Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
101
Сигнал и шумна а входефильтра
и
а
ФКМсигнал (7 поз. код Баркера) всмесисшумом
Огибающая |
|
|
б |
||
смеси сигнала |
||
|
||
ишума |
|
|
навыходе |
|
б
Сигнал qвых(t) на выходе СФ
и |
|
|
|
|
|
||
|
г |
||||||
|
в |
|
|
||||
в |
|
|
|
г |
|
|
|
Огибающаясмеси |
|
|
|
Огибающая |
|
|
|
сигнала ишума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смеси сигнала |
|
|
|
|
на входе СФ |
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
и шума |
|
е |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
на выходе СФ |
|
|
|
д |
е |
Рис. 3.13. Осциллограммы процессов при согласованной фильтрации ФКМ-сигнала в смеси с гауссовским шумом: а, б — на входе фильтра отношение сигнал/шум; в, е — отношение сигнал/шум
102
Вседействия(рассуждения) и принятиерешенияосуществляетмозгдетектива (вычислительноеустройство). Проблемавтом, чтореальновсегдасуществуетпомеха(«люди— шум»), инеизвестноточно, естьлитам преступниквданныймомент.
Задачаобнаружения, конечно, будетнамногосложнее, еслиинформацияосигналестанетнетакойполной. Радиосигналможетиметьнеизвестное время прихода (и преступник тоже) или, например, неизвестную ислучайнуюамплитудуиначальнуюфазу(преступниктакжеможетизменитьчерты лица). Наконец и шум можетбыть небелый и не гауссовский — люди могут быть в кафе, на пляже, где они и преступник тоже в темных очках. Что должен сделать сыщик, не нарушая закон, чтобы побудитьпосетителей снятьочки, дабыповысить вероятностьправильного обнаружения? Оптимальный алгоритм обнаружения при этом окажетсядругим. Втеорииобнаруженияполученызначимыерезультаты дляразличных, встречающихсянапрактике, ситуаций.
Легко представить, что число обоснованно разнообразных задач обнаружения велико. Однако следует уяснить два очевидных обстоятельства: ставить задачуобнаружения (различения), ничего не знаяо сигна- ле, неимеетсмысла, иэффективностьобнаружителя(различителя) всегда будет выше, если он наиболее полно учитывает априорную информа- цию об ожидаемом сигнале и шуме.
Читателю, которыйпроявитглубокийинтерескзадачамтеорииобнаружения сигналов, можно рекомендовать для изучения [7, 9, 13].
После изучения теоретического материала разд. 3 следует перед выполнением контрольной работы 2 ответить на контрольные вопросы, представленные в подразд. 3.7.
3.7. Контрольные вопросы
1.Назовитеосновныезадачистатистическойтеориирадиосистем.
2.В чем суть задачи оптимизации РТС, каковы основные этапы ее решения?
3.Изложитепостановкузадачиоптимизациихарактеристиклинейногофильтра, решениемкоторойявляетсясогласованныйфильтр.
4.Если g( ) естькомплексныйчастотныйспектрполезногосигнала s(t), то какой вид имеют комплексный коэффициент передачи согласованногофильтраиегоимпульснаяреакция?
103
5.Объясните работусогласованногофильтра на физическом уровне.
6.Какиевеличиныопределяютмаксимальноеотношениеуровнясигнала к среднеквадратичномузначению шума на выходе согласованного фильтра?
7.Вкакоймоментвременинавыходесогласованногофильтраможно получитьнаибольшеепревышениеполезногосигналанадшумом?
8.Какую форму имеет полезный сигнал на выходе согласованного фильтра, есливходнойсигналесть: одиночныйпрямоугольныйвидеоимпульс; радиоимпульсспрямоугольнойогибающей; одиночныйрадиоимпульс с ФКМ?
9.Изобразитеструктурнуюсхемусогласованногофильтрадлярадиоимпульса сФКМ; дляпачки радиоимпульсовспростой модуляцией.
10.Изложитепостановкузадачи вбайесовской теориисинтеза опти- мальногоприемника-раличителя (обнаружителя) двухполезныхсигналовна фонепомехи.
11.Каковсмыслвеличин, определяющихплатежнуюматрицувзада- чесинтезаоптимальногоприемника-различителя?
12.Чтоестьсреднийбайесовскийрисквзадачесинтеза: оптимально- гоприемника-различителядвухсигналов; приемника-обнаружителяпо- лезногосигнала на фоне шума?
