Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах

152

иэтотэлементпосмыслуесть оценканаблюдения намоментвремени t на основе наблюдений, доступных к моменту времени (t – 1). Другими словами, это также прогноз (экстраполяция) наблюдений на один шаг вперед.

уместноназватьошибкойпрогнозанаблюдений (невязкой). Приформированиитекущейоценкиневязкаучитываетновуюинформацию, содержащуюсяв поступившемнаблюдении yt . Если математическаямодель наблюденийдостаточноточная, тоневязкаобеспечиваетулучшениекачестваоценокпараметровпомерепоступленияновыхданных. Последовательность t при t 1,2... часто называют процессом обновления

(innovation process).

Следовательно, условная (при заданных наблюдениях Yt 1 ) ковариация Kt 1( yt , yt ) , которая при скалярном наблюдении есть условная дисперсия, те. . Kt 1( yt , yt ) Dt 1 yt , имеет с учетом (5.19), (5.20) вид

оценкойилинейнойфункциейнаблюдений, аэлементыпоследователь-

ности ошибок nt статистически независимы между собой и с векторомнаблюдений .

Витогерекурсивнаяформаалгоритмаоценивания (4.94) принимает вид

153

менномшаге. Найдемрекурсивноесоотношениедляковариационныхматрицоши-

бок оценивания Kt 1 и Kt для соседних моментов времени. Из уравнения(5.15) следует

Уравнения (5.23) и (5.25) полностью определяют рекурсивный алгоритм формирования линейной оценки случайного векторного параметра с минимальным значением суммарной (по всем компонентам вектора) дисперсии ошибок.

Напомним, что полученный выше алгоритм является наилучшим (в смысле минимума СКО) в классе линейных алгоритмов и строго оптимален, есливероятностныесвойстванаблюдаемогосигналаиполезного сообщения описываются гауссовской ПРВ.

Взаключениеперечислимосновныеэлементырекурсивногоалгоритма (5.23), которые определяют его структуру:

вания.

Для инициализации алгоритма необходимо задать начальную оценку 0 иеековариационнуюматрицуK0.

154

5.4.Оптимальная линейная фильтрация. Фильтр Калмана

Вобщемслучаеполезноесообщение (t) является случайной функцией времени. Задачу оценивания неизвестной функции называют задачейфильтрациисообщения. Отметим, чтоневсегдаудобнодляпредставленияслучайнойфункциииспользоватьразложениевряд(4.21) по известнымфункциямсослучайнымикоэффициентамивида

Ясно, что при заданном r используемые в (5.26) функции окажутвлияниенаточностьпредставленияслучайнойфункции. Допустим,(t) — речевой сигнал. Какой набор fi (t) следует использовать для егопредставления? Можетбытьстепенныефункцииилигармонические?

Существуют два основных способа прямого представления случайного сигнала. Попутно отметим, что косвенный способ задания случайнойфункциипредполагаетееописаниенаосновеиспользования ПРВ[17].

Рассмотрим первый способ прямого описания случайной функции. Оноснованнапримененииряда (5.26) иоптимальномилиподходящем выборе множества функций fi (t) . Здесь известны несколько подходов. Остановимся кратко на двух из них. Это разложение Карунена — Лоэва [14] и метод канонических разложений Пугачева [15]. В первом случаенеобходиморешитьинтегральноеуравнение, найтисобственные функцииисоответствующиеимсобственныечисладляоператора, определяемого ковариационной функцией случайного сигнала. Во втором случае необходимо использовать произвольную систему порождающих функций, обладающихсвойствомбиортогональностиотносительнокорреляционнойфункциислучайногопроцесса [15]. Вобоихслучаяхколичество членов ряда может быть достаточно большим, те. . размерность вектора неизвестныхпараметровтакжебудетдостаточнобольшой.

Второйспособпредставления основаннаконцепцииформирующего фильтра и введении понятия переменной состояния динамической системы. Именноэтотподход[16, 17] объединилтеориюдинамических систем, использующуюдляихописаниядифференциальныеиразностные уравнения, и теорию описания случайных функций, обладающих марковским свойством (см. подразд. 1.1).

156

Динамическая система (5.27), (5.28) фактически может рассматриватьсякакформирующийфильтрдляпроцесса (t). Дифференциальное уравнение (5.27) называют порождающим для процесса (t). Таким образом, по существу нет различия в математическом описании сигналов и систем. В этом суть концепции формирующего фильтра в современноймарковскойтеориифильтрации[16, 17].

Очевидно, что при более сложной корреляционной функции K ( ) порождающийфильтр, оставаясьлинейнымдлягауссовскихпроцессов, будет динамической системой болеевысокого n-гопорядка. Порождающее дифференциальное уравнение (разностное для дискретных во времени систем) уже не будет уравнением первого порядка. Для обеспечения единственности выходной реализации информативного процесса(t) при отсутствии входного шума потребуется задание n случайных величин, определяющихначальныеусловия. Витогебудетвведенвектор переменных состояния x(t), одна из компонент которого (в общем случае — некоторая линейная комбинация) совпадает с самим процессом (t) . Однакотеперьслучайныйпроцесс (t) небудетпростыммарковским, но будет сложным — многосвязным.

Известно, что дифференциальное уравнение n-го порядка можно заменить эквивалентной системой n уравнений первого порядка для новыхпеременных. Вкачествеэтихпеременныхцелесообразновыбрать переменныесостояния, определяющиеначальныеусловияилиихлинейные комбинации. В итоге порождающее дифференциальное уравнение для информативного сообщения (t) будет представлено системой уравнений первого порядка для вектора переменных состояния x(t). Эта система уравнений определяет математическую модель полезного сообщения в задачах теории марковской фильтрации. Таким образом,

где x(t) — n-мерный вектор состояния; A — ( n n )-числовая матрица, вид которой зависит от корреляционной функции K ( ) ; B — ( n 1)- числовая матрица. При переходе к дискретному времени (5.29) можно сопоставитьразностноеуравнение

158

неявляютсясовместногауссовскимииоптимальныйфильтроказывается нелинейной системой, байесовский оператор (5.1) не имеет точного представления в явной форме [16, 17].

Посвоейсутизадачалинейнойфильтрациианалогичназадачеоптимальной линейной регрессии, рассмотренной в подразд. 5.3. Отличие задач возникает в связи с представлением случайной функции с помо- щьюпорождающихдифференциальныхуравнений. Онопроявляетсяна этапе прогноза оценки (в данном случае прогноза оценки состояния) и прогноза ковариационной матрицы этой оценки. Ясно, что поскольку вобщейзадачефильтрацииполезноесообщениеизменяетсявовремени, тонаэтапепрогнозаоценокиихковариацийдолжнаучитыватьсямодель дляпеременныхсостояния (5.30).

Оптимальныйалгоритмлинейнойфильтрациисгауссовскимисигналамисостоитизследующихэтапов:

1) предсказание (прогноз) оценкисостояниянаодиншаг:

где K0 — априорнаяковариацияоценки x0 ;

5) вычисление векторного коэффициента усиления фильтра