Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
121
который сточностьюдопостоянной совпадает свыражением (4.38) для логарифма функции правдоподобия. Непосредственно из выражения (4.29) дляоценкиМНКполучаем
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
MHK |
(y) |
|
1 1 1...1 |
E |
|
|
|
|
1 1 1...1 |
E y |
m |
i 1 yi . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая полученную оценку с выражением (4.39) для MП , видим, что в данном случае они полностью совпадают. Внимательное рассмотрениепроделанных выше простых преобразований показывает, чтосовпадениеоценокобусловлено, во-первых, линейностьюматематической модели, во-вторых, гауссовым характером ПРВ аддитивного шума.
Найдемдисперсиюоценки МНК . Отметим, чтосогласно(4.36) дисперсия единичного отсчета Dyi 2n. Учтем, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин, равна сумме их дисперсий. Витогеполучим
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
n2 |
|
|
D |
МНК |
D |
|
yi |
|
|
. |
(4.39а) |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
m i 1 |
|
|
m |
|
|||
Отсюда следует, что рассеяние оценки МНК при неограниченном увеличенииобъема m выборкистановитсябесконечномалым.
Определим байесовскую оценку параметра Предположим теперь, что неизвестный параметр является случайной величиной
сгауссовской априорной ПРВ, параметрыкоторой m |
|
и , тоесть |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( ) |
|
|
|
|
exp |
0,5 |
2 |
( m )2 |
|
. |
(4.40) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаемтакже, что статистическинезависитотпомехи n(t) . Вэтом случае безусловная m-мерная ПРВ выборочного вектора y в (4.23) также является гауссовской с параметрами y my Fm и диагональ-
нойкорреляционнойматрицейвида K y ( 2 n2 )E , тоесть
122
|
1 |
|
|
(y Fm )T (y Fm ) |
|||
W (y) |
|
|
exp |
|
|
|
. (4.41) |
(2 )m / 2 ( 2 |
2 )m / 2 |
2( 2 |
2 ) |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
n |
|
||
|
|
|
|
||||
Условная ПРВ Wy (y / ) (функция правдоподобия) соответствует
(4.37) ивматричнойформеимеетвид
Wy (y / ) |
|
1 |
|
|
|
(y F )T (y F ) |
|
||
|
|
|
|
exp |
|
|
. |
(4.42) |
|
(2 ) |
m / 2 |
|
m |
2 |
2 |
||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя (4.40)–(4.42) в (4.6), найдем апостериорную ПРВ
W ( / y) , котораятакжеимеетгауссовскийвид. Выполнивгруппирова-
ние слагаемых в показателе экспоненты функции W ( / y), получим выражение для апостериорного математического ожидания параметра,
тоесть для оптимальной байесовской оценки в следующем виде:
|
|
m |
|
|
1 |
|
m |
|
m |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
m yi |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
(y) |
|
|
|
|
n |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.43) |
|
|
1 |
|
|
|
m |
1 m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
2
где m — объемвыборки; m — среднеезначениепараметра ; —
2n
отношениеаприорной дисперсииоцениваемогопараметра к дисперсии помехи.
Рассмотрим (4.43) в двух предельных формах.
1. При 0 , когда 0 или n , оценка Б m . Действительно, поскольку в первом случае параметр как бы априорно
точнозадан, и реальныеданныене могут дать новой информации, а во втором случае интенсивность помехи так велика, что обработка выборочных данных теряет смысл, то в обоих случаях байесовская оценка параметраприравниваетсязаданномусреднемузначению m .
2. При (априорнаяинформацияотсутствует) витогеимеем
Б 1 m yi МП , m i 1
тоесть байесовскаяоценкасовпадаетсоценкойМП.
123
Рассмотрим вопрос о наличии смещения байесовских оценок. Введем величину относительного смещения условной (при заданном ) байесовской оценки
|
(4.44) |
Б/ , |
где Б/ M Б / — условное среднее оценки (4.43). Из (4.36)
условное среднее M yi / . Учитывая это, найдем среднее оценки
(4.43) ивыделимизполученногосоотношениявеличину(4.44). Витоге получим
|
|
|
|
|
|
|
|
(m) |
|
|
, |
|
|
(4.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (m ) / — относитель- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При 0,5 |
||||||||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ноеотклонениеслучайногопарамет- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра отегосреднегозначения m . На |
||||||
0,3 |
|
|
|
|
|
0,1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 4.2 показаназависимость (m). |
||||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условная байе- |
||||
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
совскаяоценкапрификсированном |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объеме выборки в общем случае |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
0 10 |
|
|
20 30 40 m |
имеет смещение, тем большее, чем |
||||||||||
|
|
меньшевеличина и чем сильнее |
|||||||||||||
|
|
Рис. 4.2. Зависимость |
оцениваемый параметротклонился |
||||||||||||
|
относительного смещения |
от среднего. |
|
|
|||||||||||
|
условной байесовской оценки |
|
Дисперсия байесовской оценки |
||||||||||||
параметра от объема выборки m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
2 |
, также как и сама |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Б ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
||
оценка, определяется после приведения ПРВ Wy (y / ) |
к стандартной |
||||
гауссовской форме и имеет вид |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
D |
|
|
|
. |
(4.46) |
|
2 2 |
||||
Б |
1 |
|
|
||
|
m( / n ) |
|
|
||
Полагая в этом выражении 2 , что эквивалентно отсутствию априорной информации, когда Б МП , получаем соотношение для дисперсииоценкиМПскалярногопараметра ввиде
124
D |
|
n2 |
D |
. |
(4.47) |
|
m |
||||||
Б |
|
|
МП |
|
Данноевыражение, какиследовалоожидать, совпадаетс (4.39а) для дисперсииоценкиМНК.
