой и по отношению к шуму и от того, насколько сильно изменение параметра влияет на степеньразличиядвухсигналов. Вподразд. 1.3 показано, чтомеройразличия сигналов понеэнергетическим параметрам, к которым, в частности, относится временнойсдвиг, являетсянормированнаявзаимнаякорреляционнаяфункциясигналовподанномупараметру. Вданномслучае, когда сигналы имеют одинаковую форму, — это временная автокорреляционная функция. Разрешающую способность приемникаобнаружителя определяют как минимальное значение разности временных положений сигналов min 1 2 , при которой на выходе приемника принимается решение о наличии двух полезных сигналов на интерваленаблюдения. Различают (см. подразд. 4.10) величины P (разрешение по критерию Релея) и B (разрешение по критерию Вудворда).
209
В оптимальном обнаружителевозможность разрешения двух сигналов известной формы с разными временными сдвигами определяется формой выходного отклика приемника. В схеме обнаружителя с согласованным фильтром эта форма совпадает с АКФ полезного входного сигнала.
При выполнении работы необходимо изучить сущность одного из основныхпараметровсигнала, которыйназываютбазойсигналаВ.
Характеристикиобнаруженияоптимальногоприемника-обнару- жителя полностьюизвестного сигнала. Качествоработыприемника-
обнаружителяобычнопредставляютввидехарактеристикобнаружения, которыепредставляютсобойсемействокривыхввидезависимостейве-
роятностиправильногообнаружения D отвеличины q0 
2Es / N0 — отношения уровня сигнала к СКОшума на выходеСФ. Параметром семействаявляетсявероятностьложнойтревоги F. Теоретическийрасчет величин D и F предполагает вычисление вероятностей того, что уровень сигнала (10) или (13) на выходе приемника превысит пороговый уровень Z0 вмомент времени t0 T 0 , где T — длительностьсигнала на входеи 0 — время егоприхода. Таким образом:
|
|
|
D W (z / H1) dz |
и F W (z / H0 ) dz , |
(17) |
Z0 |
Z0 |
|
где W (z / H1) и W (z / H0 ) — условные ПРВ уровня сигнала z(t0 ) z на входе порогового устройства соответственно при наличии и отсут-
ствииполезногосигналанавходеприемника.
Сигнал z(t) является линейным преобразованием входного сигнала (5), содержащегоаддитивный гауссовский шум n(t) . Именно поэтому z(t) сохраняет гауссовские свойства и, следовательно, ПРВ случайнойвеличины z полностьюопределяетсязаданиемусловногосреднего и условнойдисперсии, которыеимеют вид
M |
|
1 |
|
2E |
s |
0 |
, |
M |
|
z |
/ H |
0 |
|
|
||
|
z / H |
|
|
/ N |
|
|
0; |
(18) |
||||||||
|
|
Dz / H |
Dz / H |
|
2Es / N0. |
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для гауссовских ПРВ вычисление интегралов (17) сводится к табличному интегралу вероятностей (подробнее см. п. 3.6.2). В итоге получаем
210
F 1 Ф |
|
Z0 |
|
и D 1 Ф |
|
Z0 |
q |
|
, |
(19) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
q0 |
|
|
q0 |
|
|
|
|
||
где Ф( ) — интегралвероятности.
Теоретический расчет характеристик обнаружения выполняется следующимобразом:
–задаем уровень ложной тревоги;
–определяем сучетом (19) нормированный порог Z0 / q0 ;
–изменяемвеличину q0 
2Es / N0 ;
–вычисляем с учетом (19) зависимость величины D f (q0 ) .
7.3.2. Структура программы и задание на работу
Лабораторная работа предполагает выполнение на основе базовой программы самостоятельного исследования процессов в оптимальном приемнике-обнаружителеполностьюизвестныхсигналовразличныхти- пов и формулировкувыводовпорезультатам этих исследований.
Вп. 7.3.3 приведены листинги исходных программ, выполненных
всреде MathСad (версия 2001 и выше). Программа для исследования процессов в согласованном фильтре и корреляторе состоит из восьми связанныхмеждусобойразделов. Всеразделы программысопровождаютсяпояснениями.
Впервом и втором разделах осуществляется формирование радиоимпульсов с простой и сложной (ФКМ) модуляцией. Здесь возможен режим работы содним или двумя сигналами, что обеспечивается заданием уровня амплитуды каждого из них. Сигналы могут иметь различныеположениянаосивремени.
Втретьем разделе — формирование импульсных реакций дискретных оптимальных согласованных фильтров для каждого типа сигнала.
Вчетвертом разделе — формирование случайной стационарной последовательности независимых дискретных отсчетов белого гауссовского шума.
Впятом разделеформируются входные сигналы в виде аддитивной смеси полезных сигналов (их в общем случае два) и шума.
Вшестом разделепрограммы — формированиесигналов на выходе согласованных фильтров, имеющих конечную импульсную характеристику.