Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
161
являются блок экстраполяции оценки (БЭО), блок экстраполяции наблюдений (БЭН), блок вычисления матричного коэффициента усиления (БКУ), образующий вместе с разностным устройством дискриминатор.
Рис. 5.1. Структурная схема линейного фильтра Калмана при скалярных наблюдениях
Следует обратить внимание на то, что в рассмотренной линейной задачематрицы Ф и H независятотвремени. Матричныйкоэффициент усиления gt при скалярных наблюдениях имеет структуру вектора, зависит от времени, но не зависит от наблюдаемого сигнала. Следовательно, он может быть вычислен предварительно и введен в память вычислителя. В нелинейных задачах, в частности, при частотной или фазовоймодуляциинаблюдаемогосигналаполезнымсообщениемдискриминатор, входящий в состав демодулятора, оказывается нелинейным
[9, 16, 17].
5.5.Контрольные вопросы к главе 5
1.Запишитевобщемвидевыражениебайесовскойоценкивекторногопараметра .
2.Какая функция наиболее полноопределяет свойства параметра как случайного вектора?
3.ВчемотличиеаприорнойиапостериорнойПРВпараметра ?
4.Какой вид имеет оператор условного среднего в задаче оптимальнойбайесовскойоценкипараметра ?
5.Чтопонимают, когдаупотребляюттермин«оптимальнаясреднеквадратичнаярегрессиявектора навекторнаблюдений y»?
162
6.Сформулируйтезадачуоптимальнойлинейнойсреднеквадратичной регрессии.
7.Почему решение задач оптимальной линейной регресии в общем случаенегарантируетминимальнойСКОоценок?
8.Какиестатистическиехарактеристики полезного (скалярного) па-
раметра и скалярного наблюдения yt определяет уравнение оптимальнойлинейнойрегрессии?
9.Назовите статистические параметры, определяющие совместную гауссовскую ПРВ W( y). Запишитеих выражения.
10.Полагая функцию потерь квадратичной, запишите в явном виде
выражениебайесовской оптимальной оценки при условии, чтовек-
Б
тор наблюдений y и неизвестный вектор параметров совместно гауссовскиеслучайныевеличины.
11.Какимиспособамиможнозадатьслучайнуюфункцию?
12.В чем сущность задания случайной функции в терминах «переменныхсостояния» динамическойсистемы? Какойвидимеетдифференциальноеуравнение — «генератор» реализаций гауссовской случайной функции (t)?
13.Объяснитенафизическомуровневзаимосвязьмарковскогосвойства случайной функции и порядка дифференциальногоуравнения, содержащего белый гауссовский шум в правой части?
14.В чем различие и сходство задач оптимальной линейной регрессиииоптимальнойлинейнойфильтрации?
15.Перечислитеэтапыформированияоптимальнойоценкинеизвестной случайной функции в рекурсивной форме с помощью алгоритма фильтраКалмана.
16.Назовитеусловия, прикоторыхлинейныйфильтрКалманареализуетформированиеоптимальнойпокритериюминимумаСКОбайесовской оценки случайного сообщения (t).
17.Что есть невязка наблюдений в алгоритме фильтра Калмана? Каким образом она формируется?
18.От чего зависит размерность вектора gt, который определяет усилениефильтраКалмана? Вкакомслучаевекторgt получитструктуру матрицы, чтоповлияетнаееразмерность?
19.ОбратитевниманиенауравненияфильтраКалманаиопределите,
вкаком случаематричный (векторный) коэффициент фильтра Калмана независитотвремени.
163
6. РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ
6.1. Общие положениия
ДлямногихтиповРТС, особеннорадиолокационныхирадионавигационных, характернымявляетсярежимработы, когданавходеприемникаодновременноприсутствуютболеечемодинполезныйсигнал. Например, приРЛ-наблюдениидвухобъектов, находящихсявзонеоблучения, определяемой шириной диаграммы направленности антенны, входной сигналприемника
y(t) s1(t; 1, 1) s2 (t; 2 , 2 ) n(t), |
t (0;T ) . |
(6.1) |
Составляющимивектораинформативныхпараметров i |
(i 1,2) каж- |
|
дого из сигналов могут быть время задержки 0i , связанное с дальностью до объектов, допплеровский сдвиг частоты 0i , зависящий от их радиальнойскорости, угловая координатаидр.
