Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах

171

Рис. 6.5. Функция неопределенности радиоимпульса с простой модуляцией (а) и область высокой корреляции (б)

Совместное разрешение сигналов по задержке и частоте F, как было установлено ранее, возможно вне области высокой корреляции, котораяопределяетсяусловием K( , F) 0,5 ипоказананарис. 6.5. Главные оси эллипса, который определяет границу области высокой корре-

ляции (площадьэллипса) равна П0,5 3 /(4 T F) 3 / 4B .

Для простых сигналов B 1 величина П0,5 составляет около 60 % от общей площади основания Посн . Это значит, что для простых сиг-

налов почти весь объем тела неопределенности, равный единице, сосредоточен в области высокой корреляции и вытеснить оттуда существенную часть полного объема в целях улучшения совместного разрешенияпо параметрам и F невозможно. Вэтом исостоитосо-

бенность задачи совместного разрешения при использовании сигналов с простой модуляцией, когда сужение ФН по одной из осей непременновызывает еерасширениеподругой.

Идеальное тело неопределенности должно иметь «кнопочный» вид типа иглы единичной высоты на прямоугольном основании, имеющем площадь 4 T F 4B (рис. 6.6).

Однакополучитьтелонеопределенностиснулевымибоковымилепестками невозможно, так как существует ограничение, обусловленное

172

принципомнеопределенностиврадиолокации, согласнокоторомунельзя произвольно менять форму тела неопределенности (см. п. 1.3.2). Суть егосостоитвтом, чтообъемтеланеопределенностинезависитотформы сигнала и равен единице (1.16а). Приближение тела неопределенности к идеальной форме возможно только при использовании сложных сигналов ( B 1).

Рис. 6.6. Условное представление идеального тела неопределенности сложного (база В >1) сигнала (а) и область высокой корреляции радиосигнала с внутриимпульсной линейной частотной модуляцией (б)

Действительно, при площади Посн 4B 1 область высокой корреляциибудетиметьплощадь П0,5 (3 / 4B) 1. Поскольку K 2 ( , F) 1, тообъемглавногопикателанеопределенности, соответствующийобласти высокой корреляции, равен Vгл 1 (3 / 4B) , то есть он имеет поря-

док величины 1/B. Остальная часть объема Vост 1 (1/ B) 1, тоесть практическивесьобъемтеланеопределенности, придетсянаоснование,

площадькоторогоравна 4 F T 4B . Такимобразом, высотаоснования, имеющаясмыслсреднейинтенсивности(мощности) боковыхлепестков, равна 1/4B. Этозначит, чтосреднеквадратичныйуровеньбоковых лепестков огибающий идеальной частотно-временной корреляционной функции K( , F) , или среднеквадратичная величина напряжения на выходе СФ вне области главного пика, примерно равна 1/ 2B (см.

рис. 6.6). Таким образом, уменьшение уровня боковых лепестков мож- но получить только за счет увеличения базы сигнала.

Следуетотметить, чтосамапосебебольшаявеличинабазы B необеспечивает приближения ФН K( , F) к идеальной форме. Например,

174

4.Какследуетпостроитьприемник-обнаружитель, чтобыреализовать предельную разрешающую способность сигналов известной формы повремени задержки?

5.Чтодает применение сигналов сбольшой базой в планеих разрешенияповременизадержки?

6.Какимидолжныбытьхарактеристикиприемногоустройства, чтобы реализоватьпотенциальныевозможности радиосигналавпланеразрешающей способности повремени задержки?

7.Каковы особенности разрешения сигналов одновременно по двум параметрам — временизадержкии частотномусдвигу?

8.Почему применение сигнала с простой модуляцией не позволяет одновременно повышать разрешение сигналов по временной задержке ичастотномусдвигу?

9.В чем состоит преимущество применения сигналов с большой базой при достижении высокого разрешения сигналов по временной задержке и частотному сдвигу?

10.ВчемсостоятпреимуществарадиосигналасФКМпосравнению срадиосигналом сЛЧМ при одновременнном разрешении сигналов по времени задержки и частотномусдвигу?

11.СформулируйтекритерииразрешенияпоРелеюиВудворду. Вчем состоитотличиеэтихкритериев?

12.Какой параметр радиосигнала определяет потенциальную разрешающую способность почастотному сдвигу?

13.ЧтоестьобластьвысокойкорреляцииФН-радиосигнала?

