Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
181
Эргодическое свойство, справедливость которого в общем случае невсегда очевидна, существенноупрощает вероятностныерасчеты при экспериментальных исследованиях. Необходимо усвоить, что только впределепри Т неимеетзначения, какаяреализациясигналабудет использована для вычисления его вероятностных характеристик. При конечной же величине временного интервала, а на практике это всегда так, разные реализациислучайного сигнала будут даватьотличающие- сядруготдругарезультаты.
Такимобразом, фактическизаконечноевремяможнополучитьлишь оценкитребуемыхвероятностныххарактеристик. Вотличиеотистинных (среднихпоансамблю) вероятностныххарактеристикслучайныхсигналов (например, F(x), W (x), mx , Dx , Kx ( ) ), ихоценки обозначают иначе. Далее для оценок будем использовать следующие обозначения:
F(x), W (x), mx , Dx , Kx ( ) .
Вычисление оценок вероятностных характеристик случайных сигналов. Напомним, чтослучайныйсигналнаконечноминтервалевремени можнопредставитьпоследовательностью из случайныхвеличин. Если случайный сигнал является стационарным, товсе величины в отдельности имеют одну и ту же ПРВ, то есть каждую из этих величин можно выбирать (генерировать) из одного и того же ансамбля. В простейшем случае, который и будем иметь в виду в этой лабораторной работе, последовательныезначения, извлекаемыеизансамбля, будутстатистическинезависимыми, тоестьмеждунимипрактическинетвероятностнойсвязи. Вэтом случаеАКФ (9) имеет вид
Kx |
|
ti t j |
|
Ki j |
D , |
при i j, |
|
|
x |
(12) |
|||
|
|
|
|
|
0, |
при i j. |
|
|
|
|
|
Оценки всех вероятностных характеристик будем получать в виде соответствующихсреднихарифметическихзначений, выполняясуммирование элементов выборки по времени, то есть по всем дискретным моментам ti , например:
k |
|
1 n k |
k |
|
1 n |
|
k |
k |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
mx |
n i 1 xi ; |
Dx |
n i 1 |
xi |
mx |
. |
(13) |
||||||
Дляоценкиковариационнойфункции, котораятеперьбудетфункцией дискретногоаргумента j, получим
182
|
1 |
(n j) |
k |
k |
k |
k |
|
|
K( j) |
|
|
xi |
mx |
x(i j) |
mx |
. |
(14) |
|
||||||||
|
n j |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вцеляхупрощениязаписивдальнейшихвыраженияхдляразличных оценок принадлежность оценки или выборки к конкретной реализации указыватьнебудем, есливэтомнебудетособойнеобходимости. Однако обэтомследуетпомнить, посколькуименнопоэтойпричинесами оцен-
ки должны рассматриваться как случайные величины. Таким образом, конкретный опыт дает лишь одно значение случайной величины —
оценки, исудитьоеекачествепорезультатамединственногоопытарискованно. Очевидно, следуетмногоразповторятьопытиизучитьповедениеоценокв серии изнескольких опытов.
РаботавыполняетсявсредеMathcad (версиянениже2001) c привлечениемстандартныхпроцедур, обеспечивающихгенерациюпоследовательности заданногоколичества независимыхслучайных величин сзаданными статистическими свойствами. Таким образом, имея навыки составления простейших программ, можно получать различные реализации n-мерного случайного вектора X с конкретными значения-
ми в некоторой k-й реализации x k x1k , x2k x3k ,..., xnk . Каждую такую реализацию будем называть выборкой, количество ее элемен-
тов n — объемом выборки.
7.1.2. Задание на лабораторную работу
1.Образовать R выборок объемом N из независимых случайных величин (отсчетов), принадлежащихслучайномустационарномусигналу X(t) содномерной ПРВ следующеговида:
1)равномернаяПРВ— W (x) 1/(b a); x a;b ;
2)нормальная (гауссовская) ПРВ —
W (x) (1/ x 
2 )exp (x mx )2 / 2 2x ; x ( ; );
3)экспоненциальнаяПРВ— W (x) exp( x); x [0; ).
2.Изобразитьграфическивыборочныереализациисигналадлядвух различных(повыбору) значенийпараметров, определяющихкаждуюиз заданныхПРВ.
3.Вычислитьтеоретическиезначенияматематическогоожидания mx идисперсии Dx дляслучайногосигналасзаданнымиодномернымиПРВ.
4.Вычислить программнов соответствиис (13) выборочныеоценки
mx и Dx путемусредненияэлементов k-й выборкиповремениприраз-
183
личныхобъемах выборок (N 5; 20; 100). Сравнить результатыстеоретическимизначениямивеличин. Сделатьвыводы.