В РЛ-системе необходимо для каждого объекта получить оценки полезных параметров. В случае, когда объекты близки друг к другу по какому-либо из параметров (допустим по дальности), сигналы s1( ) и s2 ( ) навходеприемникаперекрываютсявовремени. Еслиобъектыимеют близкиерадиальныескорости, топроизойдет перекрытиечастотных спектров сигналов.
Очевидно, чтоопределениечисла сигналов в наблюдаемой реализации(6.1) иизмерениепараметровкаждогоизнихприперекрытиисигналов значительно сложнее, нежели в случае, когда сигналы достаточно разнесеныпосоответствующемупараметру.
Проблема разрешения сигналов, перекрывающихся по одному или нескольким параметрам (по времени задержки и (или) частоте) со- стоит в раздельном выделении полезной информации, содержащейся в каждом из них.
Разрешающая способность нарядус точностью относится к важнейшимтактическимпоказателямРТС. ВРЛ-системахонавлияетнаполно- тусведенийонаблюдаемой обстановкеприналичии нескольких целей.
164
Разрешающая способность количественно равна минимальной разнице по каждому из разрешаемых параметров двух сигналов, при которой возможно их раздельное обнаружение и измерение параметров.
Наличие шума вносит неопределенность и придает задаче статистический характер. Чем больше отношение сигнал/шум, тем меньшая разница в параметрах разрешаемых сигналов может быть уверенно отмечена в выходном устройстве системы обработки. И наоборот, при уменьшении этого отношения требуется все большее и большее различие параметров перекрывающихся сигналов для их уверенного разрешения.
Кромеотношенияэнергийсигналовишумабольшоевлияниенадостоверностьразрешенияоказываетформаразрешаемыхсигналови, впервуюочередь, ихпротяженностьпопараметруразрешения. Чемужеразрешаемые сигналы по данному параметру, тем ближе друг к другу они могут быть расположены и при этом надежно разрешены, и тем лучше разрешающая способность РТС. Таким образом, определенный смысл имеет анализ разрешающей способности без учета влияния шума. Во всяком случае, результаты анализа будут оправдываться по мере увеличенияуровнясигналапоотношениюкшуму. Вэтомслучаевлитературе потеорииРТСобычноговорятопотенциальной(предельной) разреша-
ющей способности системы по соответствующему параметру: дальности(временизадержкисигналов), радиальнойскорости(частотномусдвигу спектра сигналов).
Учитывая указанные вышеобстоятельства, рассмотрим влияние законовипараметровмодуляциисигналовнаразрешающуюспособность РТС повремени задержки и сдвигу несущей частоты F.
6.2.Разрешение по времени запаздывания. Простые и сложные сигналы
Впп. 1.3.1, 1.3.2 определено понятие функции различия (1.7) двух сигналов s(t, 0 ) и s(t, ) , отличающихся значениями информативных
параметров 0 и , ипоказанаключеваярольнормированнойсигнальной функции q( 0 , ) в задачах различения, обнаружения сигналов и измерения их параметров на фоне шума. Напомним, что функция q( 0 , ) призаданных 0 и определяетстепеньразличиядвухкопий сигнала, отличающихсязначениемпараметра .
165
Вчастном случае, когда двумерный неэнергетический параметр
, , функция q( 0 , ) посуществуявляетсячастотно-временной корреляционной функцией k( , F) , которая для узкополосных радиосигналовимеетвид(1.13). Напомним, чтоогибающую K( , F) функции k( , F) называютфункциейнеопределенности. Вподразд. 3.2 показано,
чтосигнальнаяфункция zs (t) навыходефильтра, согласованногоссигналом s(t; 0 0, 0 0) при входном воздействии s(t ; ) повторяет по формефункцию k[(t ); const] . В силуинвариантности ли-
нейногостационарногофильтраквременномусдвигуизменениезадержки входногосигналанапроизвольнуювеличину приводиткравномусдвигуповременисигналанавыходефильтра.