175

7. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

7.1.Лабораторная работа 1.

Статистическое описание случайных сигналов

7.1.1. Теоретическая часть

Цельработы: изучениеиэкспериментальнаяоценкаосновныхвероятностных характеристик дискретных во времени случайных сигналов снепрерывныммножествомзначений.

Основные положения теории случайных сигналов

Случайный сигнал. Функцию времени X(t), численное значение которой в любой момент времени ti является случайной величиной, то есть X (ti ) Xi , будем называть случайным сигналом. Дальнейшие рассуждения связаны стакими случайными сигналами, укоторых множество значений непрерывно. Оно может быть ограниченным, и тогда Xi (a;b) , где a и b — постоянные величины, или не ограниченным, например Xi ( ; ) .

Винженернойпрактикеширокоиспользуютпредставлениесигналов в дискретном времени. Таким образом, если иметь в виду последовательность моментов времени t1,t2 ,...,tn , то случайный процесс есть последовательностьслучайныхвеличин X1, X 2 ,..., X n. Важноотметить, что для описания случайного сигнала необходимо рассматривать со-

вместно систему n случайных величин. Вопрос о том, сколько следует взять моментов времени и как их задать, заслуживает отдельного рассмотренияи данномслучаенестоль важен.

Ансамбль реализаций и функция распределения вероятностей.

Заведомо определить значение случайной величины Xi невозможно. Таким образом, Xi или, если иметь в виду любой текущий момент времени t, то X (t) , есть, по существу, обозначение множества (совокупности, ансамбля) значений случайной функции. Конкретные численные значения случайной величины X обозначают малой буквой x.

176

В теории случайных сигналов конкретную реализацию случайного сигнала X(t) обозначают xk (t) . При этом полный ансамбль реализацийполагаютбесконечнобольшим.

Винженернойпрактикеколичествовозможныхреализаций (опытов, наблюдений) всегда ограничено. Задача статистики как науки состоит, в частности, в том, чтобы по ограниченному числу опытов получить информациюовероятностныхсвойствахслучайныхвеличин(функций) идатьоценкудостоверностиэтойинформации.

Для описания случайных величин в теории вероятностей введено понятие функции распределения вероятностей (ФРВ) F(x). Числовое значение функции F(x) в точке x равно вероятности события (X x), тоесть

Функция плотности распределения вероятностей. Найдем отно-

шение вероятности (2) к длине интервала, то есть определим среднюю плотностьраспределениявероятностинаконечноминтервале [x; x x] :

ср x

Очевидно, что при условии x 0 можно получить плотность вероятности в точке, подобно тому как получают мгновенную скорость в механике. Таким образом, для функции плотности распределения вероятности(ПРВ) найдем

имеет смысл бесконечно малой вероятности попадания случайной

величины (случайногопроцессаводинпроизвольныймоментвремени t) в бесконечно малую окрестность со значением x.

178

МногомерныеФРВиПРВ. ФункцияF(x), введеннаявыше, характеризуетповедениеслучайногосигнала в одинмоментвремени. Вобщем случае еевид может измениться при выборе другогомомента времени. Чтобы подчеркнутьэтот факт, функцию распределенияобычнозаписывают в виде F(x1;t1) . Однако, как уже отмечалось, знание только этой функции недостаточно для описания поведения случайного сигнала. Необходимо рассматривать совместно систему n случайных величин. Поэтомувводитсяфункция

где P[ ] — вероятностьсобытия, состоящеговсовместномвыполнении неравенств, указанныхвскобкахв n моментоввремени. Длякраткости записи совокупность случайных величин x1, x2 , x3,..., xn объединяют ввекторифункцию F(x;t1,...,tn ) называют n-мернойфункциейраспре- деления вероятностей случайного сигнала. Рассуждая аналогично, приходим к понятию n-мерной функции плотности распределения вероятностей W (x;t1,...,tn ) . Вероятностный смысл многомерных ФРВ

иПРВ остается прежним. Отличие лишь в том, что все рассуждения

ипостроения теперь следует рассматривать в n-мерном пространстве. В частности, дифференциальный n-мерный элемент вероятности

dF(x;t1,...,tn ) W (x;t1,...,tn ) dx , где dx dx1dx2 dxn — дифференци-

альныйэлементобъема.