13.Запишитевобщемвидеоптимальноерешающееправилоприем- ника-различителядвухсигналовнафонепомехи.
14.Почемуотношениедвухплотностейраспределениявероятностей, участвующих прифомированиирешениянавыходеоптимальногопри- емника-различителя, называютотношениемправдоподобия?
15.Дайтеформулировкукритерия«идеальногонаблюдателя»; критерияНеймана — Пирсона.
16.Изобразитеструктуруоптимальногоприемника-различителядвух
полностью известных полезных сигналов s0 (t) и s1(t) , поступающих на вход приемника вместе с белым гауссовским шумом.
17.Изобразите структуру оптимального приемника-обнаружителя полностьюизвестногосигнала, поступающегонавходприемникавместе с белым гауссовским шумом.
18.Почемувструктуреоптимальногоприемника-различителя(обна- ружителя) полностьюизвестныхсигналоввозможноприменениесогласованныхфильтров?
19.В каких координатах представляют графики кривых, определяющих статистические характеристики качества бинарного приемникаразличителя?
104
20.Какиеизперечисленныхчетырехслучайныхсобытийвприемни- ке-обнаружителеявляютсяпротивоположными: ложнаятревога; пропуск сигнала; правильноеобнаружение; неправильноеобнаружение?
21.Изобразите графически ПРВ W (z / H1) и W (z / H0 ) выходного сигналаоптимальногоприемника-различителя(обнаружителя) иукажитеплощадиподкривыми плотности вероятностей, определяющиевероятностипринятияошибочныхрешений.
22.Докажите, что интеграл свертки, определяющий для линейного фильтрасвязьвыходногосигналасвходным, превращаетсявкорреляционныйинтеграл, еслилинейныйфильтрсогласовансвходнымсигналом.
23.В чем сходство и различие выходных сигналов приемника, выполненногопосхемекорреляционнойобработкииссогласованнымфильтром?
24.Каковыпоследствиянарушениясинхронизацииприоптимальном приемесигналовсиспользованиемкорреляционногоприемника?
4. ОСНОВЫСТАТИСТИЧЕСКОЙТЕОРИИОЦЕНОК НЕИЗВЕСТНЫХПАРАМЕТРОВСИГНАЛА
4.1.Оценки параметров сигналов и их свойства
Вэтом разделебудут рассмотрены основныеаспекты второй обширнойобластитеориистатистическихрешений— теорииоценокнеизвестныхпараметровсигналовприналичиипомех. Фактическивприкладной теории РТС представляют интерес оптимальные методы демодуляции сигналов (первичной обработки), если информационное сечение обо-
значено на входе приемника. Если же оно выбрано в НЧ-тракте РТС (вторичная обработка), то интерес представляют оптимальные алгоритмы выделения (фильтрации) НЧ-сообщений или их параметров. В последнем случае помехи должны быть приведены ко входу НЧтрактаРТС.
Вцелях простотыизучения будемсчитать, чтоинформативноесообщение (t) является скалярным и постоянно на интервале обработки. Обозначим его неизвестное и постоянное значение . В общем случае полезныйсигналможеттакжесодержатьодинилинесколькомешающих параметров .
Втеорииоцениванияизвестныдваразличныхподходакпостроению оценок параметров. Первый из них ориентирован на получение ин-
тервальной оценки. В этом случае для заданной доверительной веро-
ятности Pд в устройстве обработки сигнала y(t) формируются две
н и в , определяющиенижнююиверхнююграницыдовери-
тельного интервала, для которого выполняется условие
P н; в Pд.
Таким образом, доверительный интервал — промежуток, который свероятностью Pд «накрывает» неизвестноезначениепараметра .
106
Второй подход предполагает формирование точечных оценок. Задача оценивания параметра теперь состоит в том, чтобы по принятой (наблюдаемой) реализации сигнала y(t) s(t, , ) n(t); t (0;T ) получить достаточно близкую к величину E y(t) . Здесь E — функционал, определяющийпреобразованиереализации y(t), заданной на интервале (0;T ), в скалярную величину , которуюназываютоценкойпараметра . Подоценкойпараметра обычнопонимаютнекотороеправило(способ) получения поконкретной реализациивходногосигнала.