Вп. 1.3.2 показано, что мерой различия (или сходства) двух узкопо-
лосных радиосигналов s(t, 0 ) и s(t, ) , по неэнергетическим параметрам и являетсяфункция неопределенности K( , ) . Следовательно, анализразрешениясигналовпопараметрам и непременно связансформойэтойфункции. РассмотримоткликСФпривоздействии на его вход двух радиосигналов.
Пустьнавходпоступаютдварадиосигналаспрямоугольнойогибающей длительностью Ts и простой модуляцией, то есть база сигналов B T F . Временноеположение сигналовотличаетсянавеличину (рис. 6.1). Тогда в силу линейности фильтра сигнальный отклик (3.18) на еговыходе (сигнал zs (t) ) будет такжесостоять издвух слагаемых. Причемсточностьюдопостоянногокоэффициентаогибающаякаждого из них имеет форму, совпадающую с огибающей временной автокорреляционной функции K( ). Для прямоугольных радиоимпульсов функцияK( ) имееттреугольнуюформуипротяженностьповремени 2Ts (см. рис. 1.9,а). Таким образом, на выходе детектора огибающей получим дватреугольных импульса, разделенных промежутком .
s(t; ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Zs(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
zs(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
Ts |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Детектор |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласованный |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фильтр |
|
|
огибающей |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2TS |
t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ts |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 6.1. Разрешение по времени задержки двух радиосигналов прямоугольной формы с простой модуляцией
при согласованной фильтрации
166
Ширину к функцииK( ) исоответственнодлительностьсигналовна выходеСФчастоопределяютпоуровню 0,5 отихмаксимальногозначе-
ния. Величина к 2 0,5 , где 0,5 — интервал корреляции, определяемый из условия K( 0,5 ) 0,5 . Для прямоугольного радиоимпульса
(см. рис. 1.9,а) 0,5Ts и, следовательно, к Ts . Найдем связь длительностисигнала к навыходеСФсосреднеквадратическойширинойF спектра узкополосногорадиосигнала навходеСФ. Дляэтогов формуле (1.22), определяющей протяженность сечения (эллипса) функции неопределенности K( F) по оси , зададим величину c 0,5 . В итоге получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
3 |
, |
(6.2) |
||||
F |
|
|
|||||||
|
|
C 0,5 |
F |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение величины, характеризующей разрешающую способ-
ностьсигналапозадержке , предполагаетвведениекритерия, который позволит определить минимальное сближение двух сигналов min , прикотором«наблюдатель» можетфиксироватьналичиедвухсигналов. Согласно критерию Релея, который применяется в оптических измерениях, условие р min соответствуеттакомуположениюсигналовна выходе устройства разрешения (СФ), при котором огибающая мгновен-
ной мощности двух некогерентных сигналов имеет двугорбую форму с провалом до уровня, равного половине от максимума. Мгновенная мощностькаждогосигналапропорциональнафункции K 2 (t) . Посколькудля некогерентныхсигналов мощностьсуммы сигналовравна сумме мощностей, то«провал» дополовиныотмаксимума (рис. 6.2) образует-
ся припересечении огибающих как раз на уровне 0,5 от мак-
1, |
р |
T |
симального; при этом р |
||
|
|
|
|
s |
min к . В случае радио- |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
импульсаспростоймодуляцией |
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервал корреляции к Ts |
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
TTSs |
|
(припрямоугольнойогибающей |
|
|
|
|
|
||
Рис. 6.2. Интенсивность отклика |
|
к Ts ), поэтому для такого |
|||
|
согласованного фильтра |
|
сигнала р Ts или р T , |
||
при разрешении двух некогерентных |
так как среднеквадратическая |
||||
сигналов по критерию Релея
167
длительностьсигнала T, еслиона существует, имеетвсегдатот жепорядок, чтоидлительностьсигнала Ts .
