Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах

132

где — случайная поправка, обусловленная наличием шума. Видно, что влияние на оценку при 0 стремится к нулю, то есть при

q0 имеем zn 0 и МП 0 . Методмалогопараметра[9] предполагаетвведениефункции

( ) 2 d z( ) , d

которая определяет скорость изменения ЛФП по параметру и явно зависитотмалогопараметра .

На рис. 4.7 условно показаны логарифм ФП и его сигнальная часть. Представим функцию ( ) в окрестности истинного значения 0 в виде ряда Тейлора. Тогда при учете в разложении только линейной частирядазначение МП 0 можнопредставитьввиде

Рис. 4.7. Логарифм ФП z( ) и его сигнальная функция zs( )

Послевведениясоответствующихнормировокдля zs ( ; 0 ) и zn ( ) из (4.59) с учетом (4.58) получаем алгебраическое уравнение для слу-

134

Таким образом, при большом отношении q02 2Es / N0 дисперсия МП оценки параметра обратно пропорциональна величине это- го отношения и значению кривизны нормированной сигнальной части логарифма функции правдоподобия по параметру в точке 0 .

Важно отметить, что (4.61) совпадает также с АКФ полезного сигнала по параметру (см. п. 1.3.2). В частности, когда является задержкой , получаем zs ( ) k( ), при = имеем zs ( ) k( ).

Таким образом, дисперсия МП-оценки неэнергетического сигнала обратно пропорциональна кривизне нормированной АКФ сигнала по параметру в точке максимума.

Применение формулы (4.63) для расчета дисперсии максимально правдоподобнойоценкипараметрасигналаиногдаможетдатьрезультат, достижениекотороговреальномизмерителепрактическитеряетсмысл. Вчастности, подобнаяситуациявозникаетприоценкевременизадержки 0 ВЧ-радиоимпульса s(t 0 ) с полностью известными параметрами. Рассмотрим подробнее суть вопроса.

Какследуетизподразд. 4.5 формированиеоценки МП предполагает наличие в устройстве обработки генератора опорного сигнала s(t ). Поскольку фактически необходимо определить взаимное положение двух сигналов на оси времени, то момент начала отсчета времени при этомнеимеетзначенияиможнополагать 0 0 .

Наоснове(4.57) сучетом (4.61) нормированнаясигнальнаяфункция взадачеоценкевременнойзадержкисигналаимеетвид

который полностью совпадает с выражением (1.15а) для временной автокорреляционой функции k( ) ВЧ-сигнала s(t) . В подразд. 3.2 былопоказано, чтосигнальнаячасть откликана выходесогласованного фильтра также повторяет по форме АКФ k( ) . Вид этой функции длярадиоимпульсовспрямоугольнойигауссовскойогибающейпоказан на рис. 1.10, 1.11.

Формула (4.63) для дисперсии МП оценки параметра утверждает, чтодисперсияобратнопропорциональнакривизнефункции k( ) вточке 0. В случае узкополосных ВЧ-сигналов, когда несущая 0 значительно превышает полосу и огибающая K( ) в уравнении (1.16) практически постоянна на интервале времени, равном периоду

135

ВЧ-сигнала, величина k ( 0) фактическиопределяетсямножителем cos( 0 ) и равна 02 . Таким образом, для частот, превышающих сотни мегагерц и более, можно, казалось бы, достигнуть точности измерения времени задержки порядка единиц наносекунд. Однако это, какправило, невозможно. Причинойтомуявляетсяналичиеблизкорас-

положенных соседних пиков сигнальной функции. Они не позволяют реализоватьнадежное(однозначное) измерениевременнойзадержки.

Выход из положения состоит в том, чтобы оценку МП получать по положению максимума огибающей K( ) . Необходимость использованияогибающей сигнальнойфункции zs ( ) возникаетивтомслучае, когда полезный сигнал содержит неизвестную начальную фазу. Для выделения огибающей K( ) в оптимальномизмерителеиспользуется амплитудный детектор. В случае, когда функция zs ( ) образуется с помощью согласованного фильтра, детектор подключается к его выходу.

Таким образом, при расчете дисперсии D МП в (4.63) следует использоватьвторуюпроизводную K ( 0). Определимеевеличину через спектральную функцию G( ) комплексной огибающей сигнала S(t) .

Дляэтогопредварительнопокажемсправедливостьсоотношения

Запишем преобразование Фурье по переменной t от произведения

функций S(t) S (t ) , рассматривая вкачествепараметра.

В итоге получим Г( ; ) S(t) S (t )e i t dt и отметим, что

согласно (1.16) 2Es K( ) Г(0; ) . В соответствии со свойствами пре-

образованияФурьесправедливысоотношения

Известнотакже, чтоФурье-образпроизведениядвухфункцийвреме- ни является сверткой Фурье-образов этих функций. Таким образом, для функции Г( ; ) запишеминтегралсверткиввиде

136

Выполняявычислениевторойпроизводнойотэтоговыраженияпо иучитывая (1.19), получим

где — среднеквадратичная полоса частот радиосигнала, равная среднеквадратичной ширине энергетической спектральной плотности G( ) 2 комплексной огибающей сигнала S(t) . Напомним, что точка начала отсчета частоты ( 0 ) совмещена при этом с центром масс нормированнойфункции (1.18). Витогедлядисперсииоценкивремени задержки получим

Врадиолокационныхирадионавигационныхсистемахизмерениевременизадержкисигналанавходеприемникаотносительносигнала, излученногопередатчиком, позволяетопределитьдальностьдообъекта. Фор-

мула (4.63а) позволяет вычислить дисперсию оптимальной оценки дальности, связанную с влиянием аддитивного собственного шума приемника.

4.8. Оптимальная оценка начальной фазы радиоимпульса

Определимоптимальныйалгоритмприемника-измерителяначальной фазы радиоимпульсавида (4.53). Наосновании (4.57) запишемуравнениеправдоподобиядлянеэнергетическогопараметра

137

Из (4.65) следует структурная схема оптимального устройства формирования оценки МП . На рис. 4.7 она приведена для случая гармонического радиосигнала, когда нет амплитудной и фазовой модуляции ( S(t) S0 и Ф(t) 0 ). По своей структуре данный приемник-измери- тель, как ив подразд. 4.5, являетсяизмерителем корреляционноготипа.

Рис. 4.7. Оптимальный измеритель начальной фазы гармонического радиосигнала

138

Используя соотношение (4.63), вычислим дисперсию оценки D .

МП

С этой целью, учитывая (4.57), запишем нормированную сигнальную функцию(4.61)

cos( 0 ).

Подставимданноевыражениев (4.63), витогеполучим

Таким образом, дисперсия МП оценки начальной фазы радиосигна- ла обратно пропорциональна отношению сигнал/шум по мощности и независитотвидаамплитуднойифазовоймодуляциирадиоимпульса.

Напомним, чтовеличина q02 2Es / N0 соответствуетмаксимальному отношению мощностей сигнала и шума на выходе согласованного сполезнымсигналомфильтра.

4.9.Информация по Фишеру. Неравенство Крамера — Рао

Нельзя не обратить внимания на то, что определение МП оценок параметровсигналаианализихточностивнашихвыкладкахвсякийраз приводилкнеобходимостирассмотрениялогарифмафункционалаправдоподобия ln L( ) ln W (y / ) . Можнопредположить, чтоэтот факт обусловлен гауссовским видом ПРВ аддитивного шума. Однако это не так и суть указанного совпадения несколько глубже. Она связана спонятиемколичестваинформациионеизвестномпараметре , которое содержитсявслучайнойвыборке y. Этопонятиеиграетфундаментальную роль, и было введенов теорию оценок РА. . Фишером.

Рассмотрим понятие количества информации. Будем полагать, что выборка образована совокупностью yi n независимых случайных величин с одинаковой ПРВ. Таким образом, условная ПРВ выборки (онажефункцияправдоподобияпараметра имеетвид

139

i 1

Причем в силуусловия нормировки ПРВ

Последующие выкладки и результаты связаны с предположением о регулярности ФП (см. также п. 4.2.2). Они состоят в том, что L( ;y), а также ее первая и вторая производные по параметру должны быть непрерывны по равномерно относительно y, и ФП должна допускать дифференцирование под знаком интеграла в (4.68). Следует отметить, чтоэтитребованиявыполняютсядлямногихважныхвероятностных моделей, встречающихся в практических задачах, в частности для ПРВ Гаусса и Пуассона, а также биномиального, -распределения вероятностейи др.

Рассмотримслучайнуювеличину

которую называют вкладом (или функцией вклада) выборки y [5].

Каждое i-е слагаемое в правой части (4.69) определяет вклад i-го наблюдения, i 1,...,n. Будемполагать, чтослучайнаявеличина v имеет

конечный второй момент, то есть M v2 (y; ) для всех , где

— интервал возможных значений неизвестного параметра. При выполнении условий регулярности ФП путем дифференцирования тождества (4.68) попараметру найдем

Таким образом, для регулярных моделей выборочных данных среднее значение вклада (математическое ожидание производной от ЛФП по ) равно нулю.

Количество информации по Фишеру о параметре , содержащееся внезависимойвыборке y объема n определяетсясоотношением

140

Величина in 1 i1 называетсяколичеством(фишеровской) информа- ции, содержащимся в одном наблюдении. Из (4.71) для нее получим

Следует обратить внимание на тот факт, что общее количество информации in в независимой выборке y, есть сумма величин ii в отдельных элементах yi . Почему так получается? Вообще говоря, это не противоречит здравому смыслу, поскольку информация по мере увеличенияполезныхнезависимыхнаблюдений, накапливается. Нопочему «придуманные» формулы подтверждают это? Ответ почти очевиден. Причин здесь две. Во-первых, вероятность совместногопоявления выборки y y1,..., yn , состоящей из независимых элементов yi , в соответствии с правилами теории вероятностей равна произведению вероятностей. Во-вторых, РА. . Фишер, как и читатель, несмог бы пред- ложитькакую-либопростуюфункцию, кромелогарифмической, которая обладает свойством «превращать произведения в суммы», то есть ln x1 x2 xi xn ln(x1) ... ln(xn ) . Именнопоэтомупонятиеинформацииоперируетлогарифмомфункцииправдоподобия. Видраспределениявероятностейвыборкиприэтомнеимеетникакогозначения. Отсюда следуетважный «житейский» выводотом, чтоеслинекторешилдобыть достовернуюинформациюочем-либо(илиоком-либо), тоемудляэтого следуетиспользоватьнезависимыеисточникиинформации. Впротивном случае велик риск того, что придется пожинать плоды субъективизма. Вчастности, попричинестатистическойзависимостиэлементоввыборкибудетполученанедостовернаяидалекаяотистиннойкартиныинформацияобобъектеинтереса. Именнокэтомуслучаюотноситсярасхожее высказывание: «есть истина, есть ложь и есть статистика». Однако к научнойстатистикеононеимеетровнымсчетомникакогоотношения.