Являясь неизвестным, параметр можетв зависимостиот конкретной задачи рассматриваться как случайная величина, постоянная наинтервалеобработки, либокакнеизвестнаяинеслучайнаявеличина. Например, вРЛ- иРН-системахприоценкедальностидослучай- норасположеннойцелизавремяприемаодногоилинесколькихотраженных радиоимпульсов (обычно это не более 10–40 мс), можно считать, чтопараметр D const иявляетсяслучайнойвеличиной. ВподобныхслучаяхПРВпараметра доприемасигнала y(t) называют априорнойиобозначают W ( ).
Оценка , будучи результатом преобразования конкретной реализации y(t) , содержащей шум, является случайной величиной. Изучаясвойстваоценок, обычновыделяютследующие: 1) несмещенность оценки; 2) эффективность оценки; 3) состоятельность или сходимостьоценки. Пояснимподробнееэтисвойства.
Оценканазывается несмещенной, еслиее математическоеожи- дание равно математическому ожиданию оцениваемого парамет-
ра. Оценка является безусловно несмещенной, если M M .
Еслижесреднеезначениеоценкивычисляютпрификсированном и справедливоравенство M / , то оценка является условно несмещенной.
Очевидно, процесс оценивания сопровождается ошибками. Раз-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
ность |
есть ошибка оценки. Среднее значение |
||||
называют смещениемоценки. Для несмещенныхоценок 0 . Рассеяние (разброс) ошибки характеризуют средним значением
квадратаошибки
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
M |
|
2 |
|
|
|
W ( ) d , |
(4.1) |
||||
|
|
|
|
||||||||
107
где W ( ) — ПРВ ошибки оценивания. Величина 
2 имеет размерность оцениваемого параметра и называется среднеквадра- тичной ошибкой (СКО) оценки. Если в (4.1) использовать условную ПРВ W ( / ) , тоестьраспределениевероятностейошибкипрификсированномзначениинеизвестногопараметра , тополучим услов-
ную среднеквадратичную ошибку / .
В некоторых случаях удобно использовать величину дисперсии ошибки
D M |
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
|
|
2 |
|
(4.2) |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения (4.2) видно, что для несмещенных оценок ( 0 ) понятия дисперсии оценки и среднего квадрата ошибки тожде- ственны.
Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую из всех возможных оценок дисперсию.
Оценканазывается состоятельнойвсреднеквадратичномсмыс-
ле, если выполняется условие
lim |
|
|
) |
2 |
|
0, |
(4.3) |
( T |
|
|
|||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
где T означает, чтооценкаполученаврезультатеобработкиреализации y(t), длительность которой T. Другими словами, для состоятельнойоценкисреднийквадратошибкипри T приближается
кнулю.
Вслучае оценки векторного параметра T 1, 2 ,..., n (знак транспонирования T у вектора означает запись его в виде строки) устройство обработки (измеритель) формирует вектор оценок
T 1 , 2 ,..., n . Соответственно имеем вектор ошибок оце-
нок T ( )T 1, 2 ,..., n . Рассеяние ошибок в векторном случае характеризует дисперсионная матрица ошибок оценивания.
Например, РЛ-системы часто работает в режиме совместного измерения дальности Д и радиальной скорости V цели. Ковариационная матрицаошибокв2-мернойзадачеоцениванияимеетвид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
Д |
|
|
. |
|
|||||
K |
M |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
(4.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
V |
|
|
V |
|
|
||||||
108
Наглавнойдиагоналиматрицы K расположенысредниеквадратыошибокподальностиискорости; элементыдругойдиагоналиравныкорреляционномумоментуошибокдвухпараметров. Этаматрица симметрическая. Ееопределитель, какправило, неравеннулю.
4.2.Основные способы формирования оценок неизвестных параметров сигналов при наличии помех
4.2.1. Байесовские оценки
В разд. 3 отмечалось, что при решении задач синтеза структуры устройствобработкиследуетмаксимальноучитыватьреальнуюаприорную информацию о статистических свойствах сигналов и помех. Степеньполнотыэтойинформацииопределяетсясодержаниемконкретной задачи. Рассмотрим последовательнонесколькоспособов построенияоценокпараметроввпорядкеуменьшенияполнотыаприорнойинформации, требуемойдляполученияоценки.
Будем считать, что наблюдаемый сигнал y(t) F s(t, ); n(t) ; t 0;T , те. . онполученврезультатеопределенноговзаимодействия сигнала s(t, ), зависящегоот одногоинформативногопараметра ислучайной помехи n(t). Параметр являетсяслучайнымиостается постоянным на интервале наблюдения. Его априорная ПРВ W ( ) известна.