Общий вывод заключается в том, что разрешающая способность сигнала по задержке равна интервалу временной корреляции, то естьр к . Улучшениеразрешающейспособности(уменьшение р ) свя- зано, согласно (6.2) с увеличением ширины спектра сигнала F .
Привлекая понятие базы сигнала B F T , можно утверждать, что разрешающая способность
р |
|
1 |
|
T |
. |
(6.3) |
F |
|
|||||
|
|
|
B |
|
||
Таким образом, повысить разрешающую способность сигнала
повремени задержки, используя простуюмодуляцию ( B 1), возмож- но только путем сокращения его длительности. В этом случае принеизменноймощностиизлученногосигналаегоэнергияуменьшится. В итогев приемнике на выходесогласованного фильтра максимальноеотношениесигнал/шум q02 2Es / N0 такжеуменьшитсяи, какследствие, в РТС ухудшатся характеристики обнаружения и различения сигналов. Исправитьположениевозможнопутемувеличениямощности излучения. Однако это не всегда допустимо. Более того, режим с малой мощностью излучения повышает скрытность работы и благоприятствуетрешениюпроблемы электромагнитнойсовместимостиразличных РТС.
Применениесложныхсигналовпозволяетизбежатьуказанныхпоследствий. Действительно, согласно (6.3) можносцелью повышения разрешающейспособностипризаданнойдлительностисигнала T значительно увеличить базусигнала B путемувеличенияширины егоспектра F, например, засчетвнутриимпульснойЛЧМилиФКМ.
На рис. 6.3,а условно показаны два перекрывающихся по времени ВЧ-сигнала s(t) и s(t ) сосложной модуляцией, которые поступают навход СФ. Автокорреляционная функциясигналов k( ) приведенана рис. 6.3,б; ее ширина к 1/ F T / B , причем к TS . Сигналы на выходе СФ представлены на рис. 6.3,в. По форме они повторяют функцию k( ) и, таким образом, сжимаются по длительности по сравнению с входными сигналами примерно в B F T раз. В итоге перекрывающиеся по времени входные сигналы будут разрешены по задержке, если min . Разрешающая способность по критерию
168
Релея, p k 1/ F . Формальноэтотрезультатсовпадаетсвыражениемприиспользованиипростыхсигналов. Однакоусложногосигнала этувеличинуможноизменятьнезависимоотдлительности Ts . Действительно, напримердлясигналаЛЧМширинаспектраопределяетсядевиациейчастоты, априФКМ F 1/ , где — длительностьпарциально-
го импульса (см. пп. 1.3.4, 3.3.2).
|
|
|
|
|
s(t) |
|
s(t – ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
TS |
|
|
a |
||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
zs(t) |
|
|
|
|
zs1(t) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
zs2(t) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
в |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
k( )
1,0 |
|
1 |
2 T T |
|
k к F |
BB |
|
б
min kк p р
Zs(t)
t
г
Рис. 6.3. Разрешение сложных сигналов по времени задержки:
а — два перекрывающихся по времени задержки радиосигнала на входе согласованного фильтра; б — автокорреляционная функция радиосигнала;
в— сигнальный отклик согласованного фильтра;
г— огибающая сигнального отклика
Нарис. 6.3,в видно, чтоналичиебоковыхвсплесков (лепестков) иих уровеньсущественновлияютнадостоверностьразрешениясигналовпо временизадержки. Действительно, боковыелепесткиполезногосигнала на выходе СФ, те. . соседние с главным максимумом пики огибающей временнойАКФсигнала, могутбытьложновоспринятыкакблизкиепо задержкесигналы. Параметр к , равныйразрешающейспособности р по критерию Релея, учитывает только локальное поведение временной автокорреляционнойфункции K( ) . Вэтойсвязидлязадачиразрешения болеекорректнойявляетсяхарактеристика, предложеннаяФ. Вудвордом.
Он ввел величину, называемую постоянной разрешения по времени,
котораяопределяетсявыражением
|
|
|
K 2 ( ) d . |
|
в |
|
|
(6.4) |
По существупостоянная разрешения равнаширинепрямоугольника, площадь которого равна площади под кривой K 2 ( ) . На рис. 6.4 показано соотношение величин временной разрешающей способности по Релею и Вудворду.