5.Вычислитьпрограммнооценкуковариационнойфункции K( j) для целочисленных значений j 0; J . Дать ответ на вопрос, чему равно значение K(0) и K(0) . ПолучитьграфикдляоценкинормированнойАКФ, выполнивнормировкунавеличину K(0) .
6.На основе процедуры histogram(M , x) вычислить программно
оценки ПРВ W (x) . На одном рисунке представить графики оценки
W(x) итеоретическойПРВ.
Вкачестве оценки ПРВ обычно рассматривают гистограмму. Процедура ее расчета имеет два параметра: М — количество разрядов (подынтервалов), на которое разбивают интервал выборочных значе-
ний от xmin |
до xmax ; x — массив выборочных значений (выборка), |
x xi , где |
i 1,2,..., N . При обращении к процедуре вида A: |
: histogram(M , x k ) осуществляются следующие действия: 1) упоря-
дочение k-й выборки по возрастанию от xmin до xmax и определение левой и правой границ каждого из М подынтервалов; 2) сортировку элементов k-й выборки по М разрядам и подсчет частот — количества элементов выборки nm , где m 1,2,...,M , попавших в каждый из М подынтервалов; 3) формированиевыходногомассива А ввидематрицы размером М 2. Впервомстолбцеэтойматрицырасположеныкоординаты xom ( m 1,2,..., M ) середин всех М подынтервалов. Поскольку подынтервалыимеютравнуюширину x , то, очевидно, x A 2,1 A1,1 .
M
Вовторомстолбцерасположенычастоты nm, причем nm N .
m 1
Теоретическоезначениевероятности Pm попаданияслучайнойвели-
чины X в окрестность точки xom |
длиной x равна площади фигуры, |
||
ограниченнойкривой |
W (x) |
(рис. 3): |
|
|
|
(xom x / 2) |
|
|
Pm |
|
W (x) dx . |
|
|
(xom x / 2) |
|
В качестве оценки |
Pm истинной (теоретической) вероятности Pm |
||
попадания случайного сигнала в интервал шириной x с центром вточке xom можнопринять величину Pm nm / N , равнуюотношению
184
количества удачных наблюдений nm к их общей величине N. Соответственнодля оценкиПРВ в точке xom можноиспользовать (3) в виде
W (xom ) nm /(N x), |
где m 1,2,...,M. |
(15) |
,
W(x) ,
Pm
x
xom
x
Рис. 3. Кривая плотности вероятностей и область, площадь которой равна вероятности Pm попадания сигнала в некоторый момент времени
в интервал (xom x / 2);(xom x / 2)
При выполнении данного пункта задания следует вывести на один графикизображениеоценки (типграфикаsolidbar) итеоретическуюкривую ПРВ, вычислив ее предварительно для множества середин подынтервалов xom .
7.Изучить рассеяние (разброс) оценок среднего значения сигнала по ансамблю R 50 выборок в зависимости от объема выборки N, выполнив необходимыерасчеты при N 5; 20; 100; 200.
8.Изучить влияние параметров mx и х на поведение теоретической и экспериментальной ПРВ гауссового вида, выполнив расчет
для следующих значений параметров: 1) mx 0, х 1 и 3; 2) mx 3,
х 1 и 3.
9.Исследовать влияние соотношения объема выборки N и количе-
стваразрядовгистограммы М наповедениеоценкиПРВ. Рекомендуетсязадать М 10 и 20 при N 200 и 2000. Приэтомследуетобратить вниманиенап. 5 рекомендацийповыполнениюлабораторнойработы.
10. Сделатьвыводыпорезультатамвыполненныхисследований.
В п. 7.1.3 приведена программа, содержащая выполнение основных (невсех) пунктов заданияпоработе.
Очевидно, чтослучайнаявеличина nm в (15) принезависимыхопытахимеетбиноминальноераспределениевероятностейсосреднимзначе-
нием Pm N и дисперсией NPm (1 Pm ) .
185
Получитевыражениедляотносительнойсреднеквадратичнойошибки
|
|
ирассмотритеееповедениепри Pm 0 длязадан- |
Pm оценки W |
||
W |
|
|
ного x . Сделайте выводы о проблеме, связанной с оценкой малых вероятностей Pm .
В заключение изложим некоторые рекомендации по выполнению задания.
1.Следует изучить термины ипонятия, которыеиспользуются в разделе 1, и усвоить их смысл. Это наиболее сложная часть всей работы, котораятребуетзнанийосновтеориивероятностейиизученияматериала курса лекций.
2.Весьма вероятно возникновение проблем с применением пакета Mathcad. Обращайтесь к литературе (например [18]). Проблемы эти временные, снимисталкиваютсяиопытныепрограммисты. Успехприходитпослепреодолениятрудностейиисправленияошибок.