Статистические свойства помехи также известны. Это означает, что при дискретном отборе данных с шагом по времени t на интерваленаблюдения (0; T ) можетбыть задана m-мерная ПРВпомехи Wn (n1 , n2 ,..., nm ) Wn (n) . Статистические свойства полезного сигналаопределенызаданием m-мернойусловнойПРВ Ws (s / ) .
Такимобразом, призаданномоператоре F иизвестныхстатистических свойствах сигнала и помехи определена m-мерная условная ПРВ наблюдаемого случайного сигнала Wy (y / ) , а также совмест-
наяПРВ W (y, ) Wy (y / )W ( ).
Параметр взадачепостроениябайесовскихоценокявляетсяаналогомномерагипотезы впроблемевыборарешения приразличении сигналов. Однакотеперь есть непрерывная (или дискретная) случайнаявеличина. Аналогомпотерь (взадачеразличения), связанных
109
с принятием гипотезы , когда в действительности справедлива
Hi
гипотеза H j , взадачеоценкиявляетсяфункцияпотерь C( ). Значе-
ниеэтойфункцииопределяетпотери, которыенесетпотребитель оценок вследствие ошибки , обусловленной расхождением оценки с истинным параметром .
В качестве критерия оптимальности оценок выступает байесов-
ский риск R, который определяется как статистическое среднее функции потерь по всем возможным реализациям наблюдаемого сигнала и оцениваемого параметра. Таким образом, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R M C |
|
C |
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
... |
C |
|
y |
|
W (y |
, ) dy d , |
(4.5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где y — оценка, являющаяся функцией наблюдаемого сигнала (выборки) при дискретном отборе данных. Интегрирование по y в (4.5) является m-кратным, тоесть dy dy1 dy2 ... dym .
Оценка Б y , минимизирующаясреднийриск(4.5), называется
байесовской, а получающееся при этом минимальное значение Rmin
среднего риска — байесовским риском.
СогласноформулеБайеса представимсовместную ПРВв виде
W (y, ) W ( / y)Wy (y), |
(4.6) |
где W ( / y) — апостериорная ПРВ параметра при конкретной выборке наблюдаемого сигнала y. Подставим (4.6) в (4.5) и запишем выражениедля среднегориска иначе:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
... Wy (y) dy |
C |
(4.7) |
||||
|
y |
W ( / y) d . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутреннийинтегралв(4.7) вычисляетсяпрификсированномзначениивыборки y иявляетсяпосуществуусловнымапостериорным средним (помножествузначений ) функциипотерь. Посмыслуэто
условный(апостериорный) байесовскийриск. Обозначимего R (y ),
что означает зависимость условного риска от y при заданном способеформирования y . Витоге (4.7) приметвид
110
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
(4.8) |
R R (y) |
|
|
Wy (y) R (y) dy. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция Wy (y) 0 |
определяет свойства входного сигнала и явно |
||||||||
от не зависит. Поэтому минимум среднего риска R можно обеспе- |
|||||||||
читьпутемминимизацииусловногориска |
|
|
|||||||
R (y) |
|
|
|
|
|
|
( / y) d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C y , W |
(4.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
засчетоптимальногоспособапостроенияоценки y .
Обсудим возможный вид функции потерь. Здравый смысл позволяет считать целесообразным задание C( ) со следующими свойствами: 1) С(0) 0 (безошибочная оценка не влечет потери); 2) C( ) C( ) (потеринезависятотзнакаошибки); 3) C( ) — функциянеубывающая (сувеличениемошибкипотерирастутилимогутбытьпостоянными). Этим требованиям удовлетворяют три классических функции: квадратичная, модульная и простая (рис. 4.1).
С( ) |
С( ) |
С( ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
а |
б |
|
в |
|
Рис. 4.1. Типичные функции потерь при оценке скалярного параметра: а — квадратическая; б — модульная; в — простая
Определим вид байесовской оценки при квадратичной функции потерь. Выражение(4.9) принимаетприэтомследующийвид:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
(y) |
|
|
W |
( / y) d . |
(4.10) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Видно, что байесовская оценка Б , обеспечивающая минимум (4.10), будетиметьминимальнуюсреднеквадратичнуюошибку. Полагая