Моментныефункции. ОписаниеслучайногосигналаспомощьюФРВ иПРВ являетсяисчерпывающим. Однакопредставить характерповедения случайного сигнала на их основе довольно сложно. В этом плане более наглядны моментные функции, которые в среднем определяют поведениеансамбляреализаций.

Впрактике широко применяют функцию mx (t) , которая определяет

влюбой момент времени t среднее (по всему множеству реализаций, те. . по ансамблю) значение случайного сигнала. Несмотря на изменчивость во времени, ее можноназвать постоянной составляющей случай-

ногосигнала. Вычислениефункции mx (t) предполагаетвесовоесуммирование (в данном случае интегрирование) всех возможных значений сигналасучетомвероятностей (5) ихпоявления. Витогеполучаемизвестноеизтеориивероятностейсоотношениедляматематическогоожиданияслучайнойфункции

179

где M — оператор (правило вычисления) математического ожидания; черта сверху — упрощенное обозначение оператора усреднения по ансамблю. Таким образом, «математическое ожидание» и «сред- нее по ансамблю» — это по существу тождественные понятия.

Вторая не менее важная моментная функция определяет среднюю мощность вариаций (отклонений) случайного сигнала относительно среднего значения в момент времени t. Величина отклонения (переменная составляющая) или центрированное значение сигнала есть X (t) X (t) mx (t) . Поскольку мощность пропорциональна квадрату тока (илинапряжения), тоеесреднеепоансамблюзначениеопределено выражением

Можносчитать, чтодисперсияхарактеризуетвсреднемстепеньрассеяния сигнала в момент времени t относительно его среднего значения. Фактическиепределыинтегрированияв(7) и(8) определяютсяобластью значений x, где W (x;t) 0 в общем случае — это вся вещественная прямая, тоесть x ( ; ) .

Отметим, чтовычисление Dx (t) и mx (t) требуетзнанияодномерной ПРВ. Очевидно, что, определяя свойства случайного сигнала в один моментвремени, тоестьпривлекая толькоодномернуюПРВ, невозможнохарактеризовать скорость изменения сигнала вовремени, тоесть его спектральные(частотные) свойства. Длявведениямоментнойфункции, обладающейуказаннымсвойством, необходимопривлечь2-мернуюПРВ W (x1, x2;t1,t2 ) . Моментнаяфункция, котораясвязанасоспектральными свойствами случайного сигнала, называется автоковариационной функцией (АКФ). Автоковариационнаяфункция Kx (t1,t2 ) определяется как среднее по ансамблю величины X (t1)X (t2 ) , равной произведе-

нию центрированных значений сигнала в два момента времени X (t1)

и X (t2 ) . Таким образом, имеем

180

Предлагаетсясамостоятельноубедитьсявтом, чтовслучаенезависи- мых величин, когда справедливо соотношение

выражение (9) для АКФ тождественно равно нулю, те. . в эти моменты временизначенияслучайногосигналанекоррелированы.

Случайныестационарныесигналы. Важныйклассслучайныхсиг-

наловсоставляют стационарные сигналы. Свойство, котороеопределяетэтисигналы, состоитвтом, чтодлянихn-мерныеПРВнеизменяются припроизвольном переносеначала координатпоосивремени. Еслиэто свойствовыполняетсятолькодля n 2 , тослучайныйсигналназывают

не строго стационарным или стационарным в узком смысле. В итоге дляслучайногостационарногосигналаПРВ1-гопорядка(ПРВдляодно- гомоментавремени) отвременинезависит, аПРВ 2-гопорядказависит лишь от модуля t2 t1 . Из выражений для моментных функций

(7)–(9) следует, что среднее значение и дисперсия стационарного процесса суть постоянные величины, а автоковариационная функция есть функцияодногоаргумента, тоесть

Эргодическоесвойствослучайныхстационарныхсигналов. Ста-

ционарные сигналы, у которых АКФ абсолютно интегрируема, обладают эргодическим свойством. Суть этого свойства в том, что вероятностные характеристики ( F(x), W (x), mx , Dx , K( ) ), которые были определены выше как средние по ансамблю, могут быть определены

по одной (любой) реализации xk (t) случайного сигнала X (t) путем усредненияповременисоответствующихвеличиннаинтервале t (0;T ) . Таким образом, усреднение по ансамблю и по времени дает один и тот же результат. Теоретически показано, что совпадение вероятностных характеристиквозможнолишьпри Т . Однаковдействительности необходимая для практики погрешность 5–10 % реализуется при конечныхвеличинах T.