3.Всефункции, доступныевпакете Mathcad, можнонаходить, обратившись в меню к значку f(x). В работе необходимы генераторы случайных величин (СВ): runif(N,a,b) — обеспечивает формирование выборки объема N c равновероятной ПРВ в интервале (a; b);
rnorm(N, mx , x ) — генератор СВ с гауссовой ПРВ, где x 
Dx —
среднееквадратическое (стандартное) отклонениеслучайнойвеличины и mx — математическое ожидание; rexp(N, ) — генераторСВ сэкспоненциальной ПРВ, где — параметр, определяющий математическое ожиданиеидисперсиюСВ.
4. Впрограммедляоценок использованыиныеобозначения, нежели
|
mxo, |
Dx |
Dxo, |
Kx ( ) Ko( j) |
||
вописаниикработе. Вчастности, mx |
||||||
W (xom ) Wom . Аргумент АКФ, равный модулю |
|
ti tk |
|
, при представ- |
||
лениислучайногосигналадискретнойвременнойпоследовательностью принимаетзначения j t i t k t i k t , тоесть j целочисленнаяпеременнаясмаксимальнымзначением J (0,1 0,2) N.
5. Привыполнениип. 9 заданияналабораторнуюработусбольшими значениями N возможнозначительноеувеличениевременисчетавследствиесущественныхзатратвременидлярасчетаоценкиАКФ. Этогоможно избежать, еслипередрасчетом Ko( j) ввестилокальноезначениеобъема выборки N1 < N. При этом необходимовнести коррекцию в расчетную формулуи обеспечить условие J (0,1 0,2) N1 .
186 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.3. Листинг |
программы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Лабораторная работа № 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Цель работы: Изучениестатистическогоописания случайных сигналов |
|
|||||||||||||||||||||
ORIGIN 1 |
|
R 3 |
N 200 |
|
M 10 |
|
R-колич.реализаций. N -число отсчетов. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М -число разрядов гистограммы. |
|
|
||||||||||
k 1 R |
a 2 |
b 8 |
|
m 1 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Генератор k-ой реализации случайной последо ватель- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ности из N независимых отсчетов, каждый из которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
имеет равномерную ПРВ в интервале (a;b |
): |
|
x k |
runif( N a b) |
||||||||||||||
2. Первые10 отсчетов из 200 для 2-й и 3-й |
реализации |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
и 200 отсчетов из 1-ой: |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i 1 200 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
6.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
7.5 |
|
|
|
|
|
|
|
5.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
40 |
80 |
120 |
160 |
200 |
|
|
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
3. Расчет оценок математического ожидания (среднего значения) стационарного случайного сигнала при условии, чтоонобладает эргодическим свойством, когда допустимо вычислятьоценки при
усреднении по времени одной реализации сигнала:
3.1 Оценка среднегозначения идисперсии для каждойиз 3-х реализаций
Оценка среднего значения сигнала по k-ой реализации:
|
|
|
N |
|
|
Для каждой из 3-х реализаций |
||
mxo(k) |
1 |
|
|
x k |
|
получаем: |
||
|
||||||||
|
N |
|
i |
|
mxo(k) |
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187
Оценка дисперсиисигнала по k-ой реализации :
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
2 |
Для каждой из 3-х реализаций |
||
Dxo(k) |
|
|
|
|
x k |
|
mxo(k) |
|
получаем: |
||
N |
|
||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
Dxo(k) |
||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.973 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.996 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.945 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка Ko(j) ковариационной функции:
J 10 - "глубина" расчета оценки АКФ. |
j 0 J |
|||||||||||
|
1 |
|
|
( N j) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ko(j) |
|
|
|
x 2 |
|
mxo(2) |
|
x 2 |
|
mxo(2) |
||
N j |
||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
i j |
|
||||
i 1
- дискретные значения аргумента автоковариационной функции;максимальный сдви по времени 10 временных тактов.
График нормированной ковариационной функции
1.2
0.84
Ko( j)
0.47
Dxo(3)
0.11
0.25
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
j
4.Вычисление оценки одномерной плотности распределения вероятностей случайногосигнала
4.1Обращение к процедуре вычисления гистограммы : A histogram M x 2
Вконтекстепрограммы для расчета гистограммы используется 2-я реализация случайного сигнала, представленногодискретной последовательностью.
188
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
А - массивразмерностью (Мх2) со |
|
1 |
2.3 |
30 |
|
|||
значениями величин:итог работы процедуры |
|
2 |
2.9 |
17 |
|
|||
histogram(M,x) при k=2, т.едля. 2-ой реализа- |
|
3 |
3.5 |
12 |
|
|||
циислучайного сигнала: |
|
|
|
|||||
|
|
4 |
4.1 |
26 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
5 |
4.7 |
29 |
|
|
|
|
|
|
6 |
5.3 |
18 |
|
|
|
|
|
|
7 |
5.9 |
21 |
|
|
|
|
|
|
8 |
6.5 |
14 |
|
|
|
|
|
|
9 |
7.1 |
19 |
|
|
4.2 Расчет величин длявычисления оценки ПРВ |
10 |
7.7 |
14 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Ширина подинтервала - |
x A2 1 A1 1 |
x 0.6 |
|
|
|
|
|
|
Значения частот: |
nm Am 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Координаты середин |
|
|
|
|
|
|
|
|
подинтервалов: |
xom Am 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Расчет значений оценок |
Wom ПРВ для каждого |
|
|
|
nm |
|||
|
из Мразрядов гистограммы : |
Wom |
|
|||||
|
N x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Графикиоценки ПРВ (поданным эксперимента) и теоретической ПРВ W(x)=1/(b-a)
0.5
Wom 0.33
1
( b a) 0.17
0
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
xom
189
7.2.Лабораторная работа 2. Статистические свойства смеси регулярного сигнала и узкополосного стационарного гауссовского шума
7.2.1. Теоретическая часть
Цель работы: изучение вероятностных характеристик огибающей и фазы смеси регулярного сигнала и узкополосного стационарного гауссовского шума.
Общие сведения из теории гауссовских сигналов
Определениеисвойствагауссовых(нормальных) сигналов. Слу-
чайныйсигнал X(t) называютгауссовским, еслиегоn-мернаяПРВимеет вид
W (x) W (x , x |
,..., x ) |
|
1 |
|
|
exp 0,5Q(x) |
|
, |
(1) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
1 2 |
n |
(2 |
)n / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
det Kx |
|
|
|
||||
где det Kx — определитель ковариационной матрицы Kx ; многочлен впоказателеэкспоненты
n n |
|
|
Q(x) Q(x1, x2 ,..., xn ) xi x j Ki( j |
1) |
(2) |
i 1 j 1
есть квадратичная форма (функция) от n переменных, в которой переменные xi (xi mi ) — центрированные значения переменных
и Ki(, j1) — элементы матрицы |
Kx 1 которая является обратной к кова- |
||||||||||||
риационнойматрице Kx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
K |
|
K |
K |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
Kx ti t j |
|
{Ki j } |
K21 |
K22 K2n |
; |
i, j 1,2,...,n . |
(3) |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
Ki j |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
K |
|
K |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n1 |
nn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элементы Ki j ковариационнойматрицы Kx являютсясоответствующимимоментами, тоесть
190
|
|
|
Ki j |
Xi |
mi X j mj |
при i j , Kii Di i2 |
|
(4) |
|
где |
m |
i |
и 2 — среднее и дисперсия величины сигнала |
X (t ) X |
i |
||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|||
вмоментвремени |
ti . |
|
|
|
|
||||
Из(1.2) дляодномернойПРВслучайногогауссовасигналаполучаетсяизвестноевыражение
|
|
1 |
|
(x m |
x |
)2 |
|
|
W (x) |
|
|
exp |
|
|
. |
(5) |
|
|
|
2 2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Для двумерной ПРВ после несложных вычислений, связанных собращениемматрицы(2 2), получимпри 1 2 выражение(1.39):
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
2x x k |
x2 |
|
|
||
W (x1, x2 ;k12 ) |
|
|
|
|
exp |
1 |
1 2 12 |
2 |
, |
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 2 (1 k122 ) |
|||||
2 2 |
|
(1 k |
2 |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K12
где k12 2 .
Свойства нормального процесса отмечены в подразд. 1.4. Здесь напомним, что, во-первых, n-мерная ПРВполностьюопределеназаданием АКФ Kx ( ) или, чторавносильно, ковариационнойматрицы Kx Ki j
при дискретном представлении сигнала; во-вторых, из равенства нулю всех взаимных ковариационных моментов (Ki j 0 для i j ) следует независимостьсистемыn случайныхотсчетов X1, X2 ,..., Xn . Действи-
тельно, вэтомслучаематрица(3) становитсядиагональной, обратнаяей матрицатакжеимеетдиагональныйвид. Этоприведеткравенствунулю коэффициентовуслагаемыхвида xi xj в(2) при i j , т.е. квадратичная формабудетиметьканоническийвид. Соответственнопоказательэкспоненты будет содержать тольковторые степени каждой из n переменных и n-мернаяПРВможетбытьпредставленаввиде(1.41)
W (x1, x2 ,..., xn ) W (x1)W (x2 ) W (xn ) , |
(7) |
чтосправедливо, еслислучайныевеличины X1, X2 ,..., Xn статистически независимы между собой.