Рассмотрим в общем виде особенности разрешения сигналов по двум параметрам — задержке и частоте F.
169
K 2 ( )
0,75 |
|
|
в |
, |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
, |
|
|
|
0,25 |
|
|
р |
, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
0 |
|||
Рис. 6.4. Соотношение величин разрешающей способности
по Релею и Вудворду
6.3.Совместное разрешение сигналов по времени запаздывания и частоте
Качестворазрешениясигналовпопараметрам и F зависитотвида функции неопределенности огибающей (частотно-временной корреляционнойфункции) K( , F) . Геометрически K( , F) представляетсобой поверхность, формакоторой (ширина, уровеньбоковыхлепестковидр.) зависит от способа и параметров модуляции сигнала (см. рис. 1.8,а,
1.12,а). СпособипараметрымодуляцииВЧ-сигнала s(t) Re S(t) ei 0t
определяют его комплексную огибающую S(t) S(t) eiФ(t) . В п. 1.3.2 показано, чтофункциянеопределенности
K( , ) 1 S(t) S (t ) ei t dt .
2Es
Тело, образованноеповерхностью K 2 ( , F) иплоскостьюкоординат
( , F), называется телом неопределенности [7].
Очевидно, разрешение двух копий сигнала, отличающихся друг от друга по времени запаздывания на и частоте на F, будет тем выше, чемменьшезначениеФНвточкескоординатами и F. Другимисловами, совместнаяразрешающаяспособностьпозадержке ичастоте F будетвыше, еслителонеопределенностиимеетмаксимальноузкийиединственныйпик.
Свойства главного сечения K( ) K( ; 0) обсуждались выше: протяженность пика ФН вдоль оси определяет разрешающую
170
способность р сигналаповременииимеетпорядокдлительности к огибающей временной автокорреляционной функции сигнала. Другое главное сечение ФН — частотная автокорреляционная функция K(F)K( 0;F) K( 0; F) , очевидно, определяет разрешение только по частоте, когдадвасигналасовмещеныповремени, ноотличаютсячастотами. Всоответствии с (1.15) имеем
|
1 |
|
|
S(t) |
|
2 |
ei2 Ft dt |
|
|
K(F) |
|
|
|
. |
(6.5) |
||||
2E |
|
|
|
||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
Явный смысл функции (6.5), как корреляционной функции, установить просто. Применяяк (6.5) теоремуПарсеваля, получим
|
1 |
|
|
|
|
K(F) |
|
G( f F) G ( f ) df |
. |
(6.6) |
|
2E |
|
||||
|
|
s |
|
|
|
Такимобразом, протяженностьпикафункциинеопределенностивдоль |
|
частотной оси F имеет порядок ширины Fк огибающей частотной ав- |
|
токорреляционной функции K(F). Согласно (6.5) K(F) и S(t) |
2 S2 (t) |
образуют пару сопряженных по Фурье функций. Следовательно, повы-
шение разрешающей способности только по частоте, т.е. уменьше- ние величины Fр Fк , для любыхсигналов связано сувеличением про- тяженности действительной огибающей S(t) S(t) радиосигна-
ла s(t) . Это равносильно увеличению длительности (Ts или T ) сиг-
нала s(t) и в случае простых сигналов ( B 1) непременно ведет к снижениюразрешенияпозадержке , таккак р T / B . Такимобразом,
увеличение совместной разрешающей способности по параметрам и F для сигналов с простой модуляцией реализовать невозможно.
Длянаглядногопоясненияданногоположенияобратимсякгеометрическойинтерпретации. Нарис. 6.5 показанафункциянеопределенности дляпростогосигналасгауссовойогибающей. Длительностьсигнала s(t)
ипротяженность его спектра можно положить приближенно равными соответствующим среднеквадратичным величинам T и F . Тогда протяженностьобластиопределенияфункции K( , F) попеременным
иF практически равна 2 T и 2 F. Площадь основания, в пределах
которого сосредоточено тело неопределенности, Посн 4 T F 4B .