Взаключениесделаемзамечание, связанноесформойпредставления оператора формирования оценки. Вычисление оценок в соответствии с (4.39) или (4.29) предполагает наличие (запоминание) в вычислителе полного (m-мерного) выборочного вектора y и последующую его обработку. Вслучаенеобходимостипродолжениянаблюдения(прием), предстоит все вычисления повторить заново. В большинстве практических задач этоведет к неоправданному завышению требований к объемупамяти и производительности вычислителя. Поэтой причинев реальных устройствах такой (параллельный) способ используетсяредко. Широкое применениенаходятпоследовательныеалгоритмыобработки, вкоторых
|
k-м шаге по времени образуется |
|
оценка параметра k на текущем |
||
в виде суммы двух слагаемых: оценки на предыдущем шаге |
|
|
k 1 и |
||
поправки (обновления), зависящей отновогонаблюдения yk , |
получен- |
|
ного на текущий момент времени tk |
k t . Покажем это на примере |
|
алгоритма (4.39). |
|
|
Оценку на текущем k-м шаге можно представить в следующей
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k |
|
1 |
k 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
yi |
|
|
yi yk |
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
|
k |
|
k 1 k 1 yk |
|
или |
||||||||
|
|
k i 1 |
|
i 1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
k 1, 2, . |
|
(4.48) |
|
k |
k 1 |
k yk |
k 1 |
|
|
|
|||||||||
Формированиеоценкисогласно(4.48) предполагаетпринудительное введениеначального значения оценки 0 . В данном случае это может бытьпервоевыборочноезначение y1 , тоестьалгоритмначнетработать
с шага k 2. Отметим, что k 1 есть оценка параметра на момент
времени k, но получена она по всем наблюдениям до этого момента. Структура выражения (4.48) является типичной для последовательных алгоритмовоцениванияпараметров. Нарис. 4.3 онапоказанаввидесхемыустройства, всоставкотороговходитдискриминаторсизменяющимся вовременикоэффициентомусиления.
125
Рассмотренныйчастный при- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УсилительДискрими- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мер позволяет сформулировать |
yk |
|
|
|
(1– k) |
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
натор (1/k) |
|
|
|
|
следующие общие закономерно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ститеорииоценок: |
|
|
kk |
|
Задержка |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
1) байесовские оценки пара- |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метров по максимуму апостери- |
|
|
Рис. 4.3. Структурная схема |
|
|
|
|||
орной ПРВ W ( / y) и макси- |
|
|
|
|
|
||||
|
последовательного алгоритма оценки |
||||||||
мально правдоподобные оценки |
|
|
|
постоянной величины |
|
|
|
||
сближаютсяпомереуменьшения количествааприорнойинформацииопараметре;
2)условные байесовские оценки (при фиксированном значении неизвестного параметра) имеют смещение, которое уменьшается при увеличенииобъемавыборки;
3)оценки параметров по методу наименьших квадратов являются несмещенными, если аддитивная помеха имеет нулевое среднее значение;
4)оценки по методу наименьших квадратов при соответствующем
выборематрицывесовыхкоэффициентов R Kn1 влинейныхпопараметраммоделяхнаблюденийсаддитивнойгауссовойпомехойявляются строгооптимальнымииобеспечиваютминимумдисперсийоценок.
4.5. Общая структурная схема оптимального измерителя параметра сигнала известной формы
В п. 4.2.1 отмечалась общность задач различения гипотез и оценки параметров. Оптимальная процедура обработки наблюдаемого сигнала y(t) в задаче различения (обнаружения) сигналов предполагает образование статистики в виде отношения правдоподобия L(y)W (y / H1)/W (y / H0 ) ифункцииправдоподобия L( ) W (y / ) взадачеоценкипараметра.
Пусть гипотеза H1 связана с наличием полезного сигнала s(t, ), а H0 — с его отсутствием. Поскольку W (y / H0 ) в данном случае отне зависит и W (y / H1) W (y / ) , то отношение правдоподобия и функция правдоподобия совпадают с точностью до постоянного множителя, не зависящего от . Этот факт позволяет при решении задачоценкипараметровсигналаиспользовать, результаты, полученные в подразд. 3.6.
126
Допустим на интервале времени 0; T наблюдается сигнал y(t) s(t, 0 ) n(t), где s(t, 0 ) — полезныйсигнал, известныйсточностьюдопараметра, истинноезначениекоторого n(t) — стационарный белый гауссовский шум. Используя (3.47) при s0 (t) 0 и полагая параметр неэнергетическим, представимфункционалправдоподобия параметра ввиде
L( ) const exp z( ) ,
где
|
2 |
T |
|
|
z( ) |
y(t) s(t, ) dt C — |
(4.49) |
||
N |
||||
0 |
0 |
|
||
логарифм ФП. В дальнейшем всегда постоянная С как не существеннаянеучаствует взаписи z( ) .
Важно отметить, что явная зависимость от в (4.49) обусловлена тем, чтотолькоопорный (ожидаемый) сигнал s(t, ) функциональносвязан с
Формированиемаксимальноправдоподобнойоценки МП предполагает определение , при котором (4.49) имеет глобальный максимум. Эта оценка, если она существует, является корнем уравнения правдоподобия
d |
|
|
|
(4.50) |
z( ) |
|
0. |
||
d |
|
|||
|
|
МП |
|
Аппаратное решение уравнения (4.50) можно реализовать различными способами.
Первыйизнихпредполагаетфиксацию(запоминание) принятогосиг-
нала y(t) |
с последующим расчетом z( ) для заданного множества |
|||||
значений |
i , |
где i 1,..., M и i |
min ; max . Вкачествеоценкивы- |
|||
бирается |
|
max |
z( |
) |
, |
то есть одно из М значений i , |
МП arg i 1, ,M |
i |
|
||||
при котором ФП имеет наибольшую величину. Данный способ связан сбольшимизатратамивременииредкоприменяется.
Второйспособреализуетсявмногоканальном(параллельном) вычислителе(рис. 4.4). Оптимальныйизмерительсостоитизгенераторасетки М опорных сигналов и М идентичных каналов, в каждом из которых формируется логарифм ФП для некоторого значения параметра i .
127
Врешающемустройствепроисходитсравнениемножества z( i ) ивыбор номера канала с наибольшим значением уровня входного сигнала.
|
max z( |
) |
. Количество каналов, |
|
Следовательно, оценка МП arg |
i |
i |
|
|
очевидно, оказываетвлияниенаточностьизмеренияпараметра . Следует отметить, что в структуре оптимального измерителя (см.
рис. 4.4), подобнооптимальномуразличителю(см. подразд. 3.6), реализуетсявычисление корреляционныхинтегралов. Вподразд. 3.2 прирассмотрениипреобразованияполезногосигнала всогласованномфильтре былопоказано, чтоони совпадают соперацией формирования корреляционногоинтеграла. Такимобразом, оптимальныйизмерителькорреляционного типа может быть выполнен на основе применения, в общем случае, системы СФ.
y(t)
Генератор сетки опорных сигналов
s(t, 1)
s(t, i) s(t, M)
z( 1)
z( i)
z( M)
Решающее устройство
МП
Рис. 4.4. Общая структурная схема устройства формирования МП оценки параметра известного сигнала
Существует косвенный метод получения оценки с использованием дискриминаторов. При этом предполагается, чтоизвестноопорноезначениеоцениваемогопараметра оп, попадающеевобластьсигнального выброса ФП. Представим логарифм ФП (4.49) рядом Тейлора в окрестности точки оп
z( ) z( оп) |
d |
z( ) |
|
|
( оп) |
d2 |
z( ) |
( оп)2. |
|
|
|||||||
|
|
|
2 d 2 |
|||||
|
d |
|
оп |
|
|
оп |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
128
Обозначим производныелогарифмаФП в точке оп символами
A |
|
d |
z( |
|
) и В |
|
d2 |
z( |
|
) . |
(4.51) |
d |
|
d 2 |
|
||||||||
оп |
|
|
оп |
оп |
|
|
оп |
|
|
Подставим (4.51) в (4.50) изапишемуравнениеправдоподобия
Aоп Воп( МП оп) 0 ,
изкоторогоследует выражениедляоптимальнойоценки ввиде
|
|
Аоп |
|
|
МП |
оп |
|
. |
(4.52) |
В |
||||
|
|
оп |
|
|
Структурная схема оптимального дискриминатора, построенного всоответствиисуравнением(4.52), приведенанарис. 4.5. Первый (верхний) каналоптимальногодискриминатораформируетсигналрассогласования, а второй регулирует коэффициент усиления в зависимости отмощностисигналаипомехи. Первыйканалназываютдискриминатором, авторой— блокомточности. Основноеприменениедискриминаторы находят в схемах следящих измерителей. И в этом случае значение опорногопараметраобычноформируетсяв отдельномблокепоиска.
|
|
d |
|
|
z( оп) |
оп |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Аооп |
|
|
|
|
|
|
|||
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bоп |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МП |
||
|
|
d |
2 |
|
|
оп |
|
|
|
|
МП |
|||
|
|
|
z( оп) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
2 оп |
|
|
|
оп |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опМП |
|
|||
Рис. 4.5. Структурная схема оптимального дискриминатора
129
4.6.Оптимальная оценка амплитуды детерминированного сигнала при наличии белого гауссовского шума
Рассмотрим задачу оценки амплитуды а радиоимпульса известной формы s(t;a) a s1(t) , поступающего в сумме с гауссовым белым шумом n(t) , на вход приемного устройства-измерителя. Сигнал на входе приемника
y(t) as1(t) n(t) aS0 (t) cos t Ф(t) n(t) , 0 t T, (4.53)
где S0 (t) — функция, определяющая форму нормированной огибающей; а— амплитудасигнала(максимальноезначениефункцииаS0 (t) на интервале наблюдения); — несущая частота; Ф(t) — закон ФМ;
— начальная фаза. Считаем, чтовсепараметры сигнала (4.53) кроме
аизвестны.
Наосновании (3.47) запишемфункционал правдоподобияэнергети-
ческогопараметра а. Вданномслучае Es0 0; |
s0 (t) 0 , витогеимеем |
||||||||||
|
|
|
Es |
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
L( ) exp |
|
exp |
|
y(t) a s |
(t) dt , |
(4.54) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
N0 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
N0 0 |
|
|
|
|||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Es a2 s12 (t) dt a2 E1 — энергия сигнала; E1 — энергия весовой
0
функции s1(t) . Уравнениеправдоподобияпринимаетследующийвид:
d |
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
2aE1 |
|
|
y(t)s (t)dt 0. |
||
|
|
|
||||||
da |
ln L(a) |
|
N0 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
N0 0 |
|
|||
Корень уравнения есть МП оценка параметра а:
Интегратор |
Масштабный |
|
|
|
усилитель |
а |
* |
||
|
||||
y(t) |
|
aМП |
||
|
|
МП |
||
s1(t)
Генератор
весовой функции s1(t)
Рис. 4.6. Структура оптимального измерителя амплитуды полностью известного радиоимпульса
T
aМП 1 y(t)s1(t)dt.
E1 0
(4.55)
Соотношение(4.55) определяет структуру оптимального измерителя (рис. 4.6). Она состоит из генератора весовой функции s1(t) ,
130
интегратора за время обработки (0 T ) и масштабного усилителя скоэффициентом (1/ E1) .
Определимсреднееидисперсиюполученнойоценки. Полагаяистинноезначениеамплитудыравным a0 , найдем
M |
|
|
|
|
1 |
T |
|
s (t) M n(t) s (t) dt a , |
|||
|
|
a |
|
||||||||
|
a |
МП |
E |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
тоестьоценка aМП несмещенная.
Для определения дисперсии оценки D положим максимальное
aМП
значениенормированнойогибающей max Sn (t) 1 ипредставимэнер-
гию весовой функции согласно п. 1.3.3 в виде
T |
1 |
T |
1 |
|
E1 s12 (t) dt |
|
S02 (t) dt |
|
и, |
2 |
2 |
|||
0 |
|
0 |
|
|
где и — величина, равная в данном случае интегральной длительностинормированнойогибающейрадиосигнала
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и S02 (t)dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Витогедлядисперсииоценкиполучаемсоотношение[9] |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
T T |
|
|
N0 |
|
DaМП |
M |
a0 ) |
Kn (t2 t1) s1(t1) s1(t2 )dt1dt2 |
|
|
|
||||
(aМП |
|
|
|
и |
. (4.56) |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
Таким образом, дисперсия оценки амплитуды сигналасизвестными остальнымипараметрамипропорциональнаинтенсивностибелогошума иобратнопропорциональнадлительностирадиоимпульса.
4.7.Статистические характеристики оценок максимума правдоподобия
Вычислениедисперсииоптимальныхоценокприпроизвольномотношении сигнал/шум часто является весьма сложной задачей. ПрактическийжеинтереспредставляетрежимработыизмерительнойРТС